Etude détaillée du transfert de chaleur lors de l'ébullition sous-saturée en utilisant le modèle mécaniste de Yeoh

b\- Répartition des flux de chaleur de modèle de Yeoh et al :

Ce modèle de type «Kurul et Podowski amélioré» passe alors de trois (3) à quatre (4) flux, le quatrième étant un flux de conduction instationnaire lors du glissement des bulles sur la paroi :

· Öf c : le flux de chaleur monophasique par convection forcée,

· Ötc : le flux de conduction instationnaire lors du détachement ou décollage des bulles de leur site de nucléation,

· Ötc,sl : le flux de conduction instationnaire lors du glissement des bulles,

· Ö_e : le flux net de chaleur par évaporation.

De manière identique au modèle de Kurul et Podowski, le flux de chaleur pariétal correspond à la somme de ces flux.

?~?~ = ?~fc ?~?~ ?~tc ?~tc,?~1

(3.16)

c\- Modélisation de modèle de yeoh et al

* Le flux de convection forcée Öf c

Le flux de chaleur transmit au fluide par convection forcée est donnée par :

Öfc = Afchfc(Tw -- T)

(3.17)

La fraction de l'aire non-influencée par les bulles _Afc est calculée à partir de celle influencée par les bulles Atc :

(K ^ð14)t1_wf1+ (K ð d) III -- t_wf) I+ N_agKD tl_w

mi²

Atc ^=l _RfNa [ 4

4 )

(3.18)

D'oA :
	Afc = 1 -- Atc	(3.19)

Le coefficient de transfert thermique convectif _hfc est calculé en utilisant la corrélation de Dittus-Boelter :

ki o4

hf, = l 00I23 1Re^ors Pr (3.20)

p_h 1 1

OA :

Pr1 = (CP ì) ; 1Re1 = l (ñi d

k 1 ì_i )₁

Cette corrélation est valable pour un écoulement ascendant dont le rapport L/Dh>50, Re >10000 et 0,7 = Pr = 160.

* Le flux de conduction instationnaire (1)t, :

Lors du détachement ou décollage des bulles de leur site de nucléation. Ce flux est calculé par les auteurs comme un flux de conduction instationnaire appliqué sur la fraction de l'aire influencée par les bulles _24tc se détachant ou décollant de leur site actif de nucléation. Il est pondéré par le facteur de réduction Rf afin de différencier les bulles décollant et les bulles glissant sur la paroi :

^2 Ö~~ = 2 ~ ~~ñ~~~~ ð~~ ~T~ - T R N ~ K ~ð~~ ~ ~ t f	(3.21)
~ 2 ~ ~~ñ~~~~ ð ~~ (T - T) R N ~ ~ð~~ ~ ~ (1 - t f )

* Le flux de conduction instationnaire influencé par le glissement des bulles

Otcs/

Lors du glissement des bulles sur la paroi. Ce flux est également calculé comme un flux de conduction instationnaire classique rapporté à la fraction de l'aire influencée par les bulles _24tc glissant sur la paroi. Il est également multiplié par le facteur de réduction Rf :

Ötcs1 = 2 ~ ~~ ñ~ ~~~ ð~~ ( T - T ) R N ~ l K D t f ~ + 2 ~ ~~ ñ~ ~~~ ð ~~ ( T - T ) R N ~ f t ~ð ~~~ ~ ~ ( 1 - t f )

(3.22)

* Le flux net d'évaporation (P_e

Ce flux est calculé exactement comme celui du modèle de Basu et al, et se différencie donc du modèle de Kurul et Podowski par l'utilisation du facteur de réduction Ri :

_IrD1^3 Öe = l RfNafa: 6 119ghfg

(3.23)

3.2.3.1 Modélisation de différents paramètres : Le modèle de Yeoh et al. Comporte :

* une inconnue principale : soit la température de la paroi T_w , soit le flux pariétal, (I)_w.

* plusieurs paramètres qui nécessitent d'être modélisés.

1- le diamètre de détachement des bulles Dd

2- le diamètre de décollage des bulles Dl

3- la densité de sites actifs de nucléation N_a

4- le coefficient d'échange monophasique par convection forcée hi c

5- le temps de croissance d'une bulle sur son site actif de nucléation t_g

6- le temps de glissement de la bulle sur la paroi t₅1

7- le temps de décollage de la paroi t₅1

8- le temps d'attente entre le détachement (ou décollage) d'une bulle son site actif de nucléation et l'apparition d'un nouvel embryon de vapeur sur ce même site t_w

9- la distance de glissement 1₅ Les autres paramètres sont des données thermo hydrauliques de l'écoulement.

a. Diamètre de détachement Ddet de décollage D1 :

Fig3.4:Illustration schématiques de mécanisme de détachement, glissement et
décollage de la bulle de vapeur sur la paroi chauffante (2008, [10]).

L'évaluation de diamètre de détachement et de décollage des bulles de la paroi s'appuie sur la résolution d'un bilan des forces agissant à une bulle de vapeur isolée grossissant sur une paroi chauffante (figure 3.5).

1- Différentes forces appliqués sur la bulle :

Elles peuvent être décomposées en deux catégories :

1. les forces statiques, qui existent même en absence d'écoulement autour de la bulle,

2. les forces hydrodynamiques, qui due à l'existence de l'écoulement

Ces forces sont schématisées sur la figure ci-dessous :

Fig3.5 : Les forces intervenantes sur la bulle de vapeur l'instant de détachement
(2008, [10]).

2- Modélisation de différentes forces : - La force de traînée Fqs :

La force de traînée s'oppose au mouvement relatif de la bulle.

Fqs = ⁶C?~ðì?~ur

(3.24)

?~¹

?~

Oil : C?~ = 12 3 + ?~( 12 ?~?~ coef?~icient de trainé. n=0 ; ?~?~?~ = ?~?~d(?~?~?~?~?~)

Rej,?~ + 0.796?~?~ ?~?~

- La force de portance Fsl :

C'est une force liée à la non-uniformité de l'écoulement et/ou à la dissymétrie de la bulle qui engendre une réaction perpendiculaire à la vitesse relative de la bulle.

1 F?~?~ = C?~ñ?~u^2ðr^2 2	(3.25)
CL = 3.877Gç ( 1 ?~ + 0.014G?~^2) Re?~		1 ^4 Coefficient de portance.

Oil Reb , ReF sont les nombres de Reynolds de la bulle et de fluide, respectivement.

G_s est le taux de cisaillement adimensionné donné par la relation suivante :

G₅ = ?~du r

dx?~x=r u (3.26)

La valeur de la vitesse u ainsi que sa dérivée spatiale ( ?~'

?~?~ ) quand x = r, sont

calculées en utilisant l'expression analytique de Reichardt pour l'écoulement simple phase liquide (régime turbulent):

u+ = ?~

U_ô

1 ln(1 + K x^?~) + c ?~1 - exp (- ?~?~ ÷ ?~ - ?~?~ ÷ exp (- ?~?~

= 3 ?~?~ (3.27)

Oil :

K

u : Vitesse de fluide à l'épaisseur (x) de la couche sous refroidie (m/s).

u : Vitesse adimensionnelle en fonction de l'épaisseur adimensionnelle (x⁺) qui est donnée par :

~+ = ñ_~ ~_ô ~ (3.28)

U1,u1k

U1, : Vitesse de frottement à la paroi (m/s), Elle est déterminée à partir de

u_ô = u1,bu1k ( ~

2.36 in ~ei J-4.39) (3.29)

Avec _ul,bulk est la vitesse moyenne de liquide au centre de l'écoulement.

- La force de flottabilité Fb :

Cette force est la résultante de la poussée d'Archimède et du poids s'exerçant sur la bulle. Elle est donnée par :

~ Fb = rðg (ñi - ñg) ~

(3.30)

- La force de croissance Fdu :

C'est une force liée à l'inertie du liquide environnant la bulle mis en mouvement par l'accélération ou la croissance de celle-ci.

Elle est déterminée suivant la corrélation de Zeng et al, qui ont considéré une bulle hémisphérique en phase de croissance dans un liquide visqueux, la corrélation est la suivante :

Fdu = -ñ1ðr~ (~ ~ Cr? + rr·~

(3.31)

Où la constante empirique C est introduite pour tenir compte de la présence de la
paroi, en basant sur la comparaison des données expérimentales disponibles, Zeng et al

ont proposé la valeur C_~ = 20/3.

L'évolution temporelle du rayon des bulles r(t), ainsi leurs dérivées r? et r ·

nécessaire dans la relation de la force de croissance sont obtenus en considérant le
modèle proposé par Zuber (1961, [1]), r(t) est corrélé en fonction du nombre de Jakob
(Ja), la diffusivité thermique pour la phase liquide (ç_i) et la constante empirique b par

la relation suivante :

r(t) = ~~ v~ ~~ ~~~~ (3.32)

OA :

ja= 0ñp1cP (nrw^-TsA)=1 k l

; 41 ^=lñ_ghloo Pl-pll

L'équationn (3.31) devient ^:
	FMau= El-^-- 36PbEV4/4ð, /	(3.33)

La constante empirique b,d'aprèss Zuber, est au voisinage de un(b1)) pourun ⁿécoulementt vertical.

- La force de tension superficiell F. : I

La force de tension de surface est une force capillaire qui maintient la bullesur r la paroi ets'opposee au détachement et décollage de celle-ci. Elle agit au niveau dela a ligne de contact entre la paroi etl'interfacee liquide/vapeur.

F_sx =l- ~_w0" _aⁿ _f3[cos/3 ---sin1 a] l

Fs= E(3.34))

r(ax-()=1

11111Mk_gy=El E--d_wo^- _{7r2(Ed_f30} [cos0/3+lsin M ] El

Enréalité,, lediamètree de contact d_w , 0 et0^'évoluentt au cours dedéveloppement t

de la bulle. Plusieurs auteurs ondonnée& des valeurs issues del'expérimental..

Pour le modèle de Yeoh, les valeurs de ~~, 0 et 0' ont été donnée 0.09mm, 5^l et

10° respectivement.

á l= è + 0^' ; 13 I= è -- 0'

- La force de pression de contact F_cp:

La force de pression de contact résulte de la différence de pression entre l'intérieur et l'extérieur de la bulle et correspond à la composante normale à la paroi du bilan total des forces de pression qui s'exercent sur la bulle :

	~ Fci, = d^cr)i^ndw	de la dynamique appliqué à une	(3.35) bulle s'écrit : (3.36)
	1 -- 5r 4
	Le principe fondamental
ÓF 1= Fs + Fdu +		d
		= Fs1 + Fos + Fb + Fci, I Pg dt (9bUb)

Le bilan des forces statiques et dynamiques projetées sur les deux axes ox et oy, s'écrit :

d

/x: ÓFx 1 = Fs_x + _Fs1 + _Fdu. + _Fcp I= Pg dt (9b.~b) (3.37)

d

/y : ÓF_y 1= _Fsy + Fb + _Fduy + _Fqs I= Pg dt (9b.12b) (3.38)

Dans le cas de faible rapport de densité ( ñ: << 1 l ), les forces d'inerties sont

négligeables.

Dans le cadre des écoulements verticaux, l'équation selon x gouverne le phénomène de décollage des bulles de la paroi tandis que l'équation selon y permet de décrire le détachement des bulles de leur site actif de nucléation ainsi que le glissement de celles-ci sur la paroi.

La détermination de diamètres de détachement et de décollage s'appuis sur la résolution de ces deux équations

Diamètre de détachement (Dd) :

La bulle est attachée sur son site de nucléation, elle est inclinée d'un angle è due à la force hydrodynamique et hydrostatique de l'écoulement et grandit jusqu'un volume critique du détachement Vd , la bulle alors quitte son site de nucléation.

Le diamètre de détachement (Dd) correspondant au volume Vd est défini comme suit :

Dd = l 2l (3vd)1/3 (3.39)

\ 4ð I

Le diamètre au détachement Dd s'obtient donc par la résolution de l'équation suivante :

Fb + _Fsy + _Fdu sin ₀ + Fqs = 0 (3.40)

Le diamètre de décollage (DL)

Au moment de glissement, la bulle se redresse (sans inclinaison, 0 = 0) elle prend

davantage de volume le long de la surface chauffante mais sans la quitter jusqu'à ce que la force de portance _Fsl (voir la) est suffisante pour faire la décoller de la surface. Au point de détachement.

Le diamètre de décollement (DL) correspondant au volume VL est défini comme suit :

D L = l 2l (3:) ^1/13 (3.41)

Le diamètre au décollage DL s'obtient donc par la résolution de système d'équation suivant :

Fs1 + _Fdu cosO + F_cp + F_sx = 0 (3.42)

b- Le temps d'attente t_w [1]:

C'est le temps nécessaire à la reconstitution de la couche limite thermique, suite au glissement et/ou au décollage des bulles, est défini par :

c- La fréquence de nucléation f :

La fréquence de nucléation f est définie de manière classique comme dans le modèle de Basu et al :

d- La densité de sites actifs de nucléation Na :

La densité de sites actifs de nucléation utilisée dans ce modèle est, comme pour Kurul et Podowski :

e- La longueur de glissement l_s :

Elle est approximée à l'aide de la corrélation de Maity utilisée dans le modèle

de nucléation de Basu et al :

Fig 3.6 : Glissement de la bulle sur la paroi [3].

f- La fraction de l'aire influencée par le glissement des bulles Asl :

Elle correspond à la fraction de l'aire balayée par les bulles lors de leur glissement sur la paroi et s'exprime en fonction des diamètres de détachement et décollage.

0 est l'angle d'inclinaison de la bulle de vapeur.

· D51 le diamètre moyen des bulles pendant leur glissement,

'sI = ('d + D1) / 2 (3.52)

h- Le facteur de réduction Rf : Il est calculé de la même manière que celui du modèle de Basu et al :

5 1

Rf = = (3.53)

t_s 1 JfN~

S : la distance entre deux cite de nucléation.

i- Le paramètre K

Ce paramètre permet de rendre compte de la zone d'influence effective des bulles. Il est pris égal à 1,8 pour ce modèle [2]:

K = 1.8