III.4.2. Le modèle à deux et trois
paramètres
a) Le modèle à deux paramètres
ou le modèle de BIRNBHAUM Sa formulation
mathématique se présente comme suit :
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?? ?????? = ?? =
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?????? ???? ??? - ???? )
??+ ?????? ???? ??? - ???? )
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Le modèle logistique à deux paramètres
généralise le modèle de Rasch. Il nécessite en plus
du paramètre de difficulté, un paramètre pour le
caractère discriminant de l'item.
Dans ce cas ces deux paramètres sont libres de varier
permettant ainsi aux CCI de se croiser.
Cependant ce modèle ne possède pas de
statistique exhaustive contrairement au modèle de Rasch. Toutefois, si
l'on suppose les valeurs des pouvoirs discriminant áj
connues alors le score pondéré est exhaustif pour le
trait latent è.
Cependant les paramètres ne sont pas connus a priori ce
qui empêche l'utilisation de cette propriété.
b) Le modèle à trois
paramètres
Ce modèle prend en compte le paramètre de chance,
il s'écrit comme suit :
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?? ?????? = ?? = ???? + ??- ????
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?????? ???? ??? - ???? )
??+
?????? ???? ??? - ???? )
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Il est le plus approprié dans le cas où tous les
paramètres sont nécessaires pour expliquer les données,
c'est-à-dire dans le cas où les items varient beaucoup du point
de vue de la discrimination, et où la conjecture est un facteur incident
dans les scores. Cependant il perd la propriété
d'exhaustivité et d'objectivité de la mesure.
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