Notion de système formel. Prolégomènes à une logique cognitiviste

II.2. Dépassements

Nous commencerons d'abord par les dépassements d'ordre syllogistique, ensuite syntaxique, puis sémantique et, enfin, d'autre ordre.

II.2.1. Du point de vue syllogistique

Il est important de rappeler la solution préconisée par Descartes, solution qui sera reprise et systématisée par Leibniz. Il s'agit de la construction d'une langue universelle qui se référerait non pas aux sons des mots d'une langue concrète, mais plutôt directement aux concepts de cette langue et de tout autre possible.

Cette caractéristique universelle serait et se voudrait la grammaire universelle à toute langue concrète ou vivante possible à la manière de Montague.

Ensuite, et cela a été fait depuis Georg Boole, la logique a quitté progressivement le paradigme naturaliste pour le paradigme mathématique (du moins la logique formelle).

Tout système logique futur qui se voudra sérieux devra s'appuyer sur ces deux éléments et devra aussi envisager et développer une méthode de décision puissante.

II.2.2. Du point de vue syntaxique

Pour résoudre la limitation d'ordre syntaxique, il faudrait, à notre humble avis, recourir à la théorie de New Foundations (NF). Celle-ci est une théorie axiomatique découverte par Willard Van Oraman Quine en 1937 à la suite de Bertrand Russell.

De façon générale, nous disons que la théorie de New foundations étudie des prédicats et la hiérarchie d'appartenance (^59(*)).

Les prédicats utilisés sont ceux d'égalité et d'appartenance. Quant à la hiérarchie d'appartenance, elle définit que :

- Pour chaque nombre naturel n, les objets de type n+1 sont des ensembles d'élément n ;

- Les ensembles de type n ont des éléments de type n - 1 ;

- Les objets reliés entre eux par une relation d'équivalence (prédicat d'identité) doivent être du même type.

En outre, la théorie de New Foundations comprend les deux axiomes suivants :

- Axiome d'extensionalité : les ensembles des même type avec les mêmes éléments sont égaux ;

- Axiome de compréhensions : toute propriété, plus précisément tout prédicat du langage, définit un ensemble, celui des objets qui vérifient cette propriété.

En clair, avec la théorie de New Foundations, lorsqu'un énoncé est indécidable dans un système (soit le système a), il faudrait le transférer dans un autre système (soit le système b) à même de le résoudre. Si un tel système (le système b) n'existe pas, alors il faudrait l'inventer de toute pièce. Ainsi, à notre humble avis, le problème de la limitation syntaxique est résolu.

* 59 ^_ Cfr.http://wikipedia.org/théorie _new foundations