Notion de système formel. Prolégomènes à une logique cognitiviste

II.1.2. Du point de vue syntaxique

Le point de vue syntaxique de la logique, rappelons-le, est l'étude des relations entre expressions, abstraction faite du sens, des objets désignés ou des usagers.

Jean Ladrière pense que «la catégorie des limitations syntaxiques est dominée par deux grands résultats : le théorème de Gödel (1931) et le théorème de Church (1936) »(^51(*)). Voyons en détail ces deux théorèmes.

a. Théorème de Gödel

Le théorème de cet auteur affirme que, dans un système logique donné, il existe toujours des propositions indécidables, c'est-à-dire des propositions qui ne sont ni dérivables ni réfutables dans le système. Notons que « une proposition est réfutable dans un système lorsque sa négation est dérivable dans ce système »(^52(*)).

En effet, pour que la correspondance entre un système formel et le domaine d'énoncés qu'il représente soit adéquate, il faut que tout énoncé vrai soit représenté par une proportion dérivable et tout énoncé faux par une proposition réfutable.

Cependant, il est à signaler que la proposition indécidable de Gödel est bâtie sur le modèle du paradoxe du Richard, mais elle est construite de telle façon qu'elle ne conduise à aucune contradiction.

b. Théorème de Church

« Le théorème de Church est relatif au problème de la décision. Ce problème est le suivant : étant donné un système formel, trouver un procédé effectif permettant de décider, pour toute proposition du système. On dira qu'un système pour lequel il existe un procédé de décision est résoluble... un système résoluble est un système dans lequel la classe des théorèmes est récursive »(^53(*)).

Comme l'on peut s'en rendre compte, il y a un lien entre le théorème de Gödel et celui de Church : on peut donc établir qu'un système formel non résoluble et non contradictoire contient nécessairement des propositions indécidables. Mais l'inverse n'est pas toujours vrai.

Tout compte fait, nous dirons que le théorème de Church est beaucoup plus large que celui de Gödel.

* 51 ^_ Jean LADRIERE, op.cit, p.316.

* 52 ^_ Idem

* 53 ^_ Ibidem, p.317.