4.2.3 Existence d'une solution
Soit £ l'opérateur différentiel
1 ói j(x,t) ?2
£ = 2 ? +?i
ui(x,t) ?
?xi?xj ?xi
i j
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On considère l'equation de Fokker-Planck
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?p
?t
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= L * p
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On etablit que lorsque les coefficients
u(x,t) et ó(x,t) sont
lipschitziens (Chapitre 3 section 3.3.2) et verifient une condition
supplementaire d'uniforme ellipticity, l'equation de Fokker-Planck a une
solution unique. Plus precisement, on a le resultat suivante.
Théorème 4.3 On suppose que
les coefficients de l'équation de Fokker-Planck sont lipschitziens et
qu'il existe une constante c > 0 telle que les coefficients
uij(x,t) vérifient la condition
? óij(x,t)yiyj =
c|y|2, ?x,y ?
ij
où |y| est la norme de y, alors il
existe une unique solution de l'équation de Fokker-Planck
p(s,x;t,y) continue et à
dérivées partielles ?xip et
?xi?xj p continues.
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