4.3 Force de Casimir statique.
Les membranes des vésicules présentent
des fluctuations thermiquement excitées. Généralement, les
objets tels que des interfaces, les membranes ou les polymères subissent
de telles fluctuations, afin d'augmenter leur entropie de configuration. Pour
des biomembranes et des agents tensio-actifs de la bicouche lipidique, la
conséquence de ces ondulations provoquent une force induite,
appelée force de Casimir. Pour calculer la force
désirée, nous partons de la fonction de partition, construite
avec le Hamiltonien (3.13). Cette fonction de
partition est l'intégrale fonctionnelle suivante
Z =
IDh exp --
kBT] } . (3.22)
L'intégrale fonctionnelle s'étend sur
toutes les configurations du champ h. L'énergie
hapitre 3 : Effet de Casimir dans les biomembranes
confinées. 79
séparation D. Si nous désignons par E
= L2 l'aire de la surface
commune des deux plaques, la force de Casimir (par unité d'aire), fJ,
est moins la dérivée première de l'énergie
libre (par unité d'aire) par rapport à la séparation D,
c'est-à-dire
L'expression ci-dessus de la force de Casimir (par
unité d'aire) appelle les re-
Cette force par unité d'aire est
homogène à une pression. En fait, fJ est la pression suffisante
pour maintenir les deux plaques à une certaine distance D l'une de
l'autre. En terme de la fonction de partition, nous avons
Il
kBT
1 ?p ? lnZ
E
. (3.24)
?D ?~
En utilisant la définition
(3.19) et les relations
(3.23) et
(3.24), nous trouvons que
11 = - 2 ?D
1 ?p L2?
·
(3.25)
Explicitement, nous obtenons la formule
désirée, à savoir
T7 3 (kBT
)2. (3.26)
11 8
êD3
De cette relation, nous extrayons l'expression du
potentiel de séparation (par unité d'aire) [25]
Vd (D) = -
fD Ð
(D') dD = 3
(kBT )2 . (3.27)
16 êD2
hapitre 3 : Effet de Casimir dans les biomembranes
confinées. 80
marques suivantes.
Premièrement, cette force décroît
plus vite que la force de Colomb, qui se comporte plutôt comme
D-2.
Deuxièmement, cette même force
dépend de la nature des lipides formant la bicouche lipidique (à
travers la constante de rigidité de courbure de la membrane ê).
Notons que la présente force n'est pas universelle, contrairement
à l'effet Casimir rencontré habituellement en Théorie
Quantique des Champs [16] et en Phénomènes
Critiques [20]. Cela tient au fait que l'amplitude de cette
même force dépend de la nature des molécules de lipide
formant la bicouche.
Troisièmement, à température et
à distance fixées, l'amplitude de force n'a de valeurs
significatives que pour les petites constantes de rigidité de courbure
de la membrane.
Enfin, comme elle se doit, cette force augmente avec
la température. En effet, à température
élevée, les ondulations de la membrane sont très
fortes.
En conclusion, le préfacteur numérique
3/8 (ou amplitude d'Helfrich cH
[9]) est proche de la valeur obtenue en utilisant la
simulation Monte Carlo [26].
Dans la Fig. 3.1,
nous superposons les variations de la force statique réduite,
fJ /kBT, en fonction de la séparation D, pour deux
systèmes lipidiques, à savoir les SOPC et DAPC
[27], à la température T =
18C?. Les constantes de rigidité de courbure
respectives sont : ê = 0.96×
10-19J et ê =
0.49 ×
10-19J. Ces valeurs
dimensionnées correspondent aux constantes : /Z =
23.9 et ~ê =
12.2. La méthode courante pour la mesure de ces
constantes de rigidité est la méthode de micro-pipette
[27]. Les courbes tracées reflètent la
discussion faite ci-dessus.
hapitre 3 : Effet de Casimir dans les biomembranes
confinées. 81
FIG. 4-1 -- Les variations de la force statique
réduite, fJ /kBT, en fonction de la
séparation D, pour deux systèmes lipidiques, à
savoir SOPC ( ligne continue) et DAPC (ligne pointillés ), à la
température T = 18C?
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