Analyse du comportement de la servovalve electro-hydraulique lors de freinage des roues d'un avion (cas de Boeing 737-NG)

REPUBLIQUE DEMOCRATIQUE DU CONGO

MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET UNIVERSITAIRE

INSTITUT SUPERIEUR DE TECHNIQUES APPLIQUEES

« I.S.T.A»

B.P. 6593 KIN 31

SECTION : MECANIQUE

I.S.T.A / BARUMBU

ANALYSE DU COMPORTEMENT DE LA SERVOVALVE ELECTROHYDRAULIQUE LORS DE FREINAGE

DES ROUES D'UN AVION.

(Cas de Boeing 737-NG)

MENGAWAKU JEAN

Travail de fin de cycle présenté et défendu en vue de l'obtention du Diplôme d'Ingénieur technicien en Mécanique

Option : Mécanique d'Aviation

Directeur : Ir. KAWENDE YEMBA Augustin

Ingénieur en Génie Mécanique

Année Académique 2009-2010

EPIGRAPHE

« La fonction échelon est une abstraction mathématique. En réalité, aucun signal physique ne peut subir un accroissement fini en un temps infiniment court. C'est-à-dire, la grandeur d'entrée met donc toujours un certain temps, éventuellement très petit mais jamais nul, pour passer de zéro à x_o »

Pierre André Parette et Philippe Robert

REMERCIEMENTS

A seuil de ce travail qui marque la fin de nos études du premier cycle, nous reconnaissons avoir bénéficie au sein de l'Institut Supérieur de Techniques Appliquées (ISTA) une éducation intellectuelle.

Nous remerciements s'adressent aussi aux autorités académiques, en particulier à Monsieur le Directeur Général KATANGA-wa-KATANGA et à tout le corps professoral de l'Institut Supérieur de Techniques Appliquées (ISTA) pour nous avoir transmis les connaissances avec conscience professionnelle.

A ce terme, nous remercions plus particulièrement notre Directeur Assistant KAWENDE YEMBA Augustin Ingénieur en mécanique, pour ses sages conseils, ses directives et sa générosité qui nous ont permis d'arriver au bout du présent travail.

Nous remercions, le physicien SEKE VANGU Max, qui, malgré ses multiples occupations, a bien voulu accepter d'être encadreur de ce travail.

Nos remerciements s'adressent :

A mon épouse NZOLA Niclette, et mon fils MENGA Exaudie;

A mon défunt père MIEZI PEDRO ;

A mes mamans : SIVI MARIE et MENDU HELENE ;

A mes parrains : MWANANGULU Vicky et PINDI Nicole, et leurs enfants Emmanuel et Christopher ;

A mes frères et soeurs : LOWA SIMON, MBIYAVANGA PEDRO, MIEZI PEDRO, MAVINDA SEBASTIEN, NGUNGA RACHEL, LUZALA ILITO, MAKIESE MONIQUE, NSAMBA FLAVIE et pour leurs contributions financières et morales, d'une façon ou d'une autre à ma réussite.

Nous n'oublions pas de remercier nos compagnons de lutte, KAKONDI DIALO, MAKOLA LOLO, NGOLO KITIAKA, MUKULUPI KINGAMBO, MONGANZA TANZEY etc. pour la vie estudiantine d'ensemble, de leur collaboration et esprit de conquête.

MENGAWAKU JEAN

PLAN DU TRAVAIL

EPIGRAPHE i

REMERCIEMENTS ii

PLAN DU TRAVAIL iv

NOTATIONS GENERALES viii

INTRODUCTION GENERALE 1

I. Problématique 1

II. Objectif 2

III. Méthodologie 3

IV. Subdivision du Travail 3

V. Difficultés rencontrées 3

CHAPITRE I : GENERALITES SUR LE SYSTEME DE FREINAGE DES AVIONS 4

I.1. Introduction 4

I.2. Les roues d'avion 6

I.3. Le frein 6

I.3.1. Types des freins 6

I.3.1.1. Frein à disque 7

I.3.1.2. Frein à disque en carbone (carbone-carbone) 8

I.1.3.2.1. Puits de chaleur 8

I.1.3.2.2. Principe de fonctionnement 9

I.1.3.2.3. Avantages du frein carbone 9

I.3.1.3. Frein à disque en céramique 10

I.3.2. Frein à tambour 10

I.4. Constitution des freins 11

I.3.1. Sécurité de freinage 13

I.3.2. Paramètres mathématique 13

I.3.2.1. Calcul de la vitesse de glissement 14

I.3.2.2. Expression de couple de freinage entre surfaces en regard 15

I.3.2.3. Couple total 16

I.3.2.4. Décélération () 17

I.4. Commande de freinage 18

I.4.1. Commande classique 18

I.4.2. Commande automatique 19

I.4.2.1. Les modes LO, MED et MAX 21

I.4.2.2. Le mode normal 21

I.4.2.3. Le mode alternatif 21

I.5. Le système de régulation de freinage 22

CHAPITRE II : GENERALITE SUR LES SYSTEMES ASSERVIS 24

II.1. Définition de l'automatique 24

II.2. Notion de système 24

II.2.1. Nécessite de la boucle fermée 25

II.2. Equations d'un système linéaire 25

II.2.1. Introduction 26

III.2.2. Exemples 26

II.3. Fonction de transfert d'un système linéaire 27

II.4. Réponse temporelle des systèmes 28

II.5. Les différentes entrées classiques 28

II.5.1. L'échelon 28

II.5.2. La rampe 29

II.5.3. L'impulsion 30

II.6. Réponse d'un système 30

II.6.1. Réponse d'un système du premier ordre 30

II.6.1. Réponse d'un système du second ordre 33

II.7. Performances d'un système asservi 37

II.7.1. Stabilité des systèmes linéaires asservis 37

II.7.1.1. Critère mathématique de stabilité 38

II.7.1.2. Critère algébrique de ROUTH 38

II.7.1.3. Tableau de Routh 39

II.7.2. Précision des systèmes linéaires asservis 39

II.7.2.1. Erreur de position (Erreur statique) 40

II.7.3. Rapidité des systèmes régulés 41

II.7.3.1. Temps de réponse 41

II.7.3.2. Temps de monté 41

II.7.3.3. Dépassement maximal 44

CHAPITRE III : SERVOVALVE ELECTROHYDRAULIQUE 45

III.1. Définition 45

III.2. Classification de la servovalve 45

III.2.1. Etage hydraulique pilote 46

III.3. Constitution de la servovalve 47

III.3.1. Architecture d'une servovalve à deux étages 49

III.4. Etude simplifiée de la servovalve électro-hydraulique 50

II.4.1 Equation du moteur couple 50

III.4.2. Système buse-palette 50

III.3.3. Tiroir du distributeur 51

III.4. Principe fondamental de la dynamique (PFD) appliqué au tiroir 52

III.5. Fonction de transfert de la servovalve 54

CHAPITRE IV : ANALYSE DU COMPORTEMENT DU SERVOVALVE LORS DE FREINAGE 57

IV.1. Analyse du système 57

IV.2. Système asservi 59

IV.3. Mise en équation des éléments du système de freinage en mode normal 59

IV.4. Schéma fonctionnel du système de freinage d'un avion 61

IV.5. Comportement du système de freinage en boucle fermée 62

IV.5.1. Calcul de stabilité du système en boucle fermée 63

IV.5.2. Calcul de la précision du système en boucle fermée 64

IV.5.2.1. Erreur statique ou erreur de position 64

IV.5.3. Calcul de la rapidité du système en boucle fermée 65

V.6. Simulation du système de freinage par MATLAB 67

V.6.1. Simulation de systèmes 68

CONCLUSION GENERALE 78

BIBLIOGRAPHIE 83

ANNEXE 85

NOTATIONS GENERALES

  : décélération

  : facteur d'amortissement en boucle ouverte

  : facteur d'amortissement en boucle fermée.

C_T  : couple de frottement total de freinage

C_f  : couple de frottement sur un point

D  : diamètre

  : Différence de pression

E(t)  : entrée

F : effort presseur délivré par l'ensemble des pistons activés,

F  : Force

F_A et F_B : efforts exercés par les deux ressorts (A et B)

f : coefficient de frottement de glissement entre les disques.

G(p)  : Fonction de transfert en boucle ouverte

H(p)  : Fonction de transfert en boucle fermée

K_f  : coefficient de frottement

K  : gain statique du système

  : gain statique en bouclé fermée ;

k_t  : coefficient de raideur

K_sv  : gain statique du servovalve

K_acc  : gain statique de l'accéléromètre

K_c  : gain statique du Brake Pedal Transmitter Unit (BSCU)

m_t : masse du tiroir ;

N_p : nombre de pistons actifs,

N_d : nombre de disques (stator + rotor) par roue,

P_a  : Pression d'alimentation

P_h : pression hydraulique d'alimentation des pistons,

R_{e  :} rayon extérieur de la partie active de disque de friction

R_i  : rayon intérieur de la partie active de disque de friction

S_p : section d'un piston

S(t)  : sortie

S_t : section du tiroir à ses extrémités ;

t_m  : temps de monté

t_r  : temps de réponse

V_{a :} vitesse de l'avion

V_g  : vitesse de glissement

w  : vitesse angulaire

  : pulsation propre

  : pulsation propre en boucle fermée ;

INTRODUCTION GENERALE

I. Problématique

Le freinage est l'une des fonctions vitales d'un avion, au même titre que la propulsion ou la sustentation. C'est grâce au frein que l'avion peut s'immobiliser après l'atterrissage, circuler au sol en toute sécurité mais également s'arrêter en cas d'urgence lors d'une interruption de décollage.

Que ce soit sur une bicyclette, une voiture ou un avion, la problématique est la même : l'énergie cinétique du véhicule en mouvement est, par suite de frottement transformée en chaleur pour enfin se dissiper. Pour ce faire, un objet solidaire de la structure du véhicule, le frein, vient frotter sur les disques en rotation, ou sur un objet solidaire de la roue. Une différence, de taille, entre les différents mobiles, réside toutefois dans l'ordre de grandeur de l'énergie à absorber puisque celle-ci est proportionnelle à la masse et au carré de la vitesse (½ mv²) du mobile en mouvement.

Les premiers avions n'avaient pas de freins. Ils n'en avaient pas besoin ; leur masse et leur vitesse de décollage étaient suffisamment faibles. Puis, la puissance des moteurs aidant, les avions ont grossi, puis volé de plus en plus vite. On a alors équipé leurs roues de freins extrapolés de ceux de l'automobile, c'est-à-dire à tambours avec une commande indépendante par côté, ce qui permettait aussi de prendre les virages à basse vitesse.

Avec les réacteurs, les freins sont devenus critiques, car ils étaient pratiquement les seuls moyens de ralentissement vraiment efficaces.

Actuellement, les freins à disques permettent d'absorber une forte énergie avec une masse raisonnable et des matériaux permettant des températures, en fin de freinage, de plus en plus élevées.

Parallèlement, la capacité de couple des freins a nécessité une aide automatique pour éviter les blocages de roues, puis assurer un rendement de freinage élevé, ce qui a été possible grâce, en particulier, à l'introduction de calculateurs électroniques analogiques, puis numériques.

Arrêter un avion lancé au roulage à plus de 300 km/h en quelques centaines de mètres revient à absorber une énergie supérieure à 1 milliard de joules en quelques dizaines de secondes, soit environ 125 mégajoules par roue et frein, même si le risque est de l'ordre de 1 pour 1 million de décollages, c'est la mission extrême que doit assumer les roues et freins.

II. Objectif

L'objectif poursuivi dans ce travail est celui d'analyser l'asservissement du système de freinage de l'avion et de parvenir à déterminer la commande du système qui remplisse les exigences du cahier des charges fonctionnel (analyse fonctionnel, caractéristique des fonctions de service attendues, et fonction de service réalisé).

Pour décrire la rapidité de ce système (temps de monté et de réponse), nous allons utiliser le logiciel MATLAB, pour mieux interpréter l'analyse du système de freinage.

III. Méthodologie

Pour arriver à réunir les données nécessaires à l'élaboration de ce travail, nous avons fait usage de la méthode analytique, technique documentaire qui consiste à lire les ouvrages ayant trait au sujet traité :

- La consultation de sites Internet

- La consultation de thèses publiées

- La consultation d'ouvrages aéronautiques

- L'interview auprès des spécialistes du domaine traité

IV. Subdivision du Travail

Hormis l'Introduction et la conclusion générale, notre travail se subdivise en quatre chapitres dont :

- Chapitre I : Généralités sur le système de freinage des avions

- Chapitre II : Généralité sur les systèmes asservis

- Chapitre III : Servovalve électro-hydraulique

- Chapitre IV : Analyse du comportement de la servovalve lors de freinage d'un avion.

V. Difficultés rencontrées

Il s'avère important de souligner d'abord la situation particulière que connaît notre pays, une situation qui n'épargne aucun domaine de la vie nationale.

Nous avons été confrontés au problème de transport pour atteindre le différent centre de lecture de la ville, des frais pour la navigation sur le web et nos déplacements vers les aérogares se faisaient dans des conditions très difficiles.

CHAPITRE I : GENERALITES SUR LE SYSTEME DE FREINAGE DES AVIONS

I.1. Introduction

Ce chapitre est consacré au freinage des avions et aux matériels directement impliqués dans cette fonction. Ce sont les freins, les roues, la commande et la régulation de freinage. Fonctionnellement, l'ensemble de ces matériels constituent le système de freinage.(^1(*))

Un avion doit avoir la capacité d'effectuer un certain nombre de manoeuvres au sol.

Avant le vol :

· roulage à faible vitesse, dit taxing, du parking vers la piste

· roulage à vitesse élevée précédant le décollage.

Après le vol :

· atterrissage et freinage

· taxing de la piste vers le parking.

Pour toutes ces manoeuvres, il est nécessaire que le train d'atterrissage, qui supporte le poids de l'avion, permette le roulage et le freinage par l'intermédiaire de roues équipées de pneumatiques et de freins.

Au fur et à mesure que les vitesses de décollage et d'atterrissage augmentaient avec la masse de ces « machines volantes », leur freinage à l'atterrissage devenait de plus en plus nécessaire. Ce besoin fut encore accentué par l'avènement de la propulsion par réaction. Les vitesses ont atteint alors des valeurs très élevées : près de 250 km/h à l'atterrissage, de l'ordre de 400 km/h au décollage, parfois jusqu'à 500. Quant aux masses, elles ont largement dépassé les 10 tonnes sur certains avions de combat, et les 100 tonnes sur les gros avions commerciaux. Toutes ces évolutions ont naturellement accru de façon considérable l'énergie cinétique à absorber au freinage.

Certes, le freinage des roues n'est pas le seul à contribuer au freinage de l'avion. En effet, interviennent également le freinage aérodynamique (traînée de l'avion, aérofreins et même parachute de queue dans certains cas) et l'inversion de poussée des réacteurs (apparue dans les années 1960).

Toutefois le freinage des roues est prépondérant et devient même le seul efficace dès que la vitesse a commencé à décroître. Pour des raisons de sécurité, ni l'inversion de poussée ni les aérofreins ne sont pris en compte pour le dimensionnement des freins de roues.

Il faut cependant reconnaître que les roues et freins, comme les atterrisseurs, constituent un poids mort pendant le vol. Par conséquent il a existé de tout temps une forte pression des avionneurs pour obtenir de hautes performances massiques (énergie absorbée par kg de frein de plus en plus grande). Pour répondre à cet impératif, les fabricants de freins aéronautiques ont constamment remis en cause leurs technologies à travers de nombreux travaux de recherche et d'expérimentation en laboratoire et même sur avions.

I.2. Les roues d'avion

En fonction des sols sur lesquels l'avion doit opérer, l'effet d'empreinte (c'est à dire de résistance des sols) conduit, dès l'origine de la conception de l'avion, à un choix de pneumatiques (dimension, nombre, disposition géométrique, pression de gonflage), donc à une dimension des roues et à un encombrement maximal admissible des freins. Il s'agit là d'un choix de base pour l'avion, d'autant plus que ce sont les pneumatiques et les roues qui introduisent les efforts d'atterrissage et de manoeuvre au sol sur les atterrisseurs, qui eux-mêmes les transmettent à la structure de l'avion.(^2(*))

I.3. Le frein

Un frein est un système permettant de ralentir, voire d'immobiliser, les pièces en mouvement ou un véhicule en cours de déplacement.

I.3.1. Types des freins

On trouve différents types de freins utilisés selon les appareils, les besoins, les époques et les masses en jeu. (^3(*))

· le frein à disques

- en carbone-carbone

- en céramique

- en acier/cuivre

· le frein à tambour

I.3.1.1. Frein à disque

Comme son nom l'indique, un frein à disque est simplement un disque (de frein) solidaire de la roue et qui se fait écraser entre deux plaquettes (solidaires du moyeu, elles sont fixées dans le cas le plus simple.(^4(*))

Disque de freinage

Figure 1.1. Frein à disque

La pièce qui porte les plaquettes de frein (composée du support et de la garniture) s'appelle l'étrier. Pour écraser les plaquettes, on utilisé un liquide de frein. Il est tout sauf de l'eau car l'eau deviendrait vapeur à cause de la pression. Justement les liquides de freins ont la fâcheuse tendance à être hydrophiles, c'est pourquoi il faut le changer tous les 2 ans sinon tu risques de freiner dans le vide avec ta caisse.

La différence entre freins à disque d'avions et de voiture c'est la taille... sur les voitures, il y a qu'un disque et deux plaquettes (une de chaque côté donc). Sur les avions, il y a plusieurs disques et des plaquettes sur tout le pourtour.

I.3.1.2. Frein à disque en carbone (carbone-carbone)

En termes techniques (définition Snecma), un frein est constitué d'un "tube de torsion" installé sur l'essieu de l'avion et d'une «couronne hydraulique». Un «puits de chaleur» est monté sur cette structure. L'ensemble se loge dans les deux demi-roues de l'avion.

Disque en carbone

Figure 1.2. Disque en carbone

I.1.3.2.1. Puits de chaleur

C'est l'empilement des disques de carbone (fig.1.2) : il y en a, en général, huit ou dix. La moitié tourne avec la roue : ce sont les rotors. L'autre moitié ne tourne pas : ce sont les stators. Ils sont montés en alternance. Parce que c'est là que l'énergie cinétique de l'avion est transformée en chaleur.

La couronne hydraulique est une pièce en aluminium dans laquelle sont logés les pistons. Ce sont ces pistons qui, sortant de leur cavité, poussés par l'huile sous pression vont serrer les disques les uns contre les autres. En plaçant les pistons en anneau, on répartit l'effort de pression sur toute la surface des disques.

Le tube de torsion est un cylindre en acier sur lequel sont fixés les stators. Il encaisse les énormes efforts de torsion qui s'exercent lorsque rotors et stators sont serrés les uns contre les autres. Il est solidaire de la couronne hydraulique.

L'ensemble est lié au train d'atterrissage. Les roues sont constituées de deux demi-roues dissymétriques en aluminium.

La plus grande demi-roue est donc glissée dans le pneu non gonflé, puis l'autre moitié est solidement vissée. Le pneu est ensuite gonflé à l'azote à une pression de bars déterminé du fabricant. Finalement, l'ensemble est monté sur le frein installé sur l'essieu.

I.1.3.2.2. Principe de fonctionnement

Lorsque le pilote appuie sur la pédale de frein, son ordre est traité et transmis par le système de régulation de freinage. Celui-ci impose au fluide hydraulique de pousser les pistons avec une pression bien précise(voir cahier de charge). Les disques sont alors serrés plus ou moins fortement les uns contre les autres : les stators freinent les rotors et donc la roue.

I.1.3.2.3. Avantages du frein carbone

· Plus léger ;

· Plus efficace même à haute température ;

· Nettement plus économique qu'un frein classique, et

· Il ne vibre pas pendant le freinage.

La grande différence entre une voiture, même très puissante et un avion est l'ordre de grandeur. Pour une voiture lancée à 200 km/h, la quantité d'énergie à dissiper est de l'ordre d'un mégajoule (1 MJ).

Le frein carbone a cet énorme avantage de gagner en efficacité lorsqu'il chauffe (sans dépasser les limites préconisées, parce que il absorbe facilement la chaleur) alors que les disques en métal, c'est l'inverse...

I.3.1.3. Frein à disque en céramique

Au lieu d'avoir du carbone pour le disque, on a simplement de la céramique. Comme les céramiques sont souvent des matériaux réfractaires c'est super pour la chaleur, mais plus difficile à usiner et ça supporte moins bien les chocs.

I.3.1.4. Frein à disque en acier

Il a une technologie analogique avec le précédent. A cet effet, le disque est en acier.

I.3.2. Frein à tambour

Un frein à tambour est aussi solidaire de la roue (évidemment, sinon on ne freinerait pas), mais la différence c'est que le système est encapsulé et inaccessible.(^5(*))

Figure 1.3. Frein à tambour

C'est toutes 2 mâchoires qui s'écartent, sur leur face extérieure, on trouve la garniture qui vient frotter contre l'intérieur du tambour. Donc, il faut un cylindre récepteur de pression qui écarte les mâchoires contre le tambour.

C'est moins cher à fabriquer, marche moins bien et peut beaucoup moins facilement contrôler le freinage et l'état du système.

Pour ce travail, nous avons choisis le frein à disque en carbone.

I.4. Constitution des freins

Les disques de frein sont empilés les uns contre les autres, constituant ce qu'on appelle un "puits de chaleur" en raison de la température qu'ils peuvent atteindre : jusqu'à 3 000°C pour un avion freiné à pleine vitesse!

La moitié de ces disques est solidaire de la roue (ou jante) et tourne avec elle, ce sont les rotors ; l'autre moitié est solidaire de l'avion par l'intermédiaire de l'essieu et ne tourne pas, ce sont les stators. Ils sont montés en alternance. Ce sont ainsi les frottements des disques les uns sur les autres qui assurent le freinage.(^6(*))

Figure 1.4. Disque de frein

Les disques de friction sont en carbone pour des raisons de température de fonctionnement et avec une marge d'ordre 1500°C.

Le premier disque sur lequel agissent les pistons à l'origine des efforts presseurs est un stator solidaire de l'essieu. La figure ci-dessous.

Figure 1.5. bloc de frein

I.3.1. Sécurité de freinage

Par mesure de sécurité, le dispositif de freinage est dédoublé sur chaque roue. Ainsi, 2×N_p pistons sont montés sur chaque essieu (Figure.1.5) mais seulement N_p agissent simultanément sur les disques de frein, les autres N_p n'étant utilisés qu'en cas de défaillance du système de freinage principal.(^7(*))

Figure 1.6. Bloc de frein

I.3.2. Paramètres mathématique

Nous notons :

· P_h : pression hydraulique d'alimentation des pistons,

· p : pression supposée uniforme entre les deux faces des disques en contact,

· S_p : section d'un piston,

· N_p : nombre de pistons actifs,

· N_d : nombre de disques (stator + rotor) par roue,

· F : effort presseur délivré par l'ensemble des pistons activés,

· R_i et R_e : respectivement rayons intérieurs et extérieurs des parties actives des disques de friction,

· f : coefficient de frottement de glissement entre les disques.

Hypothèse 1

Nous désignons par V_a la vitesse de l'avion et supposons aucun glissement des roues sur la piste.

I.3.2.1. Calcul de la vitesse de glissement

En déduire l'expression de la vitesse de glissement V_g des garnitures de friction en regard pour un point situé à la distance r de l'axe de rotation.

Figure 1.7. Disque de frein

Soit ù la vitesse angulaire de la roue, la vitesse de glissement à la distance d'un rayon (r) de l'axe de rotation.

est :

(1.1)

or, la vitesse V_a de l'avion est :

(1.2)

D'où

(1.3)

L'effort presseur F auquel est soumise chaque face des disques de friction en fonction de P_h, S_p et N_p.

Hypothèse 2

Nous admettons l'effort F généré par l'ensemble des pistons actifs est identique sur chacune des faces des disques de friction.

(1.4)

Hypothèse 3

Supposée p=C^te=uniforme, entre deux disques en contact. L'effort presseur F qui est normal à la surface de contact, est fonction de la seule pression de contact p supposée uniforme. Son expression est :

(1.5)

D'où l'expression de p :

(1.6)

I.3.2.2. Expression de couple de freinage entre surfaces en regard

Exprimons le moment dM sur l'axe du frein de l'effort élémentaire dT agissant sur l'élément de surface dS :

(1.7)

Le couple de freinage C est le moment résultant des efforts de contact répartis sur toute la surface S.

Ainsi :

(1.8)

p et f sont constant, d'où :

(1.9)

en coordonnées polaires :

(1.10)

Ainsi, pour la surface S(^8(*)) :

(1.11)

Et donc :

(1.12)

I.3.2.3. Couple total

Le couple total C_T exercé par les N_d disques du système de freinage d'une roue en fonction de P_h et des données géométriques et de frottement.

Nous remarquons que le nombre de surfaces de glissement contribuant au couple C_T est : N_d-1.

Ainsi :

(1.13)

(1.14)

Mais :

(1.15)

D'où

(1.16)

En remplaçant dans C_T :

(1.17)

I.3.2.4. Décélération ()

La décélération de l'avion s'exprime sous la forme :

(1.18)

La décélération étant constante, C_f doit être équivalent au couple total C_T dû au frottement entre les disques pour une roue.

(1.19)

(1.20)

Or

(1.21)

(1.22)

Le coefficient K_f est donc :

(1.23)

I.4. Commande de freinage

I.4.1. Commande classique

Les commandes classiques de freinage étaient du type hydraulique : les pédales du pilote commandaient un distributeur hydraulique par l'intermédiaire, soit d'une liaison mécanique, soit d'une transmission hydraulique volumétrique. Ceci posait le problème d'installation de tuyauteries hydrauliques depuis le circuit de génération, jusqu'au niveau du poste de pilotage, puis du poste aux freins, ou de la commande mécanique du poste de pilotage à la soute hydraulique.

La régulation de freinage à une servovalve asservissant la pression hydraulique à un courant électrique, il apparaissait beaucoup plus simple d'alimenter directement cette servovalve par le circuit de génération hydraulique, et de commander sa pression de sortie par un courant fourni par un transmetteur électrique actionné par le pédalier.

En supprimant ainsi la nécessité d'amener des tuyauteries ou des liaisons mécaniques jusqu'au poste de pilotage, d'où gain en masse, fiabilité et facilité d'installation. Chaque servovalve comportant deux bobines électriques, l'une pouvait être affectée à la fonction régulation, l'autre à la fonction commande de freinage.

Lorsque le freinage n'était pas activé, une électrovalve en amont des servovalves coupait l'arrivée de pression. La commande électrique du freinage est plus connue de nos jours sous sa désignation anglo-saxonne :  « brake by wire ».

I.4.2. Commande automatique

En effet, vu le rôle crucial du freinage, aussi bien au décollage (freinage de détresse en cas de décollage refusé) qu'à l'atterrissage, il y a toujours deux commandes de freinage, dites normale et secours, plus un circuit de freinage parking. La commande normale est alimentée par un circuit hydraulique, la commande secours est alimentée par un autre. Le passage d'un circuit sur l'autre se fait au moyen d'un sélecteur automatique ou manuel, selon l'avionneur.(^9(*))

· le mode normal (Normal Braking) contrôlé par un ordinateur dénommé BSCU (Braking/Steering Control Unit). Le BSCU contrôle les servovalves (une par roue) qui alimentent les pistons presseurs du système de freinage. La pression hydraulique est fournie par le groupe hydraulique principal.

· le mode alternatif (Alternate braking) contrôlé par un ordinateur dénommé ABCU (Alternate Braking Control Unit). Ce mode prend automatiquement la relève du mode normal s'il y a dysfonctionnement de ce dernier ou si le contrôle anti-dérapage (Anti-Skid) de l'avion est supprimé. En mode alternatif, la pression hydraulique est fournie par un groupe hydraulique secondaire.

En mode normal, il est possible de commander le freinage de deux façons différentes :

· soit manuellement par appui sur les pédales de frein, pour chaque pilote, les pédales gauche et droite sont indépendantes. L'appui sur la pédale gauche agit sur le freinage des roues du train principal gauche, l'appui sur celle de droite agit sur le freinage des roues du train principal droit. Les unités de transmission (Brake Pedal Transmitter Unit) situés sous les pédales émettent des signaux électriques vers le BSCU ou vers l'ABCU proportionnels à la course des pédales de frein.

Figure 1.8. : Pédales de frein

Soit automatiquement suivant trois modes de décélération : LO, MED, MAX. La sélection se fait à partir de trois boutons situés sur le tableau de bord (Fig.1.9). Le mode manuel est rétabli si le pilote, en appuyant sur les pédales de frein, génère une consigne de décélération supérieure à la consigne de décélération a du mode automatique sélectionné.

I.4.2.1. Les modes LO, MED et MAX

Les modes LO et MED sont utilisés lors de l'atterrissage. Ils correspondent respectivement à une décélération de l'avion. Le mode MAX est exclusivement sélectionné lors du décollage, en cas d'interruption de ce dernier. Il correspond à une décélération théorique de -10 ms^-2 supérieure à la décélération maximale de l'avion.

I.4.2.2. Le mode normal

En mode normal (manuel ou automatique), le BSCU contrôle l'anti-dérapage (Anti Skid) de chaque roue tant que la vitesse de l'avion est supérieure à 5 m/s.

I.4.2.3. Le mode alternatif

En mode alternatif, seule la commande manuelle est disponible avec ou sans anti-dérapage.

Nous s'intéressons au mode de décélération automatique du mode normal, qui consiste à asservir en décélération le freinage de l'avion. La Figure 6 donne le schéma de principe de ce dispositif.

Figure 1.9.  Système de freinage

Hypothèse 4

Admettons d'autre part que :

(1.24)

(1.25)

Il s'agit d'une fonction permettant de réaliser, de façon automatique, l'arrêt de l'avion selon une décélération constante pré-affichée par le pilote, avec pour objectif  les avantages suivants :

- Une amélioration du confort des passagers lors du freinage ;

- Une réduction de la charge de travail du pilote ;

- Une diminution de l'usure des freins et des pneus par la réalisation de freinage modérés adaptés aux longueurs de piste disponibles, le recours aux freinages maximaux n'ayant lieu que lorsque la sécurité est en jeu ;

- Une réduction du temps de mise en oeuvre du freinage dans les cas de freinage de détresse, par le déclenchement du freinage maximal sans intervention du pilote.

I.5. Le système de régulation de freinage

Le système de régulation contrôle en permanence l'effort de freinage, évitant notamment de bloquer les roues afin de ne pas provoquer ni dérapage ni éclatement des pneus. La grandeur physique utilisée comme paramètre de régulation est la pression de l'huile envoyée dans les pistons qui, serrent plus ou moins fortement les disques les uns contre les autres.

Tant que l'avion est en vol, le circuit (hydraulique) de freinage est fermé sur ordre de freinage du pilote.

C'est par l'intermédiaire de servovalves que l'huile sous pression arrive aux pistons placés dans la couronne hydraulique. Regroupées sur un support appelé platine, les servovalves assurent en fait la répartition et le passage de l'huile vers chaque couronne hydraulique. Une servovalve permet en effet d'ajuster, avec une certaine précision, la pression de l'huile qu'elle laisse passer. Le BSCU commande ainsi la servovalve de chaque frein de s'ouvrir plus ou moins selon la force d'appui transmise par la pédale du pilote, laissant une pression d'huile plus ou moins grande arriver jusqu'aux freins.

C'est par comparaison de la vitesse de l'avion à celles des roues que le BSCU contrôle en permanence l'ouverture des servovalves.

CHAPITRE II : GENERALITE SUR LES SYSTEMES ASSERVIS

II.1. Définition de l'automatique

Automatique : Qui fonctionne tout seul ou sans intervention humaine.(^10(*))

Dans les systèmes événements discrets. On parle d'automatisme (séquence d'actions dans le temps). Exemples d'applications : les distributeurs automatiques, les ascenseurs, le montage automatique dans le milieu industriel, les feux de croisement, les passages à niveaux. Dans les systèmes continus pour asservir et/ou commander des grandeurs physiques de façon précise et sans aide extérieure. Quelques exemples d'application : le pilotage automatique d'un avion, frein aéronautique, la vitesse de rotation d'un lecteur CD, la position du bras d'un robot.(^11(*))

II.2. Notion de système

L'automatique peut s'appliquer à tout ce qui bouge, fonctionne, se transforme. L'objet d'application de l'automatique est appelé système. Un système se caractérise par ses grandeurs d'entrée et de sortie. Les grandeurs d'entrée sont les grandeurs qui agissent sur le système.

Un système est en boucle ouverte lorsque la commande est élaborée sans l'aide de la connaissance des grandeurs de sortie : il n'y a pas de feedback. Dans le cas contraire, le système est dit en boucle fermée. La commande est alors fonction de la consigne (la valeur souhaitée en sortie) et de la sortie. Pour observer les grandeurs de sortie, on utilise des capteurs. C'est l'information de ces capteurs qui va permettre d'élaborer la commande.

Système

Entrée (commande) sortie

Figure 2.1. Schéma d'un système à Boucle ouverte

Elaboration de commande

Système

Capteur

Entrée (commande) commande Sortie

Figure 2.2. Schéma d'un système à Boucle fermée

Automatique : c'est une science et une technique qui permet de maîtriser le comportement d'un système (traduit par ses grandeurs de sortie), en agissant de manière adéquate sur ses grandeurs d'entrée.

II.2.1. Nécessite de la boucle fermée

Exceptionnellement, le système de commande peut opérer en boucle ouverte à partir du seul signal de consigne. Mais la boucle fermée (contre réaction) est capable de :

- stabiliser un système instable en boucle ouverte (BO)

- compenser les perturbations externes

- compenser les incertitudes internes au processus lui-même

Un système de commande peut réaliser deux fonctions distinctes :

- L'asservissement c'est à dire la poursuite par la sortie d'une consigne variable dans le temps ;

- la régulation c'est à dire la compensation de l'effet de perturbations variables sur la sortie (la consigne restant fixe).

II.2. Equations d'un système linéaire

Dans toute la suite du cours, les systèmes considères n'auront qu'une entrée et qu'une sortie.

II.2.1. Introduction

Un système est dit linéaire si l'équation liant la sortie à l'entrée est une équation différentielle linéaire à coefficients constants. La forme générale de cette équation différentielle est :

III.2.2. Exemples

R

Soit le circuit RC

C

Figure 2.3. Circuit RC

v₁ =e(t) et v₂=s(t)

Les équations électriques sont :

e(t) = R.i + s(t)

, introduisant Laplace dans les deux membres, il vient :

, et la sortie par rapport à l'entrée on aura :

(Système du premier ordre), puisque le dénominateur est un polynôme du premier degré en p, où* p est l'opérateur de Laplace.

II.3. Fonction de transfert d'un système linéaire

On appelle fonction de transfert ou transmittance d'un système linéaire le rapport entre la transformée de Laplace de la sortie sur celle de l'entrée :

(2.1)

C'est une fonction rationnelle. L'ordre du système (qui est l'ordre de l'équation différentielle) est le degré du dénominateur de T(p).

Figure 2.4. Schéma fonctionnel d'un Circuit RC

On identifiera facilement le fait que c'est un système d'ordre 1 dont la constante de temps est = RC et de gain statique K = 1.

II.4. Réponse temporelle des systèmes

On veut caractériser les systèmes d'une part par leur fonction de transfert et, d'autre part, par leur comportement. Ce dernier peut être mis en évidence par la réponse s(t) à une entrée donnée. Classiquement, on peut apprendre beaucoup des systèmes en observant la réponse aux entrées suivantes :

- l'impulsion  : réponse impulsionnelle

- l'échelon  : réponse indicielle

- la rampe : la réponse à une entrée rampe

- la sinusoïde  : réponse fréquentielle

Nous étudierons aux points suivants les réponses des systèmes et allons faire le lien entre fonction de transfert et les réponses (c'est à dire les réponses aux impulsions, échelon et rampe). Comme dans la suite, nous allons étudier les systèmes simples et très répandus que sont les systèmes du premier ordre et du second ordre. De plus, les méthodes d'étude de ces systèmes se généralisent facilement aux autres.

II.5. Les différentes entrées classiques

II.5.1. L'échelon

C'est l'entrée la plus utilisée de toutes. Elle correspond à un changement brusque de consigne. Cette fonction est définie par :

, a R^*

et

Sa transformée de Laplace est :

(2.2)

Figure 2.5. La fonction échelon

On appelle échelon unitaire la fonction dont la TL est (a = 1). On le note souvent u(t). On appelle réponse indicielle la réponse à l'échelon unité. (Cfr. Annexe).

II.5.2. La rampe

La rampe de pente a est la primitive de l'échelon de hauteur a. Elle est définie par :

et

Figue 2.6. La fonction rampe de pente a

Sa transformée de Laplace est définie par :

(2.3)

On peut définir également la rampe unitaire : la rampe de pente 1.

II.5.3. L'impulsion

L'impulsion unité est, dans l'espace des distributions, la dérivée de l'échelon unitaire. On l'appelle aussi impulsion de Dirac.

Figure2.7. La fonction impulsion de Dirac de poids a

II.6. Réponse d'un système

II.6.1. Réponse d'un système du premier ordre

1. Mise en équation

(2.4)

T,K : sont des réels positifs

(2.5)

La fonction de transfert s'écrit

(2.6)

K : gain statique, T : constante de temps. (temps requis pour que le signal de sortie atteigne 63% du signal d'entrée lorsque cette dernière est un échelon et ce pour un système du première ordre)

2. Réponses

2.1. Réponse impulsionnelle (E(p)=1)

(2.7)

En appliquant Laplace inverse, on passe du domaine de Laplace ou domaine temporel.

(2.8)

s(t)

t

Figure 2.7. Réponse impulsionnelle d'un système du premier ordre

2.2. Réponse indicielle ()

(2.9)

En utilisant les tables des transformées de Laplace

(2.10)

s(t) K

0,63K

t

T 3T

Figure 2.8. Réponse indicielle d'un système du premier ordre

T est le temps nécessaire pour atteindre 63% de sa valeur à l'infinie

3T est le temps nécessaire pour atteindre 95 % de sa valeur à l'infinie

Le temps de réponse T_r = 3T, est le temps au bout duquel la sortie atteint sa valeur asymptotique (sa valeur à l'infinie) à 5 % près.

Preuve 

(2.11)

(2.12)

2.3. Réponse à une entrée rampe ()

(2.13)

Il est clair que cette sortie et la primitive de la sortie :

(2.13)

En appliquant Laplace

(2.14)

à t=0

s(0)=KT+Cte=0

Cte=-KT

(2.15)

S(t) e(t)=t (entrée)

Asymptote y=K(t-T)

t

Figure 2.9. Réponse d'un système du premier ordre à entrée rampe

II.6.1. Réponse d'un système du second ordre

1. Mise en équation

Les systèmes du second ordre sont régis par des équations différentielles du second degré, leur fonction de transfert comporte un maximum de deux zéros et deux pôles.

L'équation courante est du type :

(2.16)

Les 3 constantes  : pulsation propre

 : coefficient ou facteur d'amortissement

K, gain statique du système

(sont réels et généralement positifs).

En appliquant Laplace (voir annexe)

(2.17)

La fonction de transfert

(2.18)

(2.19)

2. Réponses

2.1. Réponse indicielle ()

(2.20)

La factorisation du dénominateur est dotée par le discriminant (delta) du trinôme.

(2.21)

Et

(2.22)

La littérature offre trois cas.

1^er cas :

(2.23)

(2.24)

S(t)

K

t

t

Figure 2.10. Réponse indicielle d'un système du second ordre ()

La réponse la plus rapide est observée pour très proche de 1

2^ème cas :

Le trinôme possède alors deux racines complexes conjuguées qui sont :

(2.25)

(2.26)

(2.27)

S(t) est la réponse du système, constituée de la différence de deux signaux :

· Le signal k.u(t), échelon de hauteur K

· Le signal sinusoïdal encadré par une enveloppe e, exponentielle décroissant tendant vers zéro en oscillant.

Figure 2.11. Réponse indicielle d'un système du second ordre à coefficient d'amortissement inférieur à 1 ()

La réponse du système est bien dépendant de

 : Régime amorti

 : Régime critique sans oscillation

 : Régime oscillatoire amorti,

II.7. Performances d'un système asservi

Un système dans son fonctionnement est caractérisé par un certain nombre de paramètres qu'il faut :

1. Prévoir (au minimum)

2. Corriger (au mieux)

Un système performant doit être :

- Stable (la stabilité), obligatoirement, sinon on ne peut l'asservir

- Précis (la précision)

- Rapide (la rapidité)

- Ayant un dépassement nul ou limité.

II.7.1. Stabilité des systèmes linéaires asservis

Un système est stable si et seulement si à tout signal borne en entrée, correspond un signal borné en sortie. En automatique, on définira la stabilité par une des propositions suivantes : Un système linéaire est stable si est le seulement si:

- lorsque sa réponse à un échelon prend une valeur finie en régime permanent,

- lorsque sa réponse à une impulsion tend vers 0,

- lorsque sa réponse à une sinusoïde est une sinusoïde d'amplitude finie.

Dans la pratique, on exige que le signal de sortie converge effectivement vers une valeur finie.

D'une manière générale, aucun signal dans la boucle de régulation ne doit osciller ou tendre vers l'infinie.

Un système asservi est stable si et seulement si sa fonction de transfert en boucle fermée ne possède aucun pôle à partie réelle positive.

II.7.1.1. Critère mathématique de stabilité

Ce système possède un certain nombre d'inconvénients :

- Sérieux souci pour des polynômes paramétrés (contient plusieurs paramètres)

- Il est trop binaire et ne laisse pas place à la notion de la marge de stabilité.

II.7.1.2. Critère algébrique de ROUTH

Pour savoir si les pôles d'une fonction de transfert sont à parties réelles négatives, on peut les calculer. Mais pour des polynômes de degré supérieur à 2, la résolution devient difficile. Le critère de Routh est un critère algébrique qui permet de savoir si les racines sont toutes à partie réelle négative (donc si le système est stable) sans avoir à calculer ces pôles.

1.1. Equation caractéristique

Dans le cas de l'étude de la stabilité en BF, l'équation caractéristique est :

(2.28)

Avec :

(2.29)

Que l'on peut mettre sous la forme :

(2.30)

(2.31)

II.7.1.3. Tableau de Routh

On forme le tableau suivant :

(2.32)

Avec :

(2.33)

(2.34)

(2.35)

Ce tableau est à former jusqu'à ce que l'on ait n lignes.

Le critère de Routh est le suivant : Si tous les termes de la première colonne sont strictement positifs, le système est stable. S'il y a c changements de signes dans la première colonne, l'équation caractéristique a c racines à parties réelles positives (et le système est instable).

II.7.2. Précision des systèmes linéaires asservis

Un système asservis (donc en boucle fermée) sera d'autant plus précis que sa sortie s(t) est proche de la consigne (valeur désirée) s_d(t). On peut quantifier l'erreur entre la consigne et la sortie :

(2.36)

Cette erreur sera significative de la précision de l'asservissement :

- une fois le régime permanent atteint. On parlera de précision statique ou bien,

- pendant le régime transitoire. On parlera de précision dynamique.

II.7.2.1. Erreur de position (Erreur statique)

En boucle ouverte, la fonction de transfert est notée G(p), en boucle fermée on écrit H(p).

On s'intéresse cette fois à la différence, en régime permanent entre la consigne et la sortie. Dans le schéma-bloc ci-dessous, on s'intéresse donc à :

(2.37)

Figure 2.12. Erreur statique

Elle permet d'évaluer l'aptitude d'un système à se conformer à une consigne constante (régulation). faible, meilleur précision du système.

II.7.3. Rapidité des systèmes régulés

II.7.3.1. Temps de réponse

C'est le temps requis pour atteindre la valeur finale de la sortie à un certain pourcentage près.

(2.38)

On choisit très souvent la notion de réponse à 5% près.

II.7.3.2. Temps de monté

Il est préférable au temps de réponse. C'est le temps requis pour que le signal de sortie franchisse pour la première fois son asymptote dans le cas évident où ce phénomène se produit.

Ce qui confère au temps de monté le caractère d'un bon paramètre pour chiffrer la rapidité d'un système en boucle fermée.

S(t)

S

t

t_m t_r

Figure 2.13. Représentation de temps de monté et de réponse

Considérons un système du second ordre de fonction de transfert en boucle ouverte G(p) placé dans un boucle de régulation à retour unitaire, avec :

Système du second ordre

(2.39)

Calculons la fonction de transfert en bouclé fermée de ce système :

(2.40)

(2.41)

Il est donc possible d'utiliser les résultats de l'étude à propos de l'étude indicielle des systèmes du second ordre, à condition de poser :

(2.42)

défini comme le gain statique en bouclé fermée ;

(2.43)

définie comme la pulsation propre en boucle fermée ;

(2.44)

facteur d'amortissement en boucle fermée.

Pour un échelon à l'entrée du système en boucle fermée

(2.45)

Avec : 1

(2.46)

Le calcul du temps de monté se fait en résolvant

(2.47)

Nous aurons :

(2.48)

Soit :

(2.49)

Nous écrivons :

(2.50)

(2.51)

La plus petite valeur est visiblement obtenue pour K=1, ce qui nous conduit :

(2.52)

L'étude de pour nous est utile. L'analyse de cette fonction nous montre que pour les valeurs courantes du facteur d'amortissement (0,2 0,8). 2 4.

Noue retiendrons de cet encadrement, une valeur approchée de  :

=3 (2.53)

(2.54)

(2.55)

II.7.3.3. Dépassement maximal (système du second ordre, 1)

(2.56)

Il est d'autant plus important que est faible.

(2.57)

La servovalve par ses propres caractéristiques affecte la performance globale du système de commande de frein. L'étude de la fonction transfert d'une boucle d'asservissement sera l'objectif des points suivants.

CHAPITRE III : SERVOVALVE ELECTROHYDRAULIQUE

III.1. Définition

La servovalve électro-hydraulique est un organe de contrôle proportionnel d'un débit hydraulique ou une pression hydraulique à sa sortie, modulé par un signal de commande électrique à son entrée, afin de doser la puissance délivrée au récepteur hydraulique.(^12(*))

Une servovalve électro-hydraulique est un appareil qui convertit une grandeur électrique (courant ou tension) en une grandeur hydraulique proportionnelle (débit ou pression).

Servovalve

Source de puissance hydraulique

Courant (I) Pression (P)

Tension (U) Débit (Q)

Figure 3.1. Servovalve

III.2. Classification de la servovalve

La servovalve à plusieurs étages hydrauliques est classifiée en deux catégories : les servovalves « en débit » et les servovalves « en pression » selon la nature du paramètre hydraulique contrôlé à sa sortie.

Par ailleurs, la servovalve électrohydraulique est constituée d'un étage électrique et d'un ou plusieurs étages hydrauliques, qui assurent la progressivité du débit et /ou de la pression, proportionnellement à la commande électrique.

Ainsi, la classification de la servovalve peut être étendue selon la nature et le nombre des étages hydrauliques. Une architecture générale de la servovalve peut être représentée par le schéma suivant.()

Figure 3.2. Architecture générale d'une servovalve

III.2.1. Etage hydraulique pilote

Cet étage d'amplification d'effort sert à piloter le distributeur de puissance. Plusieurs types sont distingués selon leur principe de fonctionnement, parmi lesquels :

· Buse-Palette : ce genre de système est facile à concevoir mais sensible à la pollution qui produit une panne critique (embarquement de l'actionneur).

· Jet oscillant (injecteur-buse) : ce type d'étage est difficile à concevoir et plus résistant à la pollution qui produit une panne moins critique (perte de performance de l'asservissement en position de l'actionneur).

· Déflecteur (jet dévié) : cette technologie a permis à son concepteur de contourner le brevet de jet oscillant. L'effet de pollution est similaire à celui de la technologie jet oscillant.

Figure 3.3. Différents types d'étage hydraulique pilote (1er étage)

Pour notre analyse, nous allons étudier la servovalve électro-hydraulique à buse-palette.

III.3. Constitution de la servovalve

Elle est constituée d'un, deux ou trois étages suivant que le moteur couple électrique pilote directement l'organe de puissance hydraulique (buse-palette), ou qu'il y a un, deux ou trois étages d'amplification hydraulique intermédiaire.(^13(*))

La servovalve la plus utilisée est la servovalve en débit ou pression à 2 étages. Elle est constituée de trois éléments :

· un actionneur pilote de type moteur-couple électrique ;

· un amplificateur hydraulique constitué d'un mécanisme buse-palette ;

· un tiroir de distribution.

Figure : 3.4. Servovalve simplifiée

L'armature du moteur-couple à courant continu se prolonge dans l'entrefer d'un circuit magnétique. Le passage d'un courant continu dans les deux bobines situées de part et d'autre de l'armature provoque le basculement de cette dernière d'un angle è.

L'armature est solidaire d'une palette plongeant dans l'amplificateur hydraulique et dont l'extrémité est située entre deux buses. Le mouvement de rotation de l'ensemble armature-palette vient étrangler le débit fluide traversant l'une ou l'autre des buses. La pression différentielle ainsi créée se répercute aux deux extrémités du tiroir du distributeur et provoque son déplacement.

Ce tiroir possède trois orifices de contrôle, P_a (Alimentation), P_h (Utilisation), R (Retour à la bâche). La pression P_h est proportionnelle au déplacement du tiroir compté à partir de la position zéro (position du milieu).

A titre indicatif, le diamètre d des buses est de l'ordre de quelques dixièmes de millimètres et l'écart e entre la buse et la palette de l'ordre de quelques centièmes de millimètres.

Comme le travail est mené sur une servovalve « en débit » à deux étages hydrauliques, son architecture et son fonctionnement sont détaillés ci-après.

III.3.1. Architecture d'une servovalve à deux étages

Une servovalve à deux étages comporte généralement un organe électrique (moteur électrique), un étage hydraulique pilote (étage d'amplification) et un étage hydraulique de puissance (étage de distribution) avec un système de rétroaction (asservissement en position), qui sont présentés dans la Figure.

Figure 3.5. Architecture d'une servovalve à deux étages

III.4. Etude simplifiée de la servovalve électro-hydraulique

II.4.1 Equation du moteur couple

A l'état repos, l'intensité et l'angle de décalage de la palette sont nul.

Le courant traversant les bobines génère un couple moteur :

C_m(t)= K_m.i(t) (3.1)

Deux ressorts, de coefficient de raideur k₁, exercent un couple résistant Cr.

Figure 3.6. Moteur couple

III.4.2. Système buse-palette

Les sections de fuite entre la buse et la palette sont identiques.

(3.2)

De même, les pressions P_A et P_B sont égales. Nous avons :

P_A= P_B=P₀ (3.3)

Nous admettons qu'une rotation d'angle de la palette se traduit par un accroissement (ou une diminution) de la distance buse-palette.

(3.3)

Figure 3.6 : Etat repos Figure 3.7 : Etat actionné

Cette augmentation (ou diminution) de section entraine une augmentation (ou diminution de pressions PA et PB proportionnelle àS. Ainsi :

(3.4)

(3.5)

Avec :

(3.6)

III.3.3. Tiroir du distributeur

Figure 3.8. : Tiroir en position repos

En position travail, la pression différentielle se répercute aux extrémités du tiroir et provoque son déplacement (Figure ).

Figure 3.9 : Tiroir en position travail

On utilise les notations suivantes :

· m_t : masse du tiroir ;

· S_t : section du tiroir à ses extrémités ;

· F_A et F_B : efforts exercés par les deux ressorts de coefficient de raideur k_t montés de part et d'autre du tiroir du distributeur ;

· c_t : coefficient de frottement visqueux entre tiroir et cylindre.

III.4. Principe fondamental de la dynamique (PFD) appliqué au tiroir

Le principe fondamental de la dynamique (PFD) appliqué au tiroir du distributeur et en déduire la forme canonique de la fonction de transfert :

· Théorème de la résultante dynamique :

- En projectant sur

(3.7)

Les forces des ressorts s'expriment :

(3.8)

(3.9)

Les pressions aux extrémités du tirroir s'expriment :

(3.10)

(3.11)

En remplaçant dans l'équation sur  :

(3.12)

· Transformée de Laplace de l'équation :

Nous considérons les conditions suivantes à t=0

(3.13)

Ainsi, nous pouvons écrire :

(3.14)

· Fonction de transfert

Divisons le numérateur et le dénominateur par 2k_t.

· Fonction de transfert sous sa forme canonique :

(3.15)

D'où le schéma bloc du servovalve peut s'écrire :

Figure 3.10 : Schéma bloc du servovalve

On admet enfin que la pression d'utilisation P_h(t)du fluide est proportionnelle au déplacement z(t) du tiroir :

(3.16)

III.5. Fonction de transfert de la servovalve

La fonction de transfert de la servovalve et montrer qu'elle peut se mettre sous la forme d'un système du second ordre :

(3.17)

· Fonction de transfert sous sa forme canonique :

(3.18)

· Coefficients caractéristiques de la fonction de transfert du second ordre :

Gain statique :

(3.19)

Pulsation propre :

(3.20)

Coefficient d'amortissement :

(3.21)

· La réponse indicielle la plus rapide et sans dépassement pour un système du second ordre, est du type apériodique critique. Ce type de réponse est obtenu pour un coefficient d'amortissement =1. Ainsi, pour la fonction de transfert S_v(p) :

(3.22)

(3.23)

· Avec =1, le polynôme du dénominateur de la fonction de transfert S_v(p) possède un discriminant nul et donc une racine réelle double . Il s'écrit sous la forme :

(3.24)

Ainsi :

(3.25)

· La constante de temps T_sv s'exprime :

(3.26)

(3.27)

D'où :

(3.28)

CHAPITRE IV : ANALYSE DU COMPORTEMENT DE LA SERVOVALVE ELECTRO-HYDRAULIQUE

IV.1. Analyse du système

Les systèmes asservis sont des systèmes commandés électromécaniques régis par les lois de la dynamique, et de l'électricité. La mise en équation d'un système conduit à un système d'équations différentielles.(^14(*))

Le but de l'analyse d'un asservissement est de parvenir à déterminer la commande du système qui remplisse les exigences du cahier des charges fonctionnel (analyse fonctionnel, caractéristique des fonctions de service attendues, et fonction de service réalisés).

Le schéma ci-dessous présente la démarche globale d'étude d'un système asservi, avec deux méthodes conduisant au diagramme fonctionnel (la méthode théorique qui passe par la mise en équations, et la méthode « pratique » qui consiste à effectuer des essais).

Système matériel asservi

si le système est simple si le système est complexe

Mise en équation

Système d'équations

Expérimentation

Sollicitation du système par un signal

Analyser (modélisation) Identification

Schématisation fonctionnelle

(schéma-blocs)

Sollicitation par un signal typique

Comportement fonctionnelle

Réponse du système

Simulation

Réglage et correction, en fonction des performances souhaitées

Analyse des performances

Figure : 4.1. Démarche globale d'étude d'un système asservi

Parmi ces deux choix des méthodes, nous avons souhaité faire notre analyse par la méthode théorique, qui pourra moins nous coûter que la méthode pratique.

IV.2. Système asservi

Le système à analyser s'intitule : servovalve électrohydraulique (lors de freinage des roues)

Le système comprend quatre (4) éléments, il s'agit :

1. Un calculateur de commande « BSCU » : Brake Pedal Transmitter Unit ou ABCU : Alternate Braking Control Unit, selon le mode de commande.

2. Une servovalve

3. Un bloc de frein

4. Un capteur « accéléromètre »

IV.3. Mise en équation des éléments du système de freinage en mode normal (15(*))

1. BSCU : Brake Pedal Transmitter Unit

(4.1)

(4.2)

: Sortie

: Entrée

: gain statique du BSCU

2. Servovalve électrohydraulique

La fonction de transfert de la servovalve en boucle ouverte est donnée par la relation :

(4.3)

 : gain statique de la servovalve

 : coefficient d'amortissement

 : pulsation propre

3. Bloc de frein

(4.4)

(4.5)

: Accélération des roues

: Coefficient de frottement des disques

: Pression hydraulique (sortant du servovalve)

4. Accéléromètre

La centrale inertielle contient des accéléromètres qui permettent de mesurer les accélérations suivant les trois directions xa, ya, za d'un repère lié à l'avion.

L'accéléromètre renvoie au BSCU un signal électrique u_a(t) image de l'accélération (t) suivant la direction xa. La tension u_a(t) est convertie en grandeur numérique a_m par un convertisseur analogique-numérique et rangée dans la mémoire du BSCU.

(4.6)

(4.7)

 : sortie

 : entrée

 : gain statique de l'accéléromètre

IV.4. Schéma fonctionnel du système de freinage des roues d'un avion

Figure 4.2. La boucle d'asservissement

Figure 4.3. Schéma bloc

D'où la fonction de transfert en boucle fermée du système s'écrira :

(4.8)

Cherchons le dénominateur commun :

(4.9)

Posons :

(4.10)

(4.11)

D'où l'équation de la fonction de transfert en boucle fermée devient :

(4.12)

IV.5. Comportement du système de freinage en boucle fermée

Dans ce point, nous allons faire l'analyse du système, voir si le système est performant (stable, précis, et rapide), ou non pour le corriger. (^16(*))

IV.5.1. Calcul de stabilité du système en boucle fermée

La théorie enseigne que, un système du second ordre sera toujours stable en boucle ouverte qu'en boucle fermée lorsque la branche retour est constituée que par un gain.

(4.13)

Parmi les critères de stabilité, nous avons utilisés le critère de Routh qui dit :: Si tous les termes de la première colonne sont strictement positifs, le système est stable. S'il y a changements de signes dans la première colonne, l'équation caractéristique à parties réelles positives (et le système est instable).

0 (4.14)

0

Or, nous avons posé :

et

Le système est bel et bien stable à condition que : 0

C'est-à-dire : 0

IV.5.2. Calcul de la précision du système en boucle fermée

IV.5.2.1. Erreur statique ou erreur de position

(4.15)

(4.16)

(4.17)

(4.18)

Dans ce cas :

(4.19)

Calculons l'erreur de position à l'entrée Echelon unitaire E(p)=

(4.20)

(4.21)

Or, nous avons posés :

(4.22)

Cette précision peut être régler avec : K₀.K_acc, donc il faut maximiser : .

Plus que l'erreur est petite, la précision sera meilleur.

Hypothèse 5

Si l'accéléromètre est de gain unité (K_acc = 1)

Avec :

(4.23)

Donnons des valeurs à K₀

Avec : K₀ = 1 : = 50 %

K₀ = 9 : = 10 %

K₀ = 19 : = 5 %

K₀ = 99 : = 1 %

IV.5.3. Calcul de la rapidité du système en boucle fermée

(4.24)

(4.25)

(4.26)

défini comme le gain statique en bouclé fermée ;

(4.27)

définie comme la pulsation propre en boucle fermée ;

(2.28)

facteur d'amortissement en boucle fermée.

D'où, l'équation générale du système en boucle fermée devient :

(4.29)

Pour décrire la rapide de ce système (temps de monté et de réponse), nous avons utilisé un logiciel « MATLAB », qui sera l'objet du point suivant.

Par là, nous allons voir comment les courbes sont tracées, et puis interprétées.

IV.6. Simulation du système de freinage des roues par MATLAB

IV.6.1. Introduction

MATLAB (MATrix LABoratory) est un logiciel de calcul numérique produit par MathWorks. Il consiste en un langage interprété qui s'exécute dans une fenêtre dite d'exécution.(^17(*))

SIMULINK : c'est l'extension graphique de MATLAB permettant la modélisation et la simulation de systèmes dynamiques en utilisant une représentation de type graphique (schéma bloc).

Avec matlab il n'est plus besoin de disposer d'équipement encombrant et coûteux pour expérimenter et mettre au point ses connaissances, ses cours, ses exercices et problèmes. Un ordinateur portable équipé du logiciel adéquat suffit.

Avec matlab on peut simuler rapidement n'importe quel système puis procéder à la correction en boucle fermée avec un correcteur approprié. Un computer équipé du logiciel matlab adéquat suffit : équipements encombrant et coûteux ne sont plus un problème pour des expériences.

On peut utiliser MATLAB soit :

1. En mode en ligne; c'est-à-dire saisir des commandes dans la fenêtre d'exécution au fur à mesure. Le mode en ligne permet d'obtenir des résultats simples qui ne sont pas sauvegardés.

2. En mode programmation; en écrivant dans des fichiers séparés l'enchaînement des commandes. Ces fichiers s'appellent des scripts et on les construit à la l'aide de n'importe quel éditeur de texte. Le mode programmation, lui, permet de développer des applications très complexes.

L'utilisateur peut entrer multiples commandes ou équations mathématiques après le signe >>, qui apparaît au coté gauche de la fenêtre. Pour exécuter une opération, il faut toujours appuyer sur la touche enter du clavier. De plus, il faut terminer l'opération par un point- virgule « ; » sinon, toutes les étapes du calcul seront affichées sur l'écran.

IV.6.2. Simulation de systèmes de freinage par MATLAB (18(*))

Hypothèse simplificatrice :

Le capteur (l'accéléromètre est placé dans la chaîne directe) de façon à étudier un système à retour unitaire.

Cahier de charge (paramètres intrinsèques du système à régler).

K_c = 8 mA

K_sv = 1.34. 10^-4 m³/s/mA

K_f = 0.7

K_acc = 1330 mA/m

= 0,9

= 78.5 Rad/s

IV.6.2.1. Programmation du système de transfert en boucle ouverte

La fonction de transfert est notée par :

En boucle ouverte la réponse est représentée ci-dessus.

Commentaire :

- Rise time (temps de montée) 0.0367 secondes, 

- Setting time (temps de réponse ou d'établissement du régime stationnaire) 0.0599 secondes.

Le dépassement est de 0.152 %

Mais, la boucle ouverte n'est pas bienvenue pour une étude en asservissement, parce que le système n'est pas contrôlé. Nous devons passer d'un système en boucle ouverte à un système en boucle fermée.

IV.6.2.2. Programmation du système en Boucle Fermée non compensée

Commentaire

Bleu : Boucle ouverte

Vert : boucle fermée non compensée avec l'accéléromètre sur la chaine directe de façon à étudier un système à retour unitaire.

D'où l'écart est de 1-0.5 = 0.5 soit 50 % d'imprécision, il nous faut obligatoirement un système correcteur.

IV.6.2.3. Choix du correcteur

Le correcteur a été choisi selon la théorie de compensation pôle-zéro ; qui consiste à créer des pôles et des zéros du correcteur qui se simplifient avec ceux du système à corriger.(^19(*))

L'objectif de ce point est de présenter une première technique de synthèse des régulateurs PI, PD et PID, une méthode permettant de calculer les paramètres Kp, Ti et Td selon le type de régulateur choisi.

On se restreindra à la présentation de la méthode de synthèse dite de compensation pôle-zéro. La technique de la compensation pôle-zéro consiste à placer un zéro du régulateur Gc(s) situé au même endroit qu'un des pôles du système à régler.

La fonction de transfert du système en boucle ouverte avec MATLAB sera :

Programmation

>> num=0.998;

>> den=[0.0001623 0.02293 1];

>> Bo=tf(num,den)

Transfer function:

0.998

-----------------------------

0.0001623 s^2 + 0.02293 s + 1

>> zpk(Bo)

Zero/pole/gain:

6149.1066

----------------------

(s^2 + 141.3s + 6161)

>> roots(den)

ans =

-70.6408 +34.2244i

-70.6408 -34.2244i

Choix du correcteur selon la compensation pôle zéro (ça se fait toujours en boucle ouverte)

Transfer function:

0.998

-----------------------------

0.0001623 s^2 + 0.02293 s + 1

>> sys1=Bo;

Le compensateur est dimensionné en se basant sur la fonction ci-haut. Et on écrira :

0.0001623 s^2 + 0.02293 s + 1

0.002293s

Par Matlab il on tapera :

>> num1=[0.0001623 0.02293 1];

>> den1=[0.02293 0];

>> sys2=tf(num1,den1)

Transfer function Corrector G(s):

0.0001623 s^2 + 0.02293 s + 1

-----------------------------

0.02293 s

En multipliant le bloc correcteur et celui du système à régler, on aura par Matlab :

>> sys=sys1*sys2

Transfer function:

0.000162 s^2 + 0.02288 s + 0.998

------------------------------------------

3.722e-006 s^3 + 0.0005258 s^2 + 0.02293 s

Et en boucle fermée Matlab donnera:

>> sys3=feedback(sys,1)

Transfer function:

0.000162 s^2 + 0.02288 s + 0.998

--------------------------------------------------

3.722e-006 s^3 + 0.0006878 s^2 + 0.04581 s + 0.998

Un système du troisième ordre et de degré relatif 3-2=1. D'où vient que le système se comportera comme celui du premier ordre n'ayant naturellement pas de dépassement.

.

CONCLUSION GENERALE

Après modélisation et simulation, la boucle ouverte, les boucles fermées compensée et non sont représentées ci-dessous :

Temps de montée (Rise time) de 10 à 90 %

Temps de réponse (Setting times) ou temps d'établissement du régime stationnaire à 2%

Tableau récapitulatif.

>> num=0.998;

>> den=[0.0001623 0.02293 1];

>> Bo=tf(num,den);

>> sys1=feedback(Bo,1)

Transfer function:

0.998

---------------------------------

0.0001623 s^2 + 0.02293 s + 1.998

>> num2=[0.0001623 0.02293 1];

>> den2=[0.02293 0];

>> corr=tf(num2,den2)

Transfer function:

0.0001623 s^2 + 0.02293 s + 1

-----------------------------

0.02293 s

>> sys=corr*sys1

Transfer function:

0.000162 s^2 + 0.02288 s + 0.998

------------------------------------------

3.722e-006 s^3 + 0.0005258 s^2 + 0.04581 s

>> syscomp=feedback(sys,1)

Transfer function:

0.000162 s^2 + 0.02288 s + 0.998

-------------------------------------------------

3.722e-006 s^3 + 0.0006878 s^2 + 0.0687 s + 0.998

Etude comparative de performances

Système	Fonction de transfert	Pôles, zéro et gain	Régime	Rapidité		Dépas %	Précision Ecart de position
				Tm 0 à 90 %	Tr 2%
BO	0.998 ------------------------------------------ 0.0001623 s^2 + 0.02293 s + 1	-70.6500 #177; 34.1991i Pas de zéro 6149.1066	Oscillatoire	0.0368	0.0599	0.153	0%
BF	0.998 ----------------------------------------------- 0.0001623 s^2 + 0.02293 s + 1.998	-70.6408#177;85.5594i Pas de zéro. 6149.1066	oscillatoire	0.0176	0.0541	7.45	50%
BF C	0.000162 s^2 + 0.02288 s + 0.998 ---------------------------------------------------------------------- 3.722e-006 s^3 + 0.0006878 s^2 + 0.0687 s + 0.998	-70.6500 #177;34.1991i -70.6500 #177;34.1991i et -17.2200 43.5238	non oscillatoire	0.0505	0.0899	Non	0%

BIBLIOGRAPHIE

I. OUVRAGES

Brian D. Hahn and Daniel T. Valentine, Essential MATLAB® for Engineers and Scientists,Third edition,2007.

Catalog, "Transfer Function For MOOG Servovalves", MOOG Technical Bulletin 103, MOOG Inc. Controls Division, East Aurora, Ny 14052.

G. Rabie and M. Lebrun, "Modélisation par Les Graphes à Liens et Simulation d'une Servovalve Electrohydraulique à Deux Etages", R.A.I.R.O Automatique Systems Analysis and Control, vol. 15, n°2, 1981.

Y. Tchouprakov, Commande Hydraulique et Automatismes Hydrauliques. Moscou, Ed. Mir, 1979.

Jacques Veaux, Les trains d'atterrissage et les systèmes associés, Edité par le Centre des hautes études de l'armement Division Histoire de l'armement, 2006.

II. SUPPORTS DE COURS

J.Baillou, J.P.Chemla, B. Gasnier, M.Lethiecq, Cours de Systèmes Asservis, Polytech'Tours, 2009.

Lionel PREVOST, cours de l'initiation à Matlab, Université Pierre et Marie Curie, Paris, 2008.

Prof. Michel ETIQUE, cours Régulation automatique, Ecole d'Ingénierie et de Gestion du canton de Vaud, Suisse, 2007.

III. THESES PUBLIEES

Batoul ATTAR, Modélisation réaliste en conditions extrêmes des servovalves électrohydrauliques utilisées pour le guidage et la navire aéronautique et spatiale, Thèse de Doctorant 2008,INSA de Toulouse, n°ordre 919.

J.-C. Maré, "Mémoire de Doctorat d'état, Contribution à la Modelisation, la Simulation, l'Identification et la Commande d'Actionneurs Electrohydrauliques". Lyon, Université Claude Bernard- Lyon I, 1993.

IV. SITES INTERNET

http://www.aviation-fr.com

http://www.gs2i.fr/fineprint/pdffactory.htm

http://www.google.com/constitution_des_freins.htm

http://www.wikipedia/corrige-UPSTI-2007/ccp-mp.htm

http://www.aero-hesbaye.be/dossiers/PA/PA_ind.htm

ANNEXE

* ¹ Jacques Veaux, Les trains d'atterrissage et les systèmes associés, Edité par le Centre des hautes études de l'armement Division Histoire de l'armement, 2006, p.121-122.

* ² http://www.aviation-fr.com

* ³ Idem

* ⁴ www.messier-bugatti.com

* ⁵ www.aviation-fr.com

* ⁶ www.wikipedia.com/constitution_des_freins.htm

* ⁷ www.wikipedia/corrige-UPSTI-2007/ccp-mp.htm

* ⁸ Notes de cours de Mathématique, G1/2007, p.130-145.

* ⁹ http://www.aero-hesbaye.be/dossiers/PA/PA_ind.htm

* ¹⁰ Dictionnaire la Rousse

* ¹¹ J.Baillou, J.P.Chemla, B. Gasnier, M.Lethiecq, Cours de Systèmes Asservis, Polytech'Tours, 2009, p.1-82.

* ¹² Batoul ATTAR, Modélisation réaliste en conditions extrêmes des servovalves électrohydrauliques utilisées pour le guidage et la navire aéronautique et spatiale, Thèse de Doctorant 2008,INSA de Toulouse, n°ordre 919, p.5-32.

* ¹³ J.-C. Maré, "Mémoire de Doctorat d'état, Contribution à la Modelisation, la Simulation, l'Identification et la Commande d'Actionneurs Electrohydrauliques". Lyon, Université Claude Bernard- Lyon I, 1993. P.33-34.

* ¹⁴ Y. Tchouprakov, Commande Hydraulique et Automatismes Hydrauliques. Moscou, Ed. Mir, 1979, p.103.

* ¹⁵ Catalog, "Transfer Function For MOOG Servovalves", MOOG Technical Bulletin 103, MOOG Inc. Controls Division, East Aurora, Ny 14052, 1965.

* ¹⁶ G. Rabie and M. Lebrun, "Modélisation par Les Graphes à Liens et Simulation d'une Servovalve Electrohydraulique à Deux Etages", R.A.I.R.O Automatique Systems Analysis and Control, vol. 15, n°2, 1981, pp. 97-129.

* ¹⁷ Brian D. Hahn and Daniel T. Valentine, Essential MATLAB® for Engineers and Scientists,Third edition,,2007, p.1-429.

* ¹⁸ Lionel PREVOST, cours de l'initiation à Matlab, Université Pierre et Marie Curie, Paris, 2008, p.1-86.

* ¹⁹ Note des cours, Régulation automatique, (MI : M173-REG GE : REGHaute), Ecole d'Ingénierie et de Gestion du Canton de Vaud, Suisse, mars 2007, p.161-167.