Conception d'un pro logiciel interactif sous r pour la simulation de processus de diffusion

4.2.3 Existence d'une solution

Soit £ l'opérateur différentiel

1 ói j(x,t) ?2

£ = 2 ? +?_i ui(x,t) ?

?xi?xj ?xi

i j

On considère l'equation de Fokker-Planck

?p ?t

= L * p

On etablit que lorsque les coefficients u(x,t) et ó(x,t) sont lipschitziens (Chapitre 3 section 3.3.2) et verifient une condition supplementaire d'uniforme ellipticity, l'equation de Fokker-Planck a une solution unique. Plus precisement, on a le resultat suivante.

Théorème 4.3 On suppose que les coefficients de l'équation de Fokker-Planck sont lipschitziens et qu'il existe une constante c > 0 telle que les coefficients uij(x,t) vérifient la condition

? óij(x,t)yiyj = c|y|², ?x,y ?

ij

où |y| est la norme de y, alors il existe une unique solution de l'équation de Fokker-Planck p(s,x;t,y) continue et à dérivées partielles ?xip ^et ?xi?xj p continues.