Conception d'un pro logiciel interactif sous r pour la simulation de processus de diffusion

3.5 Les modèles attractives

Le phénomène de dispersion est un problème complexe, souvent caractérisé par sa diffusion. Beaucoup de situations réelles se comportent naturellement a ce phénomène de dispersion, notamment en environnement, biologie, chimie, etc... La modélisation mathématique ou par simulation du comportement dynamique de tels phénomènes est très difficile, et nécessite souvent un outil puissant, pour décrire le phénomène observé.

Différentes approches, déterministes et non déterministes ont été proposées par plusieurs auteurs, pour décrire l'évolution des phénomène de dispersion, voir par exemple [23, 26, 24, 2, 4, 5]. Les modèles mathématiques de diffusion dont l'origine est un phénomène biologique (voir le cas particulier du mouvement Brownien), peuvent être un outil de modélisation intéressent pour beaucoup de phénomènes de dispersion. Dans un premier cas, on propose un modèle de dispersion d'un polluant qui se déplace sur une surface d'eau turbulente, en présence d'un mécanisme d'attraction (une cible), qui oriente le polluant vers un point de localisation. Le deuxième modèle décrit le comportement d'une population d'insectes, où deux insecte mâle-femelle s'attirent l'un vers l'autre. On fait les hypothèses suivantes :

H1 Le mouvement des insectes (les polluantes) est Markovien.

H2 Le domaine D est compact.

H3 Le mécanisme d'attraction est suffisamment fort pour attirer les insectes (les polluantes).

H4 Les insectes (les polluantes) se déplacent, indépendamment les uns des autres.

H5 Les forces extérieures opposées déplacement de l'insecte (les polluantes) sont négligeables.

H6 Les taux d'immigration et de mortalité sont négligeables.

Sous ces hypothèses, la famille de modèles que nous proposons est une idéalisation mathématique d'un système réel complexe, c'est aussi une sorte de simulation par des processus de diffusion du phénomène observé.

3.5.1 Modèle d'une diffusion en attraction 914ós=1(Vt)

La pollution est un problème qui menace aujourd'hui la nature des humains et des espèces. En particulier, la pollution de l'eau est un sujet important, auquel beaucoup de scientifiques s'intéressent actuellement. Généralement on utilise les équations aux dérivées partielles déterministes, pour décrire la densité du polluant. Les processus de diffusion sont utilisés comme modèles mathématiques pour décrire le comportement dynamique des particules polluantes [24]. Le modèle que nous proposons ici décrit le comportement dynamique d'une particule en mouvement sur une surface d'eau turbulente [2, 4].

On suppose qu'on observe à l'instant t, la position Vt = (Xt,Yt) ? D ? 1R² d'un particule. Le point V0 = (X0,Y0) représente une position initiale du polluant observé. La nature du phénomène observé implique que pour tout t ? [0,T], Vt peut être considéré comme processus de diffusion. On désigne par L(x,y,t) la profondeur de la surface d'eau au point (x,y) et à l'instant t, U_w(x,y,t) et V_w(x,y,t) sont respectivement les champs de vitesses, dus au mouvement d'eau, suivant les directions x et y. U_a(x,y,t) et V_a(x,y,t) sont respectivement les champs de vitesses, dus au mécanisme d'attraction, suivant les directions x et y. Le coefficient de dispersion est notée par D(x,y,t). À chaque instant t la position de la particule est supposée être un processus de diffusion Vt = (Xt,Yt), solution de système d'équation différentielle stochastique suivante [4]

dVt =	? ? ?	dXt = (-Ua +Uw + ??Lx Dx ) dt+v2DdWt1 , t ? [0,T] (3.33) dYt = - Va +Vw + ay L D +^?D) dt +v2DdWt^2 a y
Avec Ua =			Kx V= (V x2 + y2 s+1 a	Ky ~p x2 + y2s+1 , D(x,y,t) = 2ó^2 1

ó et K sont des constantes positives, s = 1 et 2K > ó², W_t¹ et W²_t deux mouvements browniens standards indépendants. U_w(x,y,t) et V_w(x,y,t) sont supposés négligeable et la profondeur L(x,y,t) est constante.

Pour chaque particule, on suppose qu'il y a conservation de la masse, ce qui est traduit par l'équation suivante [24]

?L ?t +	?UL + ?x	?VL		= 0 (3.34)
		?y

Avec

U(x,y,t) = U_w(x,y,t)+U_a(x,y,t) et V (x,y,t) = V_w(x,y,t)+V_a(x,y,t)

D' où le système (3.33) devient

? ???

???

dVt =

dXt =

V -KX iq+Yt2Y+1dt + ódW_t¹

, t ? [0,T] (3.35)

dYt = dt +ódW_t²

(0Q+Yt²y⁺¹

Appliquons la formule d'Itô multidimensionnel (3.10) au processus Rt = ||(Xt,Yt)||, avec Rt est la distance depuis l' attraction (la cible) a l' instant t. Posant f(x,y,t) = Vx² +y², on a ?t f = 0

?_x f = x

?xx f = _y2 , ?_yf = y ? = x2

Vx2 + _y2 (x² + _y2)3/2 Vx2 + y2 yy f (_x2 + _y2)3/2

d'où, la formule d'Itô entraîne

_~q ~ !

+ D X2

d X2 t +Y2 t

-Ua Xt -Va Yt t +Y2

= _{p p} dt

t X2 t +Y2 X2 t +Y² (X2 _t +Y2

t )3/2

t t

v2D ^Xt

+

Yt

VXt 2 Y2 dWt ¹ + v2D Xt ² +Yt2dWt2

+ D

(VXt ² +Yt 2 )s+2 Xt ² +Yt2)s+2

?
? ?

=

KY²

t

KX_t²

(X²_t +Y2t )3/2

X²_t +Y²_t

?
? ?

dt

v 2D

~XtdW1 ~

+ p t +YtdW2 t

X2 t +Y2

t

=	? ? ?	K~X2 ~ t +Y2 t (VXt ^2+ Yt2)s+2		D	? v ?2D dt + (XtdWt ^1 + YtdWt^2) VXt 2+Yt2
			p X2 t +Y2t

Posant le changement de variable en coordonnées polaire suivant

{

Xt = Rt cos(èt) Yt = Rt sin(èt) Ce qui impliquera

~ K D

dRt = - R.; + _Rt) dt + v2D (cos(èt)dWt ¹ + sin(èt)dW_t²)

Proposition 3.1 Soit Wt ¹ et W²_t deux mouvements browniens standards indépendants, alors on a
d ^-Wt = cos (èt)dWt ¹ + sin(èt)dW²_t

est un mouvement brownien standard.

Preuve d ^-Wt est un mouvement brownien standard, vérifiant :

E ( d Wt) = cos(èt)E(dWt ¹) + sin(èt)E(dWt ²) = 0

et

(- 2

E ( dWt) = cos²(èt)dt + sin²(èt)dt = (cos²(èt) + sin²(èt)) dt = dt

Donc d'après cette proposition le processus Rt est

KD

dRt = ( - + dt + v2Dd liit

R^s_t Rt

₍₇2

= ( - K + - ) dt + ód ^-Wt R^s_t 2Rt

On obtient, après simplification, le processus de diffusion Rt solution de l'équation différentielle stochastique suivante

{

ó2 Rs-1-v dRt = ( 2 "t s " Rt dt + ód Wt^- , R0 = a

a > 0, t ? [0,T] (3.36)

On s'intéresse particulièrement a la simulations aux deux modèles _Mós=1(Vt) ^et _Mós>1(Vt) en 2- et 3- dimensions.

Simulation du modèle Mós=1(Vt) L'équation de ce modèle, est de la forme

dXt = -KXt

t +Y2 t dt + ódW¹

_X2 t

dVt = , t ? [0,T] (3.37)

dYt = -KYt

X2 t +Y2 t dt + ódW²

t

La fonction RadialP2D_11 ⁶ permet de simuléee le phénomènee du polluant qui se déplacee sur une surface d'eauu turbulente en 2-Dimensionss (figure 3.12). Et la fonction RadialP3D_11 simuler le phénomènee en 3-Dimensionss (figure 3.13). att1in3DD

6. Le constant v est un rayon d'unee sphèree oùn un cercle qui nous permettre de donnéee lapremièree instant d'attendree la cible par une polluant.

0.001,	T =	1,	X0	=	2,	Y0	=	1,
0.2)
0.001,	T =	1,	X0	=	1,	Y0	=	1.25,

R> RadialP2D_1(N = 10000, t0 = 0, Dt = + v = 0.3, K = 2, Sigma = R> RadialP3D_1(N = 10000, t0 = 0, Dt = + Z0 = 0.5, v = 0.2, K = 2, Sigma = 0.2)

FIGURE 3.12 - Trajectoire du polluant dans une surface d'eau turbulente en 2--D avec s = 1.

FIGURE 3.13 - Trajectoire du polluant dans une surface d'eau turbulente en 3--D avec s = 1.

Simulation du modèleMó s>1(Vt)

L'équation de ce modèle est donnée par le système d'équation (3.35). La fonction RadialP2D_2 permet de simulée le phénomène du polluant qui se déplace sur une surface d'eau turbulente en 2--Dimensions (figure 3.14). Et la fonction RadialP3D_2 simuler le phénomène en 3--Dimensions (figure 3.15).

1,	X0	=	2,	Y0	=	1,
1,	X0	=	1,	Y0	=	1.25,

R> RadialP2D_2(N = 10000, t0 = 0, Dt = 0.001, T = + v = 0.3, K = 2, s = 2, Sigma = 0.2) R> RadialP3D_2(N = 10000, t0 = 0, Dt = 0.001, T = + Z0 = 0.5, v = 0.2, K = 2, s = 2, Sigma=0.2)

FIGURE 3.14 - Ttrajectoire du polluant dans
une surface d'eau turbulente en 2-D avec s > 1.

FIGURE 3.15 - Ttrajectoire du polluant dans
une surface d'eau turbulente en 3-D avec s > 1.

3.5.2 Modèle de deux diffusion en attraction 91,4_m

_>0(0¹⁾) ?-91,4₀^ó (V⁽²⁾

t )

Dans le paragraphe suivante, nous allons proposer, un modèle de deux diffusion en attraction [5], l'une de dérive nulle 91q(V_t⁽²⁾) et l'autre 91,4'm'>0(Vt ⁽¹⁾), de dérive non nulle. Ce qui peut modéliser le comportement de deux insectes, l'un attire l'autre.

On considère V_t⁽¹⁾ = (Xt,1,Xt,2) et Vt⁽²⁾ = (Yt,1,Yt,2) deux processus aléatoire de diffusion, qu'on suppose représentant respectivement les positions d'un insecte mâle et d'un insecte femelle, et que le mâle est attiré par la femelle. Le comportement de la femelle est supposé être un processus de mouvement brownien, défini par l'équation suivante

dV_t⁽²⁾ = óI2×2dWt (3.38)

alors que le comportement du mâle est supposé être un processus de diffusion, dont la dérive est
orientée, à chaque instant t, vers la position de la femelle, et qui est donné par l'équation suivante

dVt (1) = dVt ⁽²⁾ + _um+1 (||Dt||)Dtdt _+óI2×2d ^eWt (3.39)

où

i Dt = Vt (1) - V_t⁽²⁾ tum (||d||) = - ||dKmt||

K et m sont des constantes positives, et K > ó².

Le modèle proposé est de la forme suivante

dVt (1) =

? ???? ????

K(Xt,1-Yt,1) dXt,1 = dYt,1 - ~v(Xt,1-Yt,1)2+(Xt,2-Yt,2)2~m+1 dt + ód K(Xt,2-Yt,2) dXt,2 = dYt,2 - ~v(Xt,1-Yt,1)2+(Xt,2-Yt,2)2~m+1 dt + ód

Cf^7t^1 eW^2 t

,t ? [0,T] (3.40)

(

dYt,1 = ódW¹

dV(2) t

t = ,t ? [0,T] (3.41)

dYt,2 = ódW2 t

avec eW1

t , eW2 t , W1

t et W2

t sont des mouvements Browniens indépendants.

Appliquons la formule d'Itô multidimensionnel (3.10) au processus Rt = ||(V_t ⁽¹⁾,V_t ⁽²⁾)||, avec Rt représente la distance entre les deux insectes a l'instant t. Posant f (x1,x2,y1,y2,t) = _p

(x1 -y1)² + (x2 -y2)², on a ?t f = 0

x1 - y1 (x2 - y2)²

?x1 f = p (x1 - y1)² + (x2 - y2)2 , ?x1x1 f = ((x1 -y1)² + (x2 -y2)²)^3/2

x2 -y2 (x1 -y1)²

?x2 f =p (x1 - y1)² + (x2 - y2)2 , ?x2x2 f = ((x1 -y1)² + (_x2 -y2)²)^3/2

-

?y1 f =

(x1 - y1) (x2 - y2)²
p (x1 - y1)² + (x2 - y2)2 , ?y1y1 f = ((x1 -y1)² + (x2 -y2)²)^3/2

- (x2 -y2) (x1 -y1)²
?y2 f = p (x1 - y1)² + (x2 - y2)2 , ?y2y2 f = ((x1 -y1)² + (x2 -y2)²)^3/2 d'oil, la formule d'Itô entraîne

~ ~

?t f + _A1?x1 f + _A2?x2 f + ó2

d f = 2 (?x1x1 f + ?x2x2 f + ?y1y1 f + ?y2y2 f ) dt

~ ~

+ ó (?x1 f + ?y1 f )dW¹

t + (?x2 f + ?y2 f )dW2 _t + ?x1 f d eW¹

t + ?x2 f d eW2 t

= A1	Xt,1 -Yt,1 +A2 \/(Xt,1 -Yt,1)^2+ (Xt,2 - Yt,2)^2		Xt,2 -Yt,2
		p (Xt,1-Yt,1)^2 + (Xt,2 -Yt,2)^2

+ _ó2 (Xt,1 -Yt,1)² + A-,2 -Yt,2)² Xt,1 -Yt,1 d W1

((Xt,1 - Yt,1)² + (Xt,2 - Yt,2)2)3/2)dt + ó -Yt,1)² + (Xt,2 - Yt,2)2

+ (Xt,1 -Yt,1)² + (Xt,2 -Yt,2)2 d eW²

Xt,2 -Yt,2 _pt

Avec
A1 = D'oil	-K (Xt,1 -Yt,1) et A2 = ( 1/ (Xt,1 - Yt 1)^2 + (Xt2 - Yt,2)2) m+1	-K (Xt,2 -Yt,2)
		(1/(Xt,1 -Yt,1)^2+(Xt,2 -Yt,2)^2)^m+1

? ?

df = ?

?

-K ((Xt,1 -Yt,1)² + (Xt,2 -Yt,2)²) ?

₊2 + ó2 ((Xt,1 -Yt 1)² + P(t 2 -Yt 2)²)^3/2

(Xt,1 -Yt,1)² +(Xt,2 -Yt,2)²

dt

(1/ (Xt ,1 - Yt _,1)2 + (Xt ,2 - Y _{t ,}2)²)^m ' -

ó ( (Xt 1 - Yt

V A,1 - Yt,1)² + (Xt,2 -Yt,2)²

,,1)d Wt ¹ + P(t,2 - Yt,2)d W_t²)

+ //

Posant le changement de variable en coordonnées polaire suivant

{

Xt,1 -Yt,1 = Rt cos(èt)

Xt,2 -Yt,2 = Rt sin(èt)

Ce qui impliquera que

df = d (\ I (Xt,1 - Yt,1)² + (Xt,2 -Yt,2)²) = dRt

Donc

-K ó2

dRt = ( Rtm + _Rt) dt + ó ( cos(èt)d iV+ sin(èt)d W^-_t²)

2

( -K + ^ó) =dt + ód ^eWt

Rm Rt

t

On obtient, après simplification, le processus de diffusion Rt solution de l'équation différentielle stochastique suivante

dRt =

(ó²R_t;_m¹-

{ K) dt + ód Wt,

t a > 0, t ? [0,T] (3.42)

R0 = a

Ce modèle permet de réaliser sur ordinateur une simulation dynamique du phénomène réel. Simulation le modèle Móm>0(V(1) _t ) ?-M 0 ó (V(2)

t ) en 2- et 3- Dimensions

La fonction TwoDiffAtra2D ⁷ permet de simulée le phénomène en 2-Dimensions, c'est-àdire simulé les deux systèmes d'équations différentielles stochastiques (3.40) et (3.41), qui est donnée par la figure 3.16. Et la fonction TwoDiffAtra3D simuler le phénomène en 3-Dimensions, la figure 3.17 donne une illustration de l'interaction entre deux insectes.

7. Le constant v est un seuil qui nous permettre de donnée l'instant de la première rencontre entre les deux insectes (voir les détails help("TwoDiffAtra2D")).

R> TwoDiffAtra3D(N = 5000,	t0 =
+		X3_0 =		2,	Y1_0 =
+		K = 3,		m =	0.2,

R> TwoDiffAtra2D(N = 2000, t0 = 0, Dt = 0.001, T = 1, X1_0 = 0.5, X2_0 = 1,

+ Y1_0 = -0.5, Y2_0 = -1,v =

0, Dt -0.5,

0.01, K

	= 2,	m = 0.25, Sigma = 0.1)
= 0.001,	T =	1,	X1_0= 1,	X2_0 = 1,
Y2_0 =	-1,	Y3_0	= 0.25,	v = 0.01,

Sigma = 0.2)

FIGURE 3.16 - L'interaction entre deux insectes en 2--D.

FIGURE 3.17 - L'interaction entre deux insectes en 3--D.