III.5. Estimation des paramètres avec les
modèles IRT et test
d'ajustement
III.5.1. Estimation des paramètres
a) L'estimation des param~tres pour le modle de
Rasch
On considère deux types de modèle de RASCH : le
modèle de RASCH à effets aléatoires selon lequel le trait
latent è est aléatoire et le modèle de RASCH à
effets fixes où la variable è est considérée fixe.
Dans l'encadré ci-dessous on voit que la log-vraisemblance des
observations est la somme de la log-vraisemblance marginale des scores (LM) et
de la log-vraisemblance conditionnellement au score qui ne dépend que
des paramètres de difficultés. Ainsi on fait une estimation en
deux étapes. La première consiste à une estimation par
maximum de vraisemblance conditionnelle et la seconde à une estimation
par maximum de vraisemblance marginale.
L'estimation par maximum de vraisemblance conditionnelle
permet d'estimer les paramètres de difficulté. En effet, la
log-vraisemblance conditionnelle au score ne dépend que des
paramètres de difficultés. Les paramètres de
difficultés estimés sont ensuite utilisés dans
l'estimation des niveaux d'acquisition par la méthode du maximum de
vraisemblance marginale.
Encadré 1 : Notations et notions
préliminaires à l'estimation
Notations
La variable aléatoire de bernouilli
le vecteur de réponse de l'individu i qui est la
1 ~~
......
) ( ) 1 )
x x
X x P T P dG T )
j
réalisation de la variable aléatoire
la matrice des réponses de N individus aux J items, qui
est
la réalisation de la variable
aléatoire
Notions préliminaires
P X x S s
Soit la fonction de répartition de la variable latente
pour un individu i, la
(( ) ( ))
i
, i
X x S s
? / )
? ?
i 1 J i i
probabilité d'observer le vecteur de réponse
s'écrit :
[2]
La probabilité d'observer un vecteur de réponse
donné sachant que l'individu à eu un score donné est
définie ci-dessous : [2]
.
Pour N individus ayant répondu individuellement à J
questions, La probabilité jointe de réponse des N individus aux J
questions s'écrit : [2]
N
= L x ? s
( , / ) ? =L s G s
( )
C M
? ? ?
De cette écritur, on obtient la log Vraisemblance qui suit
: [2]
? ? ?
( )
s exp( )
? j ?
Log vraisemblance du modèle de
RASCH
Où
Enfin
avec
la log vraisemblance conditionnelle au
score
et
log vraisemblance marginale des scores
On en déduit que la log-vraisemblance des observations
est la somme de la log-vraisemblance marginale des scores (LM) et de la
log-vraisemblance conditionnellement au score qui ne dépend que des
paramètres de difficultés.
Estimation des paramètres de difficulté des
items : spécification du modèle
? 1 si k
?
Le modèle transformé donne pour un individu
répondant à un item j :
Avec
Log ? p ? ? ?
I ?
i et
? ? 1)
? une variable aléatoire égale à
l'erreur
k j
de spécification
Dans la pratique, la variable à
expliquer est la réponse aux items et les
variables explicatives sont des indicatrices
Ikj . A chaque item j correspond un paramètre de
difficulté .
On crée donc J variables indicatrices Ikj
telles que pour k=1 ;2 ;...... ;J.
On obtient le modèle suivant :
.
On fait ensuite une estimation logistique conditionnelle sur le
modèle cidessus. Cette estimation permet d'obtenir uniquement les
paramètres de difficultépour chaque item à un signe
près. Les estimateurs obtenus sont convergents.
Estimation de la variable latente et spécification
du modèle.
On a N individus mais on a J-i-1 score (S= 0 ; 1 ; 2 ;... ; J).
Puisque le score S est une statistique exhaustive pour la variable latent, on
aura à estimer J-i-1 traits latents
(dans le cas où N>J). On crée J+1 variables
indicatrices associées au score obtenu par chaque éleve.
La variable expliquée est la
réponse aux items et les variables
explicatives sont les indicatricesSsi
. Les parametres de difficulté déjà estimés sont
introduits dans la
modélisation comme variables offset. Une variable offset
est une variable à laquelle on associe le coefficient 1 dans une
modélisation :
Le modele estimé est sans constante. Les estimations des
modeles présentés ci-dessus requierent la transformation des
données.
b) Estimation des paramètres de
difficulté et de trait latent pour
le modèle de BIRNBAUM.
Pour l'estimation du modèle à deux
paramètres, on se réfère aux modeles linéaires
généralisés. En effet, Les modeles IRT entrent dans le
cadre des modeles linéaires généralisés. De plus le
modele de BIRNBAUM perd la propriété d'exhaustivité du
score simple. Dans ce cas, on ne peut plus utiliser la méthode
d'estimation par maximum de vraisemblance conditionnelle.
Le modele à estimer ici est :
La variable expliquée est la
réponse aux items et les variables
explicatives sont les indicatrices Ikj définies
plus hauts. A chaque item j correspond un parametre de difficulté .
Cette estimation requiert des travaux préliminaires
liés à la transformation des données. En
annexe, est présentée la démarche à suivre et la
mise en oeuvre sous stata.
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