Emergents spontanés d'une analyse praxéologique

Synthèse des blocs technologico- théoriques 

Dans le tableau 13 ci- dessous nous avons indiqué, pour chaque question des activités analysées, le bloc technologico- théorique. L'examen de ce tableau permet de relever les remarques suivantes :

a- Au niveau de la technologie :

Pour justifier les techniques, les activités se réfèrent :

- aux définitions (de graphe non orienté, de graphe complet, de chaîne, de cycle, de chaîne eulérienne, de cycle eulérien, de la connexité, du nombre chromatique, etc.).

- aux théorèmes admis (théorème d'Euler, propriétés concernant l'encadrement du nombre chromatique, le lemme des poignées de mains, etc.).

- et aux algorithmes (de Walsh et Powell, de Moore et Djikstra).

b- Au niveau de la théorie :

le chapitre « Introduction aux graphes » :

- Fait rarement référence aux autres domaines de mathématiques (7 questions sur les 51 analysées).

- Utilise des activités à caractère empirique pour introduire une définition ou des activités traitant une situation contextualisée pour admettre un théorème par le jeu de l'altérité positive (l'élève fait confiance à l'enseignant qui assure que le résultat est mathématiquement correct) et des variations des registres ostensifs.

- Fait appel assez souvent à la modélisation, notamment la modélisation d'une situation par un graphe non orienté et qui pose des problèmes de démarche en l'absence d'une référence théorique. Ainsi, compte tenu de son importance dans le traitement des questions posées, nous avons observé que, généralement, le texte prend en charge le choix des sommets et le choix des arêtes (Activité 1 page 85; Activité 3 page 86; Activité 4 page 88; Activité 5 page 88; Activité 1 page 91; Exercice page 94).

- Fait rarement référence à la théorie des dénombrements alors que l'on sait que cette théorie fait appel, lorsqu'on veut expliquer le raisonnement, à des représentations par des graphes (arbres de choix ou autres). On remarque déjà la dialectique entre les deux théories.

- Fait référence, en ce qui concerne certaines activités, à l'algèbre : tableau de proportionnalité (Activité 1 page 87, question 2), encadrement du nombre chromatique (Activité 1 page 91, Question 5 ; Activité 5 page 93, Question 2 ; Exercice page 94).

- Fait appel une seule fois à l'arithmétique en ce qui concerne la parité du degré d'un sommet à la suite de l'utilisation du théorème des poignées de mains (Activité 5 page 88).

- S'appuie par occasions sur la logique :

ü Négation d'une proposition avec quantificateur universel qui exige la recherche d'un contre- exemple (tels que : la démonstration qu'un graphe n'est pas connexe ou que deux graphes sont isomorphes.).

ü Le nombre chromatique étant, par définition, le nombre de couleur minimum pour la coloration d'un graphe, il en résulte que toute coloration utilise un nombre de couleurs supérieur ou égal au nombre chromatique. Donc, l'existence d'une coloration à k couleurs implique une majoration du nombre chromatique.

ü La généralisation des cas traités en accordant une large place à l'intuition de l'élève et au jugement de l'enseignant (Activités 1 page 87 pour énoncer le lemme des poignées de mains ; Activité 3 page 89 pour énoncer le théorème d'Euler; Activités 1 et 3 page 95 pour énoncer l'algorithme de Moore - Djikstra).

Activité	Question	Type de tâche T	Technologie	Théorie
1 page 85	1	T1	Auto- technologique	-
	2	T1	Auto- technologique Relation binaire dans un ensemble	- Théorie des ensembles
	3	T3	Représentation graphique d'une relation Preuve de fausseté d'une proposition	Théorie des ensembles. Logique formelle
	4	T16	Lemme de choix Définition du coloriage d'un graphe	Théorie des ensembles Théorie des graphes
3 page 86	1	T2	Représentation d'un graphe - liste d'adjacence Définition d'un graphe complet	Théorie des graphes Théorie des graphes
	2/a	T2	Représentation d'un graphe	Théorie des graphes
	2/b	T5	Définition du degré d'un sommet	Théorie des graphes
4 page 86		T14	Graphes isomorphes Analyse descendante	Théorie des graphes Logique formelle
1 page 87	1/a	T6	Définition du degré d'un sommet	Théorie des graphes
	1/b	T1	Auto- technologique Propriétés de l'addition dans IN	- Addition dans IN
	1/c	T5	Définition d'une arête	Théorie des graphes
	2	TX	Degré d'un sommet Fonction linéaire	Théorie des graphes Algèbre linéaire
4 page 88		T19 + T18 T2	Lemme des poignées de mains Représentation graphique	Théorie des graphes Théorie des graphes
5 page 88		T19+T18	Représentation d'une situation par un graphe Lemme des poignées de mains, Degré d'un sommet Parité de la somme de deux entiers.	(Modélisation)^15(*), théorie des graphes, Théorie des graphes Arithmétique
1 page 88	1	T8	Définition d'une chaîne, graphe connexe	Théorie des graphes
	2	T8	Définition d'une chaîne	Théorie des graphes
	3	T11	Définition d'une chaîne semi- eulérienne	Théorie des graphes
	4	T12	Définition d'une chaîne eulérienne	Théorie des graphes
2 page 89		T1	Combinaisons d'ordre 2	Dénombrements
Exer p89		T9	Définition d'une chaîne Définition de la connexité Nombre de paires dans un ensemble fini Négation d'un prédicat à deux variables	Théorie des graphes Théorie des graphes Dénombrements Logique formelle
3 page 89		T11	Théorème d'Euler	Théorie des graphes
1 page 91	1	T2	Représentation d'une situation Définition d'un graphe	(Modélisation) Théorie des graphes.
	2	T15	Analyse sémantique et traduction Définition d'un graphe	(Analyse sémantique) Théorie des graphes
	3	T17	Coloration de graphes complet
	4	T17	Définition du nombre chromatique, encadrement du nombre chromatique.	Théorie des graphes Théorie des graphes
	5	Tx+T15+T3	Asymétrie de la relation « Inférieur ou égal » Traduction entre deux registres Définition du nombre chromatique	Propriétés de IN (Analyse sémantique) Théorie des graphes
2 page 92		T17 + T16	Algorithme de Walsh et Powell	Théorie des graphes
3 page 92	1/a	T17 + T16	Algorithme de Walsh et Powell	Théorie des graphes
	1/b	T1	Auto- technologique	-
	2	T22 + T17	Définition du coloriage d'un graphe	Théorie des graphes
4 page 93	1 et 2	T18	Définition du coloriage d'un graphe	Théorie des graphes
	3	T18 + TX	Définition du coloriage d'un graphe	Théorie des graphes
5 page 93	1	T23 + T13	Définition de graphe complet, d'un sous graphe	Théorie des graphes
	2	T17	Définition de graphe complet, d'un sous graphe et du coloriage d'un graphe	Théorie des graphes
6 page 93		T18 + T19	Définition du coloriage d'un graphe et d'un sous graphe	Théorie des graphes
7 page 93	1	T17	Définition de graphe complet, de sous graphe et de l'ordre d'un sous graphe	Théorie des graphes
	2	T6 + T1	Liste d'adjacence et représentation graphique	Théorie des graphes
Exercice p 94	1	T2	Représentation d'une situation par un graphe	(Modélisation), théorie des graphes
	2	T19	Minoration du nombre chromatique	Théorie des graphes
	3/a	T17	Définition de graphe complet, de sous graphe et du coloriage d'un sous graphe	Théorie des graphes
	3/b	T18 + T3	Définition du nombre chromatique Condition suffisante	Théorie des graphes Logique formelle
1 page 95		T20	Définition de graphe pondéré Définition de la longueur d'une chaîne Propriétés des chaînes minimales	Théorie des graphes Théorie des graphes Théorie des graphes
3 page 95	1,2,3,4,5	T1	Arborescence Chaîne de longueur k Chemin de longueur minimale	Théorie des graphes Théorie des graphes Théorie des graphes
	6	Tx	Raisonnement par exhaustion	Logique formelle
	7	T19	Auto- technologique	-

Tableau 13

Chapitre IV:

Conclusions 

* ¹⁵ Les parenthèses indiquent que l'objet en question est étranger à l'élève.