Conception d'un pro logiciel interactif sous r pour la simulation de processus de diffusion

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Comportement Asymptotique Des Processus

de Diffusion

Sommaire
4.1	Introduction	85
4.2	Equation de Fokker-Planck	85
4.3	Processus de diffusion stationnaires	95
4.4	Classification des processus de diffusion linéaire	96
4.5	Calculs de l'instant de premier passage	108
4.6	Conclusion	115

4.1 Introduction

C

e chapitre est consacré à la présentation de deux équations fondamentales permettant de d'écrire l'évolution des lois de probabilités relatives à un processus de diffusion. Il s'agit

maintenant d'obtenir l'information maximale possible dans un cadre probabiliste, c'est-à-dire de déterminer les lois de probabilités elles-mêmes, pour décrire l'évolution temporelle d'un système hors d'équilibre obéissant à une dynamique markovienne.

L'équation de Fokker-Planck ou équation de Kolmogorov progressive est une équation aux dérivées partielles linéaire que doit satisfaire la densité de probabilité de transition p(s,x;t,y) d'un processus de Markov. A l'origine, une forme simplifiée de cette équation a permis d'étudier le mouvement brownien (Chapitre 2), équation qui est assimilable dans ce cas à l'équation de la chaleur. Comme la plupart des équations aux dérivées partielles, elle ne donne des solutions explicites que dans des cas bien particuliers portant à la fois sur la forme de l'équation, sur la forme du domaine où elle est étudiée. À chaque équation d'Itô (3.4) est associée une équation de Fokker-Planck qui décrit l'évolution dynamique de la densité du processus considéré, ainsi sa distribution stationnaire si il existe. Ces équations sont étudiés en détail ses propriétés, méthodes de solutions et simulation dans [18, 21, 25, 35].

À titre d'illustration, ce chapitre se termine par l'étude et l'analyse statistique de la variable aléatoire l'instant de premier passage "IPP" ("first passage time" en anglais). Dans le modèle d'une diffusion en attraction M ó s=1(Vt) (Chapitre 3 section 3.5.1), le taux ô(s)

c du polluant qui passe la frontière d'un voisinage d'une cible est analytiquement étudié pour le cas s = 1, le deuxième cas de s > 1 est étudier par simulation [2, 4, 6, 7]. Dans le deuxième modèle de deux diffusion en attraction (Chapitre 3 section 3.5.2), une étude par simulation est effectuée pour la

( )

_V(1)

densité de probabilité de l'instant de la première rencontre ô _t ,V⁽²⁾ entre deux insectes.

t

4.2 Équation de Fokker-Planck

À chaque équation d'Itô

dXt = u(t,Xt)dt +ó(t,Xt)dWt (4.1)

correspond une équation aux dérivées partielles que vérifie la probabilité de transition p(s,x;t,y) = p. Cette équation est appelée équation de Fokker-Planck ou équation de Kolmogorov progressive, qui est sous cette forme

?p
?t

1?2 (ó²(t,y) · p - ?

= ?y (u(t,y) · p), (s,x) fixé (4.2)

2 ?y²

Il existe une autre équation vérifiée par la densité de probabilité p qui est appelée équation de Kolmogorov rétrograde. Elle porte sur la variable x de départ

?p
?s

= 2ó2(s,x) ?2

1

(4.3)

?x2 p + u(s,x) ? ?x p, (t,y) fixé

L'équation de Fokker-Planck suppose, comme nous allons le voir, que le processus est markovien et que le bruit est un processus gaussien. Elle n'est donc pas valable pour tous les types de bruits.

Sous forme multidimensionnel, l'équation de Fokker-Planck ne change pas d'allure, elle est donnée par:

?p ?t

= L * p (4.4)

où L* est un opérateur connu sous le nom d'opérateur infinitésimal ou opérateur de Dynkin et prend la forme suivante, en dimension n :

L = ? i

ui(x) ? + 1 2 ? ói j(x) ?2 ?xi ?xi?xj i j

Prenons un exemple simple. Supposons un processus de Wiener standard avec un coefficient de diffusion constant égale à ó, c'est-à-dire :

dXt = ódWt

L'équation de Fokker-Planck de ce processus est :

?p ?t (s,x;t,y) = 2ó2 ?2

1 ?x2 p(s,x;t,y) (4.5)

On peut vérifiée facilement que la solution de cette dernière est une densité gaussienne :

1

p(s,x;t,y) =

( )

_-1 (x - y)²

_J exp , t > s et x,y ? R.

ó 2ð(t - s) 2 ó²(t - s)

Ce qui est donnée par l'équation (2.5) (Chapitre 2 section 2.3). Ce résultat est souvent cité dans les livres récents en finance quantitative. Pour ce qui concerne le cas d'un mouvement brownien géométrique (Chapitre 2 section 2.8) la solution de l'équation de Fokker-Planck est la densité lognormale p(t,S;t',S'). En effet, supposons le mouvement brownien géométrique pour l'action S :

dSt
St

= èdt +ódWt, S0 > 0

alors l'équation de Fokker-Planck est donnée par:

?p
?t'

1 ?2

= ?S'2 (ó²S⁰²p) - ? ?S0 (èS⁰p), (t,S) fixé (4.6)

2

où p définit la densité de probabilité de transition d'un état à un autre, t le temps présent et t' le temps futur, S le prix de l'action au temps présent t et S' le prix de l'action à une période future. La solution de l'équation (4.6) est donnée par:

" [log(S/S⁰) + (è - (1/2)ó²)(t -t)]2 #

1

p(t,S;t ,S⁰) = _óS'J exp -

2ð(t' -t) 2ó²(t' -t)

Remarque 4.1 On fait les observations suivantes.

(1) L'équation de Fokker-Planck est une équation aux dérivées partielles linéaire, dont la solution unique sera fixée par la donnée d'une condition initiale p(x,t0) = p0(x) étant une fonction donnée à l'avance. D'autre part, la solution doit être une fonction positive et intégrable, non seulement localement, mais encore sur tout le domaine accessible à la variable x. Ces conditions définissent des conditions aux limites ¹ assurant l'appartenance de l'ensemble des solutions particulières obtenues en tant que modes propres.

(2) L'équation de Fokker-Planck est déterminée par la fonction de dérive u(x,t) qui caractérise le déplacement du mouvement, et la fonction ó(x,t) > 0 qui, elle, caractérise la diffusion.

(3) L'équation de Fokker-Planck est dite linéaire² si :

u(x,t) = a1 +a2x et ó(x,t) = a3

et quasi-linéaire si u(x,t) est non linéaire et ó(x,t) = a3.

(4) Si l'équation différentielle stochastique est linéaire, alors la solution de l'équation de Fokker-Planck est gaussienne.

4.2.1 L'origine de l'équation de Fokker-Planck

Soit Xt un processus de Markov de probabilité de transition P(x,t + h|x0,t). On souhaite calculer la dérivée temporelle de la densité de probabilité p(x,t + h) de la variable aléatoire X à l'instant t + h.

fp(x,t + h) = P(x,t + h|x0,t)p(x0,t)dx0

a partir des relations

fP(x,t + h|x0,t) = ä(z - x)P(z,t + h|x0,t)dz

et

ä(z-x) = ä(z-x+x0-x0)

=	8 ? n=0	(z -x0)^n n!	~ ?)n ä(x - x0) ?x0
=	8 ? n=0	(z -x0)^n n!	~ )n - ? ä(x0 - x) ?x

1. Il convient de noter que certaines conditions aux limites s'expriment physiquement.

2. Le terme linéaire se rapporte ici aux propriétés de u(x,t) et ó(x,t). L'équation de Fokker-Planck est, elle, toujours linéaire pour p.

on établit que

P(x,t +h|x0,t) =

8 ? n=0

1 ? ( axy ä(x0 - x) f (z- x0)^nP(z,t + h|x0,t)dz n!

en introduisant les moments

Mn(x0,t,h) = E((Xt+h -Xt)ⁿ|Xt = x0)

= f (y - x0)ⁿP(y,t +h|x0,t)dy

on a

P(x,t +h|x0,t) =	8 ? n=0	1 ( ? ?x )n ^n! ä(x0 - x)Mn (x0, t , h )
= (1+ = (1+			8 ? n=1 8 ? n=1	1 ( ?x ) n n! Mn (x0 , t, h )) ä(x0 -x) 1 ( ?x) n n! Mn(x,t,h)) ä(x - x0)

Mais en considérant que h est petit, on peut écrire

p(x,t + h) - p(x,t) = h?p(x?t ,t) + O(h²)

= f (P(x,t + h|x0,t) - 1)p(x0,t)dx0

=

8

?

n=1

, , ! ( - ?xy f ä(x-x0)Mn(x,t,h)p(x0,t)dx0

= to ( ? n! Mn(x,t,h) p(x,t)

n=1- ?x)

Et en utilisant un développement de Taylor pour M_n(x,t,h), on a

d

M_n(x,t,h) = f (x - x0)nP(x,t|x0,t)dx+ dh J

1 (x - x0)nP(x,t|x0,t)dX _h=0h+ O(h2)

= hD⁽ⁿ⁾(x,t) + O(h²)

car

P(x,t|x0,t) = ä(x -x0)

et avec

nD(n)(x,t) dh

= M (x,t ,h)h=0

d'oil

(x t)

p(x,t + h)- p(x,t) = hapat , ' +O(h²)

=

co

E

n=1

1 ( _a )n D(n)(x,t)p(x,t) n! ax

On en déduite les équation de Kramers-Moyal [25]

ap(x,t) at

=

co E n=1

n1! ( aa x) n D(n) (x,t)p(x,t)

(4.7)

dont l'équation de Fokker-Planck (4.2) est un cas particulier de l'équation de Kramers-Moyal (4.7). Lorsque le bruit est un processus gaussien, comme un bruit blanc, on démontre que les coefficients de Kramers-Moyal sont nuls pour n = 3, c'est-à-dire

D⁽ⁿ⁾(x,t) = 0, si n = 3

Dans ces conditions, l'équation de Fokker-Planck s'écrit

avec	ap(x,t) at		a1 a2 ax = - D(1)(x" 2 ax^2 t)p(x t) + D^(2) (x,t)p(x,t)
D^(1)(x,t) = lim 1 h?0 h		M1(x,t,h) = lim h?0		1 hE(Xt+h - Xt|Xt = x)

et

_hE((Xt+h - Xt)²|Xt = x) 1

M2(x,t,h) = lim

h?0

D⁽²⁾(x,t) = lim 1

h?0 h