3.2.2 Modèles linéaires
La représentation graphique du CAU en fonction des
variables explicatives ne contredit pas les hypothèses de
linéarités entre variables même si elles n'apparaissent pas
non plus évidentes (fig. 3.14). Adopter une modélisation
linéaire permet de confronter les résultats à ceux de
Limaux (1999), et tenter de proposer sur cette base des améliorations du
modèle.
CAL
150
100
50
0
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
CAL
l
l
l
l
l
l
l
150
100
50
0
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
CAL
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
100
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
CAU
150
50
0
l
l Ammonitrate Solution39
l
l
l
0,0 0,5 1,0 1,5
VC (gr de MS m-2dj-1)
-4 0 2 4 6
Pluviométrie
(coord ACP dim. 1) 0,6 0,8 1,0 1,2
INN
yie = u + Ee + åie (3.4)
30
Figure 3.14 - Représentations du CAU en fonction des
variables explicatives
3.2.2.1 Un point de départ : le modèle nul
et le modèle VC
La figure 3.15 représente l'ensemble des valeurs de CAU
calculées à la récolte en fonction des VC au moment de
l'apport. En vert, on retrouve l'intervalle de valeurs de CAU et de VC
rencontrés dans les travaux de Limaux (1999). Bien que l'ensemble de nos
données soient obtenues par le calcul et donc susceptibles de cumuler
plusieurs erreurs lors de leur obtention (teneur en azote, matière
sèche, méthode d'estimation de la VC), 50% des données
sont comprises dans le même intervalle. Les points les plus
àdroite du graphique, pour lesquelles les valeurs de VC sont plus
importantes, correspondent à des valeurs acquises pour des apports plus
tardifs (Z32 et Z39) sur lesquels n'a pas travailléLimaux (1999). Le
modèle VC passe au travers du nuage de points. Il suit la même
allure que le début de la courbe de lissage obtenue par
régression Loess. Globalement, le modèle semble sous-estimer les
valeurs de CAU pour des valeurs de VC inférieures à0,6g MS
m-2dj-1, et surestimer
par la suite, puisque le modèle dépasse rapidement 100%. De ce
point de vue, le modèle comporte une anomalie. En effet, les VC du jeu
de données peuvent atteindre 1,8g MS
m-2dj-1alors que pour un
CAU de 100%, la VC du modèle VC est de 0,84g MS
m-2dj-1 : la relation
doit être réajustée.
Pour fournir une seconde référence, un
modèle nul est ajusté(notémodèle 0) : un
modèle expliquant le CAU (y) par la moyenne (équation
3.4, un modèle n'expliquant pas mieux le CAU que la moyenne est
àrejeter). La meilleure combinaison d'effets aléatoires pour le
modèle nul est sélectionnée : seul l'effet de l'essai est
conservé(expression 3.4). Une analyse des composantes de la variance du
modèle montre qu'il est responsable de plus de 36% de la
variabilitédes données. L'analyse du résidu confirme les
hypothèses de normalitéde sa distribution. Par ailleurs,
l'écart type résiduel est fort : 19.
CAU en fonction de la vitesse de croissance
0 50 100 150
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
CAU (%)
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
Données de l'étude
l
Données et zone de définition du modèle
VC
Modèle VC : CAU = 38,24 + 73,92VC
l
Reg. Loess á = 0,75
l
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
VC à l'apport (gr de MS m-2dj-1)
Figure 3.15 - Confrontation des données de l'étude
au modèle VC Table 3.3 - Estimation des effets aléatoires du
modèle 0
Groupe Variance ó
Essai (Intercept) 230.43 15.180
Residual 375.67 19.382
Introduisons la variable VC comme explicative du CAU : le
modèle 1. La sélection des effets aléatoires aboutit aux
mêmes résultats que pour le modèle nul : l'effet de l'essai
induit une grande variabilité. L'expression du modèle
ajustéest de la forme de l'équation 3.5. Toutefois, le test de
l'effet VC aboutit àune probabilitécritique de 0,5 (tab. 3.4), si
l'effet a étésélectionnédans le modèle c'est
davantage pour sa prise en compte dans les effets aléatoires (tab. 3.5).
Ce modèle n'est donc pas explicatif des CAU obtenus, on le rejette.
yie = u + âvci + Ee + åie (3.5)
Table 3.4 - Test des effets du modèle 1
ddl numérateur ddl dénominateur test F Pc
vc 1,00 25,05 0,39 0,54
Cependant, un modèle qui ne tienne pas compte du
fertilisant employén'est pas réaliste étant donnéce
que l'on sait du poids de la forme d'engrais sur les phénomènes
de pertes. Le modèle 2 permet l'introduction de l'effet du fertilisant
(ammonitrate ou solution 39). Le test des effets fixes exclut l'effet de la VC
sur le CAU ; en revanche, la forme de fertilisant employée est hautement
significative. Les coefficients obtenus révèlent la
différence prépondérante entre matières
fertilisantes, l'utilisation d'ammonitrate augmente en moyenne le CAU de 16,18
par rapport àune modalitéfertilisée par une solution
à39% (tab.3.7). L'effet aléatoire liéà l'essai est
très important, il explique une grande part de la
variabilitéobservée àtravers son effet sur la moyenne et
la pente de la relation (tab. 3.8). L'écriture du modèle 2
devient l'équation 3.6.
yife = u + ff + Ee + åife (3.6)
31
32
Table 3.5 - Estimation des effets aléatoires du
modèle 1
Groupe Variance ó
Essai (Intercept) 280.94 16.761
vc 646.37 25.424
Residual 288.84 16.995
Table 3.6 - Test des effets du modèle 2
ddl numérateur ddl dénominateur test F Pc
fertilisant 1,00 33,18 11,77 0,00
Table 3.7 - Estimations des effets fixes du modèle 2
Estimation ó test t
(Intercept) 68,34 3,56 19,21
fertilisantammonitrate 16,18 4,72 3,43
Table 3.8 - Estimation des effets aléatoires du
modèle 2
Groupe Variance ó
Essai (Intercept) 170.73 13.066
Residual 375.60 19.380
33
3.2.2.2 L'INN apporte-t-il une amélioration au
modèle?
Les modèles basés sur la variable VC ne sont pas
concluants. On introduit l'INN puisqu'on sait que selon les stades il varie de
manière substancielle. La sélection des effets aléatoires
retient l'effet de l'essai sur la pente et la moyenne de la relation. La
sélection des effets fixes écarte les interactions entre
variables (équation 3.7) et on ne peut conserver l'effet de VC dans le
modèle, le test F le rejetant. Le modèle 3 est un sous
modèle du modèle 2. La comparaison du modèle nul au
modèle 3 par le rapport de vraisemblance démontre
l'intérêt de l'INN (tab. 3.10). Notons la forte diminution du BIC
marquant l'amélioration du modèle par la prise en compte de
l'INN.
yife = u + ff + âinni +
Ee (3.7)
Table 3.9 - Test des effets du modèle 3
|
ddl numérateur
|
ddl dénominateur
|
test F
|
Pc
|
|
fertilisant
|
1,00
|
33,07
|
13,09
|
0,00
|
|
inn
|
1,00
|
697,47
|
4,05
|
0,04
|
Table 3.10 - Comparaison des modèles 2 et 3
ddl BIC ln(V ) ÷2
Pc
mod2 4,00 6645,19 -3309,37
mod3 5,00 6249,78 -3108,51 401,72 0,00
Table 3.11 - Estimations des effets fixes du modèle 3
Estimation ó test t
(Intercept) 76,04 5,25 14,49
fertilisantammonitrate 16,88 4,67 3,62
inn -9,46 4,70 -2,01
3.2.2.3 Qu'en est-il de la
pluviométrie?
Les valeurs de pluviométrie correspondant à
l'essai de Satolas (2005) sont exclues. La sélection des effets
aléatoires retient une structure de covariance partiellement
indépendante entre l'effet de l'essai sur la pente liéàla
pluviométrie d'une part et l'effet sur la moyenne de la relation d'autre
part. Les tests des effets retiennent l'INN en interaction avec la
pluviométrie et la VC en interaction avec la pluviométrie,
auxquels s'ajoute l'effet du fertilisant (expression 3.8). Pour comparer le
modèle 4 au modèle 3, ce dernier doit être
réajustésur le jeu de données réduit (retrait de
Satolas). La comparaison au modèle précédent montre une
amélioration de la qualitéde l'ajustement (tab. 3.14).
L'écart type du modèle est de 17, on reste dans les ordres de
grandeur attendus, variabilitéà laquelle s'ajoute celle
liée au facteur essai de niveau équivalent.
yife = u + ff +
â1pli + â2vci +
â3inni + ff + â4vc pl
+ â5inn pl + Ee|â1
(3.8)
L'observation des effets marginaux tempère l'amplitude
des coefficients estimés. Si l'effet de la pluviométrie est
compris entre -70 et 80, et l'INN entre -5 et -10, l'interaction montre que
l'effet de l'INN est très fortement conditionnépar la
pluviométrie. La représentation de la surface de
réponse
34
Table 3.12 - Estimation des effets aléatoires du
modèle 3
Groupe Variance ó
Essai (Intercept) 165.76 12.875
Residual 373.71 19.332
Table 3.13 - Test des effets du modèle 4
|
ddl numérateur
|
ddl dénominateur
|
test F
|
Pc
|
|
pl
|
1,00
|
268,39
|
10,26
|
0,00
|
|
vc
|
1,00
|
404,63
|
0,46
|
0,50
|
|
inn
|
1,00
|
445,61
|
1,87
|
0,17
|
|
fertilisant
|
1,00
|
31,89
|
9,68
|
0,00
|
|
pl :vc
|
1,00
|
328,34
|
11,86
|
0,00
|
|
pl :inn
|
1,00
|
347,52
|
20,36
|
0,00
|
estimée en »selle de cheval», met en
évidence l'interaction (fig. 3.16). L'effet de la vitesse de croissance
instantanée apparaît plus limité, et fortement
dépendant de la pluviométrie. On traduit donc bien le terme
d'interaction entre pluviométrie et VC.
Table 3.14 - Comparaison du modèle 4 au modèle 3
ddl BIC ln(V ) x2 Pc
mod3 5,00 5926,12 -2946,81
mod4 10,00 5875,88 -2905,44 82,73 0,00
Table 3.15 - Estimations des effets fixes du modèle 4
|
Estimation
|
a
|
test t
|
|
(Intercept)
|
78,35
|
6,47
|
12,12
|
|
pl
|
8,96
|
2,80
|
3,20
|
|
vc
|
-1,52
|
2,25
|
-0,68
|
|
inn
|
-7,97
|
5,82
|
-1,37
|
|
fertilisantammonitrate
|
14,87
|
4,78
|
3,11
|
|
pl :vc
|
3,47
|
1,01
|
3,44
|
|
pl :inn
|
-12,84
|
2,85
|
-4,51
|
35
Table 3.16 - Estimation des effets aléatoires du
modèle 4
Groupe Variance a
Essai (Intercept) 159.321 12.6222
Essai pl 17.605 4.1958
Residual 304.225 17.4421
Pluviométrie
-4 -2 0 2 4 6
CAU
-20
-40
40
20
60
0
l
l
l
l
l
l
l
l
l
Effets marginaux
de la pluviométrie
de l'INN
et
de la VC
pluviométrie
20
0
-20
-40
4
2
0,6
0,8
-2
0
1,0 -4
50
0
-50
24
0,5
1,0
-4
0
-2
1,5
INN
CAU
-5
|
-6
-7
-8
-9
-10
|
l
l
l
l
l
l
|
0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2
INN
VC
0,0 0,5 1,0 1,5
CAU
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
-2,5
0,0
VC
36
Figure 3.16 - Effets marginaux du modèle 4
Modèle 1 Modèle 1
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
100
40
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
80
20
l
l
observé
résidu
60
0
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
40
l
- 20
20
l
- 40
0
0 50 100 150 0 40 80 120
valeurs ajustées estimé (effets fixes)
Modèle 2
Modèle 2
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
100
40
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
80
20
observé
l
résidu
l
l
60
l
l
0
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
40
- 20
20
- 40
0
0 50 100 150 0 40 80 120
valeurs ajustées estimé (effets fixes)
Modèle 3
Modèle 3
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
100
40
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
80
20
observé
l
résidu
60
0
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
40
- 20
l
20
- 40
0
0 50 100 150 0 40 80 120
valeurs ajustées estimé (effets fixes)
Modèle 4
Modèle 4
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
100
40
l
l
l
l
l
l
80
20
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
observé
résidu
60
0
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
40
- 20
20
- 40
0
0 50 100 150 0 40 80 120
valeurs ajustées
valeurs ajustées estimé (effets fixes)
estimé (effets fixes)
Figure 3.17 - Évolution du résidu du
modèle 1 au modèle 4 et confrontation des estimations aux
données réelles
37
38
|
|
