Memoire Online - Contribution à l'analyse et la synthèse des systèmes d'ordre fractionnaire par la représentation d'état

L'utilisation du concept de dérivation dordre nonentier à a commande des systèmes peut être envisagée de deux points de vue différents Le premier consiste à considérer un modèle non entier du système à commanderauquel cas on peut ui associerun régulaa teur d'ordre non entier ou pas afin datteindredes objectiisde commande donnés. Cette approche nécessiterait alors une modélisation plus fine du système qui ustiierait'intérêt et l'opportunité de l'utilisation de la dérivation nonentière.La deuxième approche, a plus naturelle à l'état actuelconsiste à considérer un modèled'ordre entier du système et utiliser un régulateur d'ordre non entierLapport supplémentaire qu'aaouterait unel régulateur réside dansl'aspect non entier de l'ordrede dérivation ou d'intégration qu'il contient. Cela constitue un degré deliberté supplémentairequi peut améliorer considéraa blement les techniques de commande utilisant desrégulateursclassiques.

En effet, l'ordre non entier, nétant pas une pondération associéeaux onctions de dérivation et d'intégrationàlinverse des paramètresKd et Ki, il peut être utilisé pour

imposer une caractéristique du système enboucle fermée ndépendamment desparamètres du système à commander. Cette caractéristique est de ce faitnsensible quelque soit les variations de ces paramètres. Cest ce qui est illustrédans ce chapitre à traversa commande en vitesse de la machine synchrone à aimant permanent etde amachine asynchrone. On montre en particulierque le dépassement de a réponsendicielle dea vitesse imposé par le régulateur non entierreste nchangé même orsquees paramètres mécaniques (le moment de l'inertie en particulier) de la machine changent, caractéristique impossible à obtenir en utilisant le régulateur PID entier.

Dans la première partie on présente la méthode decalcul des paramètresdu régulateur IP d'ordre non entier, utilisant la technique par placement de pôles, que nous avons développée. Le modèle de référence à imposer à la fonctionde transfert enboucle fermée ne pouvant pas être obtenu par la méthodede placement de pôlesclassique, onutiliseune autre méthode basée sur une techniquedoptimisation utilisant es algorithmesgénétiques. Cette méthode permet de calculer les paramètres du modèle de référence à partir de ceux d'un modèle de dimension deux d'ordre entierLe principe ainsi que quelquesdéfinitions de base sur les algorithmes génétiques sont données dans e paragraphe5.2. Dans les paragraphes 5.4 et 5.5, après avoir rappelé les méthodes et les structuresde commande de la machine synchrone à aimants permanents et de la machine asynchrone, on présente les résultats de simulations obtenus lorsque lerégulateur IP d'ordre non entier est utilisé pour contrôler la vitesse de la machine.Pour montrer son ntérêt, on présenteégalement son comportement vis à vis des variations des paramètresmécaniques deamachine.Une comparaison avec le régulateur IP d'ordre entier y est aussi présentée. Dans le paragraphe 5.6, une analyse analytique de la robustessedesrégulateursIP d'ordre entier et non entier est élaborée afin de corroborer les résultats obtenus par simulation. Le comportement des deux types de régulateurs IP en présence d'un couple résistant est étudié dans le paragraphe 5.7. On y montre pourquoi, à l'instar detoutes les structuresde commande qui imposent à la fonction de transfert en boucle fermée etransfert(..7 qui garantita robustesse du dépassement dela réponse indicielle vis à vis des variations paramétriques

du système, le régulateur IP d'ordre non entier est moins performant que le régulateur IP d'ordre entier.

Actuellement, plusieurs méthodes de synthèse des paramètresdes régulateursnon entiers sont proposéesToutes ces méthodes sont basées sur a représentation fréquentielle et utilisent la technique de "loop shaping"Très peu de méthodesutilisent atechnique de placement de pôles dont le principe consiste àdéterminer es coefficientsdu polynôme caractéristique à partir des pôles quon souhaite mposer àaboucle fermée.Uneimple identification terme à terme permet alors de déduire esparamètresdu régulateur dont dépend le polynôme caractéristique

Seulement, ce principe général ne peut pas être utilisé dans e casdes systèmesnon entier puisqu'hormis les systèmes fractionnaires commensurables, l estmpossible de déé duire les coefficients du polynôme caractéristique nonentier àpartir des racines qu'on souhaite lui imposer.

On présente dans ce qui suit une nouvelle méthode de calcul des coefficients d'un régulateur PID d'ordre non entier en utilisant le principe de placement de pôles pour commander la vitesse d'une machine électrique (machine synchrone àaimant permanent et machine asynchrone). Sans perte de généralité, la fonction dérivéen'est pas utilisée puisque les modèles des différentes grandeurs de la machine sont modélisés parun modèle de dimension 1. On préférera égalementla structure IP à la structure PI classique car, contrairement à cette dernière, lastructureIP présente l'avantage d'obtenir en bouclefermée une fonction de transfert de dimension deux qui ne possède parde éro. La structure de commande est celle illustrée par la figure (51) 19].

Supposons alors que le système à commander est de dimension 1 dont la fonction de transfert G(s) est donnée sous la forme :

qu'on souhaite contrôler à laide dun régulateur IF d'ordre non entier selon le schéma de commande de la figure (5.1). La fonction detransfertde aboucle fermée est dans ce cas donnée par :

Pour calculer les trois paramètresdu régulateur (á, K _p et Ki), en utilisant la technique par placement de pôles, le polynôme caractéristique de Gbf(s) doit être écrit sousla forme

Dans le cas entier, le nombre de pôles à imposer est égal àadimensiondu polynôme. Dans le cas non entier cette méthode ne peut être appliquée que pour es systèmes fractionnaires commensurables. En effet, dans ce casgrâce à unchangement de variable adéquat, on peut ramener le polynôme fractionnaire à un polynôme entier pourequel ce principe peut être appliqué. C'est ce qui est proposé dans 73]Mais dans ce cas aussi celan'est pas intéressant car souventil y a trop de pôles à imposer.En effet, si on veut appliquer ce principe lorsque á = 0.45 par exemple, le polynôme caractéristique (5..3) s'écrit

puis à l'aide du changement de variable p = s1/20, on obtient le polynôme entier Ä(p)=p²⁹+a1p⁹+a0=0 (5.5)

pour lequel on doit imposer 29 pôles. Sachant que souvent on souhaite imposer au syss
tème en boucle fermée une dynamique semblable à celle dun systèmededimensiondeux
sinusoïdal amorti, cela peut être obtenu en nimposant udicieusement au polynôme entier

(5.5) que deux pôles, les autres doivent alors être choisisde manière à ce qu'ilsn'interviennent pas dans la dynamique du système en boucle fermée. Ilest donc clair, que cette manière de faire n'est pas élégante dans le cas fractionnaire commensurable etnutilisable dans le cas plus général des systèmes dordre non entier.

Dans ce qui suit, on propose une autre démarche qui tiennecompte de a forme particulière du polynôme caractéristique de Gbf(s). En effet, le paramètre K _p de la fonction proportionnelle peut être choisi pour annuler lecoefficient a1 associé à s^a. Gbf(s) devient alors :

dont le dépassement est imposé par lordre de dérivation non entier3 et le temps d'établissement par le paramètre d.

On obtient ainsi une première relation qui permet de déterminer e coefficientK _p du régulateur IF non entier :

á doit être supérieur à zéro sinon la fonction s^a devient une intégrale et 3 doit être inférieur à 2 sinon le modèle (5.7) devientinstable [52] Par conséquent on choisit1 < 3 < 2 pour garantir la stabilité du système en boucle fermée, donc 'ordrenon entierá doit être tel que 0 < á < 1. Dans ce cas, la réponse indicielle du système en boucle fermée est du type sinusoïdal amorti dont le dépassement nedépend que de 'ordrenon-entierá et le temps d'tablissement ne dépend que du paramètre Ki de la fonction intégrale [24] [67]. Ils sont équivalents aux paramètres æet w_n du système de dimension deux sinusoïdal amorti.

Par identification terme à terme des paramètres des dénominateurs _deGref(s) et Gbf(s), deux autres relations, permettant de calculer les deux autres paramètres du régu-

FIGURE 5.2: Structure de commande avec un régulateur IF non entier (K _p et Ki positifs)

Néanmoins, si dans le cas des systèmes entiers, on saitdéterminer es pôles compleexes imposer au polynôme caractéristique du modèle de référence partir des caractéristiques qu'on souhaite lui imposer (le dépassement et le temps de montée, 'erreur statique étant annulée par la fonction intégrale du régulateur IF), Il n'en est pas de même dans le cas des systèmes non entiers. Pour résoudre ce problème ondétermine es paramètresd et 3 du modèle de référence (5.7) de sorte que lécartentre sa réponsendicielle et celle du modèle de dimension deuex d'ordre entier soit la plus petite possible. Le problème étantnon linéaire, on utilise pour ce faire une méthode doptimisationes algorithmes génétiques.

Remarque 19 : Il faut noter qu''habituellement les coeefficientsK _p et Ki du régulateur IF sont toujours positifs ce qui nest pas e casciiPour qu'ilsoientinsi l uut de considérer la structure de commande de afigure (55.) qui estdentique a structure de la figure (5.1) mais les coe~cientsK _p et Ki sont maintenant positifs.

On trouve dans [78], une étude détailléesur lanalogie entrees caracéristiquesempoo relles et fréquentielles du modèle non entier (5.7) et e modèlede dimension deuex sinusoodal amorti. On y trouve également une relation permettant d'eexprimeres paramètres3 et d

du modèle (5.7) en fonction des paramètres et w_n du modèle de dimension deux. Elles sont données par :

J2/2. Par contre, pour = J2/2, la relation (5.10) donnela valeur â = 1 (voir les

résultats du tableau 51)Le modèle (5.7) seraitdans ce casun modèle entier de dimension 1 dont le pôle est égal à -w_n, ce qui est loin d'être une bonne approximation. Nous proposons alors une autre méthodebasée sur l'identiéficationde modèledontesparamètres sont optimisés en utilisantles algorithmes génétiques.Lesparamètresdu modèle non entier (5.7) sont calculés de sorte que lerreur quadratique dééfiniepara relation5.11)oita plus petite possible :

SSE=_Nm

_XK
k=1

[

y(kh) - ày(kh)

(5.11)

y(kh) et ày(kh) sont respectivement les sorties du modèle dedimensiondeuxd'ordre entier et du modèle de référence non entier (57) N_m est le nombre de mesures et h la période d'échantillonnage.

Les algorithmes génétiques (AGs) sont des algorithmes doptimisations'appuyant sur des techniques dérivées de la théorie de lévolutiondes espècesque Charles Darwin 1160) a publié dans son livre intitulé Lorigine des espèces au moyende a sélection naturelle ou la lutte pour l'existence dans la nature sous 'influence des contraintes extérieurs, es êtres vivants se sont graduellement adaptés àeur milieunaturelau travers de processus de reproduction. Par analogie les algorithmes génétiques permettent essentiellement de résoudre des problèmes d'optimisation en engendrant une suite de solutions approchées et s'améliorant progressivement, simulant ainsi l'évolutiondarwinienne dansaquelle, es systèmes biologiques survivent et sadaptent par des processusnaturels tels queaeproo duction, le croisement et la mutation.

les individus les mieux adaptés àleur environnement survivent et peuvent se reproo duire. Cet environnement peut alors être la fonctionà optimiser etesndividus'ensemble

des paramètres de la fonctionDe ce fait, les AGs n'utilisent pas directementles paramètres eux mêmes mais leur codes. De plus, hormis la fonction àoptimiser, lsn'ont besoin d'aucune autre information la concernant.Achaque génération, LesAGs génèrent de nouveaux individus à partir des anciens en utilisant des opérateurs similaires aux opéé rations génétiques telles que à la sélectiondes parents aptes à se reproduire, e croisement de deux parents pour donner des enfants et la mutation pour créer denouveaux gènes. Les individus de la nouvelle générationsont alors évalués para fonctionFitness pour constater leur aptitude à survivre. Cette fonction Fitness correspond au problème que l'on souhaite optimiser etlindividu qui est le plus apteà survivrecorrespond àa solution la plus proche de la solution recherchée. Dans ce mémoire on utiliseesAGs utilisant le codage binaire. La figure (53) représente l'organigramme d'optimisation par unAG pour déterminer les paramètres d et 3 du modèle (5.7).

Codage des individus : Chaque individu est une chaîne binaire de 40 bits. Les vingt premiers représentent l'ordre de dérivation 3 et les vingt suivants le paramètre d. Les contraintes étant les valeurslimites de ces deux paramètres.Cela réduite champ de re cherche donc accélère la rapidité de convergencede l'algorithme.

Génération de la population initiale : la population est constitué de 100 individus, c'est donc une matrice binaire (100 x 40) dont les valeursdes bits sontuniformément générés entre les valeurs 0 et 1

La fonction Fitness: La fitness de chaque individu est calculée par le critère quadratique de l'équation (5.11). Le problème doptimisationétant de eminimiser.

La sélection des parents : C'est le mécanisme qui fixe à partir de la génération préé cédente, quels individus pourront se reproduire pour former agénération suivante.On utilise la sélection stochastique universelle4]Cette méthode de sélection reproduites individus proportionnellement à leur fonction dadaptationsansbiais.La probabilité de sélection est égale à 0.8.

Le croisement : A partir de deux chaînes binaires représentant deux parents. On génère

aléatoirement un nombre compris entre 0 et 1, s'il est inférieur à la probabilité de croisement P _c (égale à 0.7) un site de croisement est alors choisi. l est égal àun nombre aléatoire généré entre 2 et L - 1. (L étant la longueur de l'individu ; égale à 40). Le mécanisme de croisement consiste à échanger les gênes de chaque parent entree site sélectionné eta position finale L des deux parents [23].

La mutation : C'est le mécanisme génétique qui permet de diversifier la recherche de a solution. L'opérateur de mutation consiste simplement àcomplémentera valeur d'un bit avec une probabilité P_m égale à 0.0175. Sa mise en oeuvre consiste à générer un nombre aléatoire compris entre 0 et 1, lorsqu'il est inférieur à P_m un autre nombre compris entre 1 et L est généré, il constitue le rang du gêne à muter 23].

Critère d'arrêt : Le critère d'arrêt del'algorithme est le nombremaximumde généraa tions qui est fixé à 10.

Le tableau (5.1) montrent les résultats obtenus en utilisantlesaméthode proposée dans [78] et celle utilisantles AGs pour déterminer les paramètres 3 et d pour w_n = 20 et quelques valeurs de .

	estimation de 3		estimation de d		valeur du critère
	M.V.	AGs	M.V.	AGs	M.V.	AGs
0.95	0.404	1.247	3.358	20.59	0.225	0.004
J2/2	1	1.270	20	23.29	0.6707	0.002
J2/3	1.375	1.391	61.50	45.25	0.006	0.002
J2/10	1.819	1.813	232.8	218.9	0.001	0.001

TABLE 5.1: Comparaison entreles deux méthodes dapproximation (M.V. : méthode de Vinagre, AGs : méthode utilisant un AG)

Ce tableau montre que pour des valeurs de < J2/2, les deux méthodes donnent des résultats similaires. Par contre, lorsque est voisin de 1 la méthode utilisant l'algorithme génétique est plus précise commele montre la valeurducritèreà minimiser.

Courant de phase nominal : I_n = 1.5 A, Puissance nominale : Pnom = 500 W, Tension de phase nominale: Vnom = 130 V, fréquence : 50 Hz, Vitesse mécanique nominale : ùnom = 1500 tr/min; Nombre de paires de pôlesP = 2; Ld = 0.048 H; L_q = 0.064 H; L_m = 0.258 H; R = 17.5 Ù ; Öf = 0.39144 Wb; f = 2.8 10^-3 kg.m²/s; J = 5.1 10^-3 kg. m².

A cause de la matrice inductance qui dépend de langle derotationde 'arbredu moo teur, donc du temps, la modélisation des machines triphasées àcourant alternatif danse repère (a, b, c) aboutit à des modèles nonlinéaires et non stationnaires.On préfère alors

utiliser des transformations dutype Parrk, Clarrk ou Concordia, qui associées à certaines hypothèses simplificatrices (la non saturationet la distribution spatiale sinusoodale de la fmm statorique), permettent desimplifierconsidérablement esmodèles de cesmaa chines. La transformation de Parrk permet de substituer auxenroulementsa, b, c), dont les conducteurs et les axes magnétiques sont immobiles par rapportau stator, deux enn roulements fictifs (d, q) dont les axes magnétiques sont solidaires du rotor ettournent avec lui [5]. L'indice d indique la composante suivantl'axe longitudinal du rotor et 'indice q indique la composante suivantlaxe en quadrature.Le modèleainsi obtenu peut tre écrit sous la forme :

Le principe de la commande en vitesse de la machine synchrone à aimants permanents consiste à assimiler le comportement de la machine synchrone àcelui de amachine à courant continu à excitation séparée8] dans laquelleecourant d'alimentation contrrle le couple et le courant d'excitation contrôle le flux.Ainsi dans es équations5.13),i la composante du courant id(t) = 0 le flux Öd(t) selon l'axe d est constant puisque le plux Öf est constant et dansl'équation (514) lecouple électromagnétiqueC_e(t) est par conséquent proportionnel au courant i_q(t).

Pour contrôler les courants id(t) et i_q(t) indépendanment l'un de l'autre (découpler le modèle de la machine), les tensions statoriques vd(t) et v_q(t) sont décomposées sous la forme :

Les composantes vdd(t) et v_qd(t) permettent de compenser les termes de couplageentre des deux axes d et q :

et les composantes vd _c(t) et v_qc(t) permettent ensuite de contrôler les courants id(t) et i_q(t) respectivement.

De plus, les courants ayant un régimetransitoireplus rapide que celuide a vitesse mécanique de la machine, on peut négliger leur régimedynamique orsqu'on veut contrôler la vitesse. On ramène ainsile modèle nonliéaire multivariable de a machine à trois modèles linéaires simples de dimension 1. On peut de ce fait utiliser un régulateur IP pour contrôler chaque grandeur de la machine(les courantsid(t) et i_q(t) ainsi que la vitesse (ù(t)). Le schéma de commande est illustré par la figure (5.4)

En effet, le champ magnétique produit par les aimants permanents étant constant, de l'équation (5.14) du couple électromagnétique, il suffit que e courant id(t) soit nul pour que le couple ressemble à celui dela machine à courant continuà excitation séparée. Pour ce faire, il suffit d'orienter le repère ( d, q) de manière à annuler la composante id(t) du courant. Cela revient alors à choisir convenablement 'anglede rotation utilisé par la transformation de Park de sorte que le courant statorique soitentièrement porté sur l'axe q. C'est ce qui est communément appelé la commande vectorielle ou commande par orientation du flux. Ceci constitut néamoins une difficulté de mise enoeuvrede cette commande puisqu'il est nécessaire de mesurer langle derotation à tout nstant.

Un autre avantage, non moins important, de cette structurede commande est quee courant de référence Iqref est délivré par le régulateur de vitesse, on peut par conséquent y insérer un limiteur pour protéger la machine contredespicstrèsmportants du courant i_q(t) que pourrait engendrer le régulateur de vitesse.

Pour mettre en oeuvrele schéma de commande de la figure(5..4) etutiliseraméthode de calcul des régulateurs IF développée dans le paragraphe 5.1.2, on présente dans ce qui suit les modèles des courants id(t), i_q(t) et de la vitesse ù(t), écrits sous la forme de l'équation (5.1).

En utilisant les équations (512) et (513) et entenant compte dea décomposition de la tension vd(t) (5.18), on obtient :

Id(s) et Vd _c(s) sont respectivement les transformations de Laplace de id(t) et vd _c(t).

De la même manière que pour le courant id(t), en utilisant une nouvelle foisles équations (5.12) et (513) et en tenant compte de adécomposition dea tension v_q(t) (5.18), on obtient le modèle transfert donné par

I_q(s) et V_qc(s) sont les transformations de Laplace de i_q(t) et v_qc(t) respectivement.

A partir de l'équation du couple (517) en négligeant a dynamique desboucles de régulation des courants(i_q(t) = iqref(t) et id(t) = idref(t) = 0), l'équation mécanique de la machine (5.15) en considérant lecouple résistant nul, s'écrit

Ù(s) et la transformée de Laplace de ù(t) et Iqref(s) celle du courant de référence iqref(t) délivré par le régulateur de vitesse.

La commande de la boucle de courant à laide dunrégulateur IP d'ordre entier selon la structure de commande dela ifigure (51) lorsque a fonction de transfert du courant est mise sous la forme de l'équation (51) donne en boucle fermée une fonction de transfert ayant l'expression :

qui montre qu'en régime établi la valeur du courant est égale à savaleur de consigne quelque soit les paramètres G0 et T. Les paramètres électriques de la machine nont donc aucune influence sur la dynamique de la vitesse, cest pourquoi onse contente d'utiliser deux régulateurs entiers pour contrôler les courants id(t) et i_q(t), l'utilisation de régulateurs d'ordre non entier nest pas justiifiée dans ce cas.Ce type de régulateur est par contre utilisé dans la boucle de vitesse pour améliorer la robustesse dea commande vis à vis des variations des paramètres mécaniques (le moment d'inertie en particulier).

Pour montrer l'intérêt dutiliser un tel régulateur, oncompare ses résultats à ceux obtenus à l'aide d'un régulateur entier classique.Pour ce faire, on mposeesmêmes caractéristiques dynamiques à la boucle de vitesseet onutiliseamême méthode, par placement de pôles, pour calculerles paramètres des deux régulateurs. On présente alors la réponse indicielle de vitesse, pour montrer la qualité de l'asservissement, et'évolution de la composante en quadrature du courant pour montrera consommation en courant durant le régime transitoire de la machine.

Les paramètres du régulateur IF d'ordre entier sont calculés de manière à obtenir en boucle fermée, un modèle de dimension deux sinusoïdal amorti caractérisé pares paramètres et w_n. Les expressions des coefficients K _p et Ki sont alors données par :

Les coefficients (K_p, Ki et a) du régulateur IF non entier sont calculés à l'aide des equations (5.6) et (59) de manière à obtenir enboucle fermée, emodèlenon entier5..) pour lequel les paramètres d et â sont calculés de sorte que sa réponse indicielle soit équivalente à celle du modèle du second ordre sinusoïdal amorti.

Les valeurs numériques des modèles de référenceentier et non entier ainsi que celles des paramètres des deux régulateurs sont résumés dans etableau 5.2).

type de re- gulateur	paramètres du modèle entier		paramètres du modèle non entier		paramètres des régulateurs
		w_n	d	â	a	K_p	Ki
Régulateur non entier	J2/2	8.24	6.0	1.12	0.12	-0.0024	-10.9286
Régulateur entier	»	»	-	-	-	0.0482	6.1113

Les figures (5.5) et (56) illustrent laréponse ndiciellede avitesse et'évolution de
la composante en quadrature du courant obtenu à 'aide desdeux types de régulateurs
entier et non entier, pour les valeurs nominales des paramètresmécaniques deamachine.
La figure (5.5) montre que les deux réponses indicielles sont quasiment similaires,
montrant ainsi, d'un côté, que la méthode utilisée pour choisires paramètresdu modèle
de référence en utilisant un algorithme génétiqueet, de l'autrecôté queaméthode de
calcul des paramètres du régulateur IF non entier en utilisant la méthode de placement

FIGURE 5.5: Réponse indicielle de la vitesse (trait plein : régulateur non entier, trait discontinu : régulateur entier)

de pôles donnent de bons résultatsIl faut noter également qu'auvoisinage de éro, a réponse indicielle du modèle non entier diffère de celle du modèleentier de dimension deux, elle rappele plutôt celle d'un modèle entier de dimension 1.

La figure (5.6) montre que durant lerégimetransitoirede a vitesse, e courant obtenu en utilisant un régulateur non entier présente un pic égèrement plus grand que celui obtenu avec un régulateur entiermontrant ainsi que e régulateurnon entier ne consomme pas plus de courant, donc plus d'énergieque le régulateur entier.La figure5.6)llustre également une autre caractéristique propreaux systèmesnon entiers qui présentent un démarrage très raide et un établissementtrès ent.

Pour montrer la robustesse du régulateur non entier vis à vis des variations des paramètres mécaniques de la machinele coefficient de frottement visqueux f et le moment d'inertie J, on a fait varier leurs valeurs, avec #177; 50% de leurs valeurs nominales en gardant les valeurs des coefficients des régulateurs égales àcelles calculées aveces valeurs nominales de f et J. Les résultats obtenus sont présentés par les figures 5.7) et5..) respectivement.

La figure (5.7) montre la robustesseet l'insensibilité desdeux régulateurs poures variations #177; 50% du coefficient de frottement visqueux.

FIGURE 5.6: Evolution du courant i_q pendant le régime transitoire de la vitesse (trait plein : régulateur non entier, trait discontinu : régulateur entier)

La figure (5.8) montre quele dépassement de la réponse ndicielle estnsensirble aux variations du moment d'inertie lorsquon utilise le régulateur non entiercourrbes4 et 5). Par contre en utilisant le régulateur entier(courrbes2 and 3) le dépassement est fortement lié à ces variations. Dansle cas entier celas'explique par e fait que es coe~cients du régulateur soient calculés en fonction des paramètres de amachine.Alorsque danse cas non entier, le dépassement estimposé par lordrededérivationnon entier, l est de ce fait indépendant des paramètres de la machine.

La justification analytique de ces résultats ainsi que ceux orbtenus pouramachine asynchrone, sera présenté dans le paragraphe 5.4.

FIGURE 5.7: Réponse indicielle de la vitesse avec variation ducoefficient de rottement visqueux de #177; 50% en utilisant les deux types de régulateurs

FIGURE 5.8: Réponse indicielle de la vitesse avec variationdu moment d'inertiede #177; 50%. (1- valeur nominal avec régulateur entier, 2- valeur nominal avec régulateur non entier3---50% de J avec régulateur non entier, 4- +50% de J avec régulateur non entier, 5- --50% de J avec régulateur entier, 6- +50% de J avec régulateur entier)

Courant de phase nominal : I_n = 6.31 / 3.64 A, Puissance nominale: Pnom = 1500 W, Tension de phase nominale : Vnom = 220 / 380 V, fréquence : 50 Hz, Vitesse mécanique nominale : ùnom = 1500 tr/min; Couple nominal : Cenom = 10 N.m; Nombre de paires de pôles : P = 2; L_s = 0.274 H; L_r = 0.274 H; L_m = 0.258 H; R_s = 4.85 Ù ; R_r = 3.08 Ù ; f = 8.10^-3 kg.m²/s; J = 31.10^-3 kg.m2.

La modélisation de la machine asynchrone est un point largement reprisdansaitté rature [5], aussi on donne dans ce qui suit le modèle dynamique en représentation d'état de la machine dans le référentiel lié au champs tournant (d, q), en choisissant comme variable d'état: les courants id_s(t), i_qs(t) ainsi que les flux rotoriques _Ödr^et_Öqr. Il est donné

par:

avec :

d
dt

i_s(t)
Ö_r(t)

₁ ? ₁ ? ₁ ? ₁

A11 A12 i_s(t) B1

_j = ? _j ? _j + ? _j v_s(t) (5.30)

A21 A22 Ö_r(t) 0

h L_m Rr_i h _Rr i

A21 = I 1; A22 = - I1 - (ù_e - ùr)I2

L_r L_r

(5.32)

h ₁ i

B1 =I1 I1 =

a L_s

? ₁ ? ₁

1 0 0 -1

? _j ; I2 = ? _j

01 10

Comme pour la machine synchrone à aimants permanents, e principe de a commande en vitesse de la machine asynchrone consiste à assimiler son comportement à celui dea machine à courant continu à excitation séparée 8]. Ondoit alors découplera commande du couple par la composante en quadrature ducourant et acommande du flux para

composante directe. On utilise dans ce cas aussi le principe de a commande vectorielle qui permet alors d'écrire

En tenant compte des relations de léquation (5.34) et en remplaaant'opérateur de dé rivation _dt^dpar l'opérateur de Laplace s, les équations électriques dela machine (5.30) deviennent :

V_qs(s) = ó L_s s I_qs(s) + R_s + R_r I_qs(s) + ó L_s ù_s(s) Id_s(s) - Lm Lr ùr(s)Ör(s)

(5.38) Vd_s(s), V_qs(s), Id_s(s), I_qs(s), ù_s(s), ù_r(s) et Ö_r(s) sont respectivementles transformations de Laplace de vd_s(t), v_qs(t), id_s(t), i_qs(t), ù_s(t), ù_r(t) et Ö_r(t)

Pour contrôler les courant Id_s(s) et I_qs(s) indépendemment l'un de l'autre, les tensions statoriques dans le repère (d, q) sont décomposées selonla relation

les composantes Vdsd(s) ^et Vqsd(s) compensent les termes de couplage entre les deux axes

et les composantes Vds _c(s) et Vqs _c(s) contrôlent les courants Id_s(s) et I_qs(s) respectivement. De plus, la dynamique des courants étant plusrapide que celle du fluxet de avitesse, leur dynamique peut être négligée pour calculer les paramètresdes régulateurs du ux et de la vitesse. le modèle non linéaire fortement couplé de la machine asynchone est ainsi

simplifié en quatre modèles linéaires de dimension 1. On peut par conséquent utiliser quatre régulateurs IF pour commander en vitessela machine. La figure (5.9) montrea structure de la partie commande. la structure decommande globale deamachine est simillaire à celle de la machine synchrone donnée par la figure(5..).

Dans ce cas également, pour utiliser la méthode de dimensionnement des régulateurs IF non entiers développée dansle paragraphe 5.1, on doit déterminer le modèle de dimension 1 de chaque grandeur de la machine (les courants Id_s(s) et I_qs(s), le filux Ö_r(s) et la vitesse Ù(s)).

En tenant compte de la décomposition des tensions (5.39) et en supposant quees termes de couplage soient compensés par les composantescorrespondantesVd_sd(s) et Vdsq(s) des tensions Vd_s(s) et Vd_s(s), les équations électriques dela machine (538)

Idsref(s) est la sortie délivrée parle régulateur du flux qui sertde référence au régulateur du courant Id_s(s).

: En utilisant l'équation (5.34) en négligeant le régime transitoire des grandeurs électromagéntiques (Id_s(s) = Idsref(s), I_qs(s) = Iqsref(s) et Ö_r(s) = Örref(s)) et en considérant le couple résistant nul, on obtient

Örref étant la consigne constante imposée par lerégulateur du flux _etIqsref(s) est la
sortie du régulateur de vitesse qui sert deréférence au régulateurdu courantIqs(s).

La fonction intégrale des régulateurs IF entier utilisées dans les boucles de régulation de courant garantitl'annulation de lerreurstatique quelque soites valeurs des paraa mètres électriques de la machineDe ce fait, ladynamiquede a vitesse estnsensible aux variations de ces paramètres. Cest pourquoi le régulateur IF d'ordre non entier n'est utilisé que dans la boucle de régulation de la vitesse afin daméliorer a robustesse dea commande vis à vis des variations des paramètres mécaniques (lemoment d'inertie ete coefficient de frottements visqueux)

Pour montrer l'avantage de ce régulateur par rapportau régulateur entier, on compare les résultats obtenus par les deux régulateurs.Pour ce faire, comme pouramachine synchrone, on impose les mêmes caractéristiques dynamiques à abouclede vitesse et on utilise la même méthode pour calculer les paramètres des deux régulateurs. On présente également la réponse indicielle de vitesse, pour montrer la qualité de a commande, et l'évolution de la composante en quadraturedu courant pour montrera consommation en courant durant le régime transitoire de la machine.

Les paramètres du régulateur IF d'ordre entier sont calculés de manière à obtenir en boucle fermée, un modèle de dimension deux sinusoïdal amorti caractérisé pares paramètres æ et w_n, les coefficients K _p et Ki sont données par les expressions (527)

Les coefficients (K_p, Ki et a) du régulateur IF non entier sont calculés à l'aide des equations (5.6) et (59) de manière à obtenir enboucle fermée, emodèlenon entier5.8). Les valeurs numériques des modèles de référence entier et non entier ainsi que celles des paramètres des deux régulateurs sontrésumés dans etableau 5..).

Les figures (5.10) et (511) illustrent respectivement es réponsesndicielles de la vitesse obtenue à l'aide des deux régulatreurs et lévolution du courant i_qs(t) pendant le régime transitoire de la vitesse.

La figure (5.10) montre que les deux réponses indicielles sont simillaires.Néanmoins, la réponse obtenue à l'aide du régulateur entier présente des oscillations, ce quin'estpas le cas en utilisant le régulateur non entierLafigure(5.11),montre qu'avece contrrleur non entier, le courant présente un pic légèrement plus grand pendant e régime transitoire

type de re- gulateur	paramètres du modèle entier		paramètres du modèle non entier		paramètres des régulateurs
	æ	ù_n	d	â	á	K p	Ki
Régulateur non entier	J2/3	16	47.18	1.39	0.39	-0.004	-142.44
Régulateur entier	»	»	-	-	-	0.30	28.40

FIGURE 5.11: Evolution du courant i_qs(t) pendant le régime transitoire de la vitesse.(1) : régulateur non entier, (2) : régulateur entier

de la vitesse. Cela signifie queles contrôleurs non entiersne consomment pas plus de courant, donc plus d'énergie

Pour finir, afin de montrerla robustesse des régulateursvis visdes paramètres mécaniques, plusieurs valeurs du moment dinertie J sont considérées (#177;50% de sa valeur nominale) pour les deux contrôleurs. Lesrésultats obtenus sont présentésuresfigures (5.12) et (5.13)

La figure (5.12) montre que le dépassement de la réponse ndicielle estnsensible au variations du moment d'inertie en utilisant lerégulateur non entiercourbe1, 2 et 3) contrairement au régualteur entier (courbe 4 et 5) dont le dépasement varie considérablement. Il faut noter égalementtel que le montre lafigure(5.13) quea robustesse obtenue avec le régulateur non entier ne se fait pas audétriment de a consommation en courant, puisque les pics sont sensiblement identiques dans les des deux cas.

FIGURE 5.12: Réponse indicielle de la vitesse avec variationdu moment d'inertie.(1- valeur nominale de J, 2- régulateur non entier avec --50% de J, 3- régulateur non entier avec +50% de J, 4- régulateur entier avec --50% de J, 5- régulateur entier avec +50% de J)

FIGURE 5.13: Variation du courant_qs avec variation du moment dinertie. (1- valeur nominale de J, 2- régulateur non entier avec --50% de J, 3- régulateur non entier avec +50% de J, 4- régulateur entier avec --50% de J, 5- régulateur entier avec +50% de J)

~ L'erreur statique est nulle en utilisant les deux types de régulateursquelque soientes variations de f et J en raison du fait qu'en régime permanent ( s = 0) les fonctions de transfert en boucle fermée obtenues en utilisant e régulateurIF d'ordre non entier (5.2) et en utilisantle régulateur IF d'ordre entier (5.28) sont égales à 1 quelque soit les variations de f et J.

~ Pour montrer l'influence des variations de f et J sur le temps d'établissement dela vitesse, il faut étudier leurinfluence sur le terme KiKpG0

~ Enfin, pour montrer l'influence des variations de f et J sur le dépassement de la
réponse indicielle de la vitesseil faut analyser leur influence sur eterme 1+KpG0

T qui détermine la valeur du coefficient damortissement æ, dans le cas entier et qui permet en annulant le terme a1, d'obtenir la structure (58) qui garantiea robustessedu dépassement dans le cas non entier

Pour ce faire, on remplaceles paramètres des régulateurspareurs expressionsess pectives en considérant quil ny a aucune variation sur les paramètres deamachineles expressions de G0 et T sont celles obtenues avec f et J). Par contre, on remplacele gain statique et la constante de temps par leur expression enconsidérant des variationsÄJ sur le moment d'inertie et Äf sur le coefficient de frottement visqueux. On les notera alors G0 _ÄJ et TÄJ lorsqu'on étudie l'influence des variations du moment dinertie J et G0 _Äf et TÄf lorsqu'on étudie l'influence des variations du coefficient de frottement visqueux f.

De plus, l'expression du gain statique de la fonction detransfertde a vitesse dea machine synchrone à aimants permanents et de la machine asynchrone étant simillaires et l'expression de la constante de temps dans les deux machines étant amême, 'analyse de la robustesse se fera de la même manière dans les deux cas.Pour ne peut e~ectuere même travail deux fois on remplacera le gain statique de a focntion de transfert dea vitesse dans les deux machines par

Rappelons également que les paramètres durégulateur d'ordreentiers sont donnés par:

Les variations du coefficient de frottement visqueux nont donc aucune n~uence sure temps d'établissement de la réponse indicielle de la vitesse, confirmant ainsies résultats de simulation présentés dansla figure (57)

1 + K _p G0 Äf
TÄf

(2 æ w_n T _1 '\ ( cste '\

1 + G0 f+Äf

f +Äf

Äf étant le coefficient d'amortissement dû aux variations ducoefficient de frottee ment visqueux f, il peut alors s'exprimer en fonction du coefficient damortissement , correspondant à la valeur nominale de f, par :

Cette relation montre queles variations de f agissent sur le dépassement dela réponse indicielle, ce qui n'est pas le cas d'après les résultats obtenues parsimulation figure 5..). Pour expliquer cette différenceon a calculé les valeursnumériques relatives ÄæÄf

æ ) pour ù_n = 8.24, J = 5.1 10^--3 et plusieurs valeurs de f. Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau (5.6).

Äf

10%

20%

50%

70%

100%

150%

200%

Ä Äf

ÄæÄf

0.0033
0.0047

0.0067
0.0094

0.0167
0.0236

0.0233
0.033

0.0333
0.0471

0.05
0.0707

0.0666
0.0942

Ces résultats montrent que les variations relativesde_Äf sont très faibles par rapport à . Cela explique pourquoi les variations de f semblent ne pas agir sur le dépassement de la réponse indicielle, con firmant ainsi les résultats desimulationde a figure5..).

Dans ce cas également, les variations du coefficient de frottement visqueux n'ont aucune influence sur le temps d'établissement de la réponse indiciellede la vitessecon firmant es résultats de simulation montrés par la figure (5..7).

Dans ce cas aussi, cette relation sembleêtrecontraireaux résultats obtenus par simulation. Pour montrer que les résultats concordrent, nous avonscalculé, dansune premiire étape, les valeurs du coefficient a1 correspondant aux différentes valeurs de f. Les résultats sont donnés dans le tableau (5.5)Dans une seconde étape, nous avons calculées racines des

Äf	10%	20%	50%	70%	100%	150%	200%
a1	0.0549	0.1098	0.2745	0.3843	0.549	0.8235	1.098

polynômes entiers correspondants aux polynômes non entiersobtenus poures différentes valeurs du coefficient a1 (nous avons remplacé la valeur de á = 0.39 par á = 0.4 pour réduire le nombre de pôles à calculer) Ces pôles sont ensuite comparés à ceux du polynôme caractristique obtenu pour a1 = 0 correspondant à la valeur nominale de f. Les résultats obtenus sont illustrés parla figure (514)

Ces résultats montrent que les variations du coefficient d'amortissementf ne modifient pas beaucoup la position des pôles dela fonctiondetransfert enboucle ermée, connrmant ainsi les résultats obtenus par simulation.

Les variations du moment dinertie agissent sur le temps d'établissement dea réponse indicielle de la vitesse. Cela confirmeles résultats desimulation présentés para gure (5.8), (courbes 5 et 6) pour la machine synchrone à aimants permanents et la figure 5.12), (courbes 4 et 5) pour la machine asynchrone.

1 + K _p G0 ÄJ		=	1 + (2æùnJ) f _1 ) (cste cste f f
TÄJ			J+ÄJ f
1+ K p G0ÄJ	J = 2 wn J + ÄJ = 2 ÄJw_n (5.56)
TÄJ

Dans ce cas aussi, on peut exprimer le coefficient damortissement_ÄJ, dû aux variations du moment d'inertie J, en fonction du coefficient d'amortissement , il est donné par :

Pour apprécier l'influence des variations de J sur le coefficient d'amotissement ÄJ, donc sur le dépassement de la réponse indicielle, on présente dans e tableau 5.5)es valeurs numériques des variations relatives de _ÄJ par rapport à pour différentes valeurs de ÄJ.

Ces résultats montrent que ces variations sont relativement mportantes, qui prouvent que les variations de J agissent bien sur le dépassement de la réponse indicielle de la

vitesse telle que le montre la figure (58) (courbes 5 et 6) pour la machine synchrone à aimants permanents et la figure (512) (courbes 4 et 5) pour la machine asynchrone.

ÄJ

10%

20%

50%

70%

100%

150%

200%

ÄæÄJ

ÄæÄj

0.6428
0.9091

0.5893
0.8333

0.4714
0.6667

0.4159
0.5882

0.3536
0.5

0.2828
0.4

0.2357
0.3333

æÄj

Cette relation montre queffectivement les variations du moment d'inertie affecteeemps d'établissement de réponseindicielle confirmant ainsi les résultats de simulation présentés par la figure (5.8), (courbes 3 et 4) pour la machine synchrone à aimants permanents et la figure (5.12), (courbes 2 et 3) pour la machine asynchrone.

a1 =

1 + K _p G0 ÄJ

1 - f _f ) _fcste )

cste f

J+ÄJ
f

= 0 (5.59)

TÄJ

Dans ce cas aussi, les variations de J n'affectent pas le dépassement dela réponse indicielle ce qui est conforme aux résultats desimulation présentésparafigure5.8),courbes3 et 4) pour la machine synchrone à aimants permanents et afigure 5.12), courbes2 et 3) pour la machine asynchrone

5.7 Comportement des régulateurs IP entier et non entier à une sollicitation du couple résistant

L'ordre non entier introduit par la dérivationet 'intégrationnon entièresn'étant pas une pondération de ces fonctions mais une puissancede l'opérateur de Laplace, lpermet d'imposer une caractéristique de la boucle fermée indépendamment desparamètres du système. C'est ce qui est montré dans ce chapitre àtraversa commande en vitesse dea machine synchrone à aimants permanents et la machine asynchrone, où e dépassement de la réponse indicielle est indépendante des variations des paramètresmécaniques,lemoment d'inertie en particulier, ce qui nest pas le cas lorsqu'on utilise es régulateursPID entiers classiques. Dans ce qui suit, on étudie le comportement des régulateursIP entier et non entier lorsque la machine est sollicitée par un couple résistant.Le comportement étant similaire pour les deux machines, les résultats desimulation qui sont donnés et'analyse qui en sera faite, sont ceux obtenus dans la commandede la machine synchrone à aimants permanents.

Pour ce faire, on a considéré la vitessederéférence nul et on a njectéun couple résistant en échelon de valeur 0.8 N.m, pour montrer lévolution de a vitesse relative à cette sollicitation (En réalitécet essai doit être fait enun point de fonctionnement nominal de la machine). Les résultats obtenus sontdonnés par a figure 5.15). Ces résultatsmontrent que le IP d'ordre entier rejettela perturbationducouple beaucoup plus rapidement que ne le fait le régulateur IP d'ordre non entier.

Pour expliquer pourquoi le régulateur non entier a un comportement moinsperformant que le régulateur entier, alors quils ont été dimensionnés de sorte queeur fonction de transfert en poursuite soit équivalente, calculons es fonctions de transfert en boucle fermée en poursuite et en rejet de perturbation.

Rappelons que le schéma de commande de la boucle de vitesse est celui de a figure 5.16. ~ Lorsqu'on utilise le régulateur IP d'ordre entier (a = 1), on obtient :

5.7 Comportement des régulateurs IP entier et non entier à une sollicitation du couple résistant 195

FIGURE 5.15: Comportement des régulateurs enrejet de perturbatton, trait plein : régulateur IP entier, trait discontinu : régulateur IP non entier)

= s

( _Ù(s) )

3KpKiÖf ùref (s)

Cr(s)⁼

Ù(s)

J s 1

(f+3P KpÖf ) s+ 3KpKiÖf s2+ J 2 J

(5.61)

Cette relation montre quela réponse indiciellede la fonctionde transfert en rejet de perturbation est la réponse impulsionnelle de la fonctionde transfert en poursuite. Comme les réponses indicielle et impulsionnelle ont le même temps détablissement, Le comportement dynamique du régulateur IF d'ordre entier est le même en poursuite et en rejet de perturbation.

~ Lorsqu'on utilise le régulateur IF d'ordre non entier (a =6 1), les fonctions de transfert en poursuite et en rejet de perturbation sont données par

Cr(s)⁼

Ù(s)

J sa 1

(f+3P KpÖf ) sa+ 3KpKiÖf

s^a+¹+

J 2 J

(5.63)

Dans ce cas, la réponse indicielle du transfert enrejet de perturbationn'est pas la réponse impulsionnelle de la réponse indicielle dutransfert en poursuite mais sa dérivée à l'ordre non entier a. Comme la dynamique d'établissement des systèmes non entiers est d'autant plus lente que lordre nonentier estprocce de éro, cela explique le comportement du régulateur IF non entier lors de la sollicitation du couple résistant.

Il faut noter, que ce comportement estsimilaire à tous es régulateursnon entiers
dont les paramètres sont calculés desorte à obtenir enboucle ferméea fonction de
transfert (5.7) qui garantie larobustesse dudépassement dea réponsendicielle11.

Dans ce chapitre, on a proposé une nouvelle méthodededimensionnement du régulaa teur IF d'ordre non entier par placement de pôles. Contrairement à'approche habituelle qui consiste à imposer les pôles du polynôme caractéristique de aboucle fermée, on a proposé une autre approcheCelle-ci utilise les paramètresdu régulateurpour annuler quelques coefficients de ce polynôme pour obtenir enboucle fermée a fonction de transfert de l'équation (5.7). En effetsa structure permet d'imposeredépassement dea réponse indicielle à l'aide de l'ordre non entier et non pas à laide des paramètresdu régulateur garantissant de ce fait sa robustesse vis à vis des paramètresdu système.

Les paramètres d et â du modèle de référence (5.7) ne pouvant pas être déterminés à partir des caractéristiques dynamiques de la réponse ndicielleledépassement ete temps de réponse), on a utiliséles algorithmes génétiques.Cesdeuxparamètresont alors optimisés tels que la réponseindicielle du modèle non entier (5.7) soitéquivalente à celle d'un système entier de dimension deux dont les paramètres æet w sont faciles à choisir.

L'application du régulateur IF non entier à la commande en vitesse de la machine synchrone à aimants permanents et de la machine asynchrone a montré sonntérêt. En effet, le dépassement de la réponse indicielle de la vitesse nedépend plus desparamètres mécaniques de la machine (le moment dinertie en particulier), caractéristiquemposs sible à obtenir à l'aide du régulateur entier classique.Cette robustesse pouvant êtrea caractéristique principale àimposer dans certaines applications.

Il faut signaler enfin, le mauvais comportement du régulateur IF non entier lorsque la machine est sollicitée par un couple résistant contrairement au régulateurIF d'ordre entier. Ce problème pouvant être ajouté aux nombreusesquestions concernanta commande non entière aux quelles il reste à trouver des réponses.

La discussion des principaux résultats obtenus ainsi que les perspectives qui peuvent compléter le contenu de ce mémoire font lobjet decette conclusionn

Le chapitre 1 a été consacré à la présentation des diifférentes définitions de adérivaa tion et intégration non entière. Il a été, en particulier, mis en évidence e caractèreongue mémoire de ces opérations contrairement au caractèreocalde a dérivation et'intégraa tion entière classique. C'est cette caractéristique qui est di~cile à reproduireors dea simulation ou la réalisation des systèmes non entierssC'estpourquoieur approximation par des modèles entiers est actuellement la seule alternativee

Dans la seconde partie de ce chapitre, après avoir présenté esdéfinitions debase des systèmes non entiers, une autre caractéristique ntrinsèque a étémise en évidenceeElle consiste en la résolution des polynômes non entiers pour esquelson ne peut pas savoir a priori combien de racinesils possèdent contrairement aux polynômes entierssLa méthode de résolution présentée consiste à approximer aussi epolynôme non entier par un polyy nôme fractionnaire à partir duquel, à laide dun changement de variable adéquat, permet une nouvelle fois d'utiliser les outils propres aux systèmes entierss

Enfin, le passage de la représentation transfertàa représentation d'état a étéraité de manière particulière car ce point est très peu abordé dans aittératuree Les perspectives possibles dans ce domaine sont notamment

~ le passage de la représentation transfert à a représentation d'état pour lesystèmes non commensurables multivariables.

~ établir les conditions de stabilité dessystèmes non commensurables, d'aborddans
le cas monovariable ensuite dans le cas plus général des systèmesmultivariabless
~ un autre problème qui serait intéressant détudier est e changement debasedansa

représentation d'état des systèmes généralisés, permettant ainsi d'obtenir des formes "canoniques" simples rendant possible la commande des systèmesnon entiersmultivariables. Problème qui n'est pas encore abordé

Le chapitre 2, outre la méthode d'approximation utilisant ledéveloppement en frac tions continu qui a été proposée, a permis de développer desmodèles entiers qui approximent le modèle non entier implicite dans les domaines continuet discret.La discrétisation des modèles continus non stationnaires qui modélisent les systèmesmplicitesdansa re présentation d'état fait aussi lobjet decechapitre.

Celui-ci contient également une nouvelle applicationdont les modèlesnonentierspeuvent constituer une solution. Il sagit des problèmes de compression oude stoccage de données. Les perspectives dans ce domaine peuvent être

~ développer des méthodes d'approximation utilisant d'autres structuresnon entières

qui puisse compresser des modèles comportant des pôes et des éros complexes.
~ étudier des applications réelles utilisant ce typedecompression de données à 'aide

Le chapitre 3, qui contient les principaux résultats de cette thèse, a été consacré au développement de deux modèles entiers qui approximent un modèle non entier généralisé multivariable dont les ordres de dérivation sont quelconques.Le premiermodèleutilise l'approximation de l'opérateur de dérivationet le deuxième utilise cellede 'opérateur d'intégration. Ce dernier a été rendu possible grâce àa nouvelle représentation d'état utilisant l'opération d'intégration, à la place de 'opération de dérivation usuelle, qui a été proposée. L'intérêt de ces modèles, en plus dêtre généraux, puisque'ils sont valables aussi bien pour les modèles commensurables et non commensurablesmonovariables ou multivariables, ils ne posent aucune restriction sures ordresnon entiers.

Il faut noter également que les erreurs dapproximationen basses et enhautes fréquences, d'abord du dérivateur généralisée, ensuite des modèles entiers, ont été caractérisées. Ces erreurs ont mis en évidence que le paramètre e plus mportant dontl faut

tenir compte est la largeur de la bande dapproximation etnon pasenombre de cellules utilisées.

Un autre résultat important qui a été présenté dans ce chapitre, est'utilisation des techniques de réduction de modèle qui a permis deréduiretrès considérablement es dimensions des modèles entiers qui approximent le modèle nonentier.Résolvant ainsi le problème de réalisation des systèmes non entiers, problème qui a souvent été décrié comme étant leur inconvénient.

Il reste néanmoins deux pointsimportants quil faut résoudrepour compléter cette approximation des systèmes non entiers enreprésentation d'état

~ Etablir une définition générale de la représentationd'état des systèmesnon entiers qui tiennent compte des conditions initiales.

~ Tenir compte de ces conditionsinitiales dans les modèles entiersqui approximente modèle d'état non entier.

Le chapitre 4 a été consacré à l'identification dessystèmes nonentiersdans edomaine fréquentiel. Le résultat présenté consiste en 'association deaméthode d'optimisation par essaim particulaires "PSO" et l'algorithme d'identification "Vector itting" pour obtenir un nouvel algorithme Hybride pour l'identificationdes systèmesnon entiers fortement non linéairesCe résultat peut êtreétendu aucasdes systèmes non entiers généralisés.

Le chapitre 5 a traité de la commande des systèmes entiers par des régulateurs non entiers. On a alors proposé une nouvelle méthodededimensionnement du régulateur IP d'ordre non entier par placement de pôles. Contrairement à'approchehabituelle qui consiste à imposer les pôles du polynôme caractéristique de aboucle fermée, on a proposé une autre approche. Celle-ci utilise les paramètres du régulateur pour annuler quelques coefficients de ce polynôme afin d'obteniren boucle fermée, une fonctionde transfert dont la structure permet dimposer le dépassement de a réponsendicielle à 'aide de l'ordre non entier et non pas à laide des paramètres du régulateur garantissant de ceait

L'application du régulateur IF non entier à la commande en vitesse de la machine synchrone à aimants permanents et de la machine asynchrone a montré sonntérêt. En e~et, le dépassement de la réponseindicielle de la vitesse ne dépend plus des paramètresméé caniques de la machine (le moment d'inertie en particulier) caractéristiquempossible à obtenir à l'aide du régulateur entier classique. Il faut noter néanmoins, emauvais comporr tement du régulateur IF non entier lorsque la machine est sollicitée par un couple résistant contrairement au régulateur IF d'ordre entier. Ce problème étant commun àtoutes es structures de commande non entières, il serait intéressant d'étudier ce problème.Lutilii sation de la méthode d'optimisation PSO associée auxtechniques de commande robuste pourrait être un moyen dele résoudre.

Il faut souligner enifin, que tousles développements théoriquesqui ont été présentés, proposés ou développés tout au long des cinq chapitres de ce mémoireont été validés par simulation. Beaucoup de programmes informatiques ont alors été écrits, même si à notre sens ils ont été fait de manière assez rudimentaire.Un autre chantiernonmoinsmportant serait de structurer tous ces algorithmes numériquesdans une toolbox quiervirait d'outil au développement d'autres résultats que ce soitdans le domaine de 'identiification oue domaine de la commande des systèmes entiers ou non entierspardesoisde commande utilisant la notion de dérivation non entière.

Contribution à l'analyse et la synthèse des systèmes d'ordre fractionnaire par la représentation d'état

Chapitre 5