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Mouvement Brownien
Sommaire
2.1 Introduction 19
2.2 Construction du mouvement brownien 20
2.3 Semi-groupe du mouvement brownien 24
2.4 Approximation la dérive d'un mouvement
brownien standard par un bruit blanc gaussien 27
2.5 Continuité des trajectoires 27
2.6 Régularité des trajectoires
28
2.7 Mouvement brownien arithmétique
32
2.8 Mouvement brownien géométrique
34
2.9 Pont brownien 36
2.10 Martingales exponentielles 39
2.11 Conclusion 45
2.1 Introduction
L
e mouvement brownien est une description mathématique
du mouvement aléatoire d'une grosse particule immergée dans un
fluide et qui n'est soumise à aucune autre interaction que des chocs
avec les petites molécules du fluide environnant. Il en résulte
un mouvement très irrégulier de la grosse particule, qui a
été décrit pour la première fois en 1827 par le
biologiste Robert Brown [11] alors qu'il observait du pollen de Clarkia
pulchella (une espèce de fleur sauvage nord-américaine), puis de
diverses autres plantes, en suspension dans l'eau.
La description physique la plus élémentaire du
phénomène est la suivante
1. Entre deux chocs, la grosse particule se déplace en
ligne droite avec une vitesse constante.
2. La grosse particule est accélérée
lorsqu'elle rencontre une molécule de fluide ou une paroi.
Cette description permet de décrire avec succès
le comportement thermodynamique des gaz (théorie cinétique des
gaz), ainsi que le phénomène de diffusion. Brown n'est pas
exactement le premier à avoir fait cette observation. Il signale
lui-même que plusieurs auteurs avaient suggéré l'existence
d'un tel mouvement (en lien avec les théories vitalistes de
l'époque). Parmi ceux-ci, certains l'avaient effectivement
décrit, on peut mentionner en particulier l'abbé John Turberville
Needham (1713-1781), célèbre à son époque pour sa
grande maîtrise du microscope.
La réalité des observations de Brown a
été discutée tout au long du XXe siècle. Compte
tenu de la médiocre qualité de l'optique dont il disposait,
certains ont contesté qu'il ait pu voir véritablement le
mouvement brownien, qui intéresse des particules de quelques
micromètres au plus. Les expériences ont été
refaites par l'Anglais Brian Ford [12] au début des années 1990,
avec le matériel employé par Brown et dans les conditions les
plus semblables possibles. Le mouvement a bien été observé
dans ces conditions, ce qui valide les observations de Brown.
Quelques années plus trad en 1905, Albert Einstein mit
en évidence les étranges relations que le processus entretenait
avec l'équation de la chaleur. Vers 1909, Jean Perrin entreprit son
étude expérimentale et Paul Langevin posa la première
équation. Mais il faudra attendre 1925 et les travaux de Norbert Wiener
pour que le mouvement brownien ait véritablement un sens
mathématique comme modèle d'un bruit blanc. À partir des
années 1950, Kiyoshi Itô [27] l'utilisa pour définir
l'intégrale qui porte son nom et jeta les bases du calcul
stochastique.
Nous nous intéressons dans ce chapitre principalement a
les principaux processus aléatoires à l'exception du mouvement
brownien, ces propriétés, ces caractéristiques, ainsi sa
construction mathématique et sa simulation par trois approches, nous
retrouverons la plupart de ces processus dans les problèmes de calcul
stochastique. Nous introduisons la notion de martingale exponentielle qui joue
un rôle très importante dans les calcules des lois des temps de
passage du mouvement brownien, ainsi la théorème de
caractérisation de Paul Lévy.
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