Etude du modèle de tarification de prime d?assurance maladie par l'approche stochastique (cas de l'hôpital Saint Joseph de Kinshasa)

Préambule

Ce mémoire est consacré à l'étude du modèle mathématique des assurances maladie afin de calculer la prime de risque qu'un assuré doit verser à son assureur en vu d'une prise en charge lors de la réalisation du sinistre. Cette étude a été effectuée à l'hôpital Saint Joseph de Kinshasa dans le service de gynécologie-obstétrique et de la Maternité.

En effet l'assurance maladie appartient à la famille des assurances des personnes, qui proposent des contrats destinés à protéger les individus des risques qui portent atteinte à leur intégrité physique.On scinde habituellement les assurances des personnes en deux grandes familles : l'assurance vie et l'assurance de dommages corporels.

L'assurance vie propose des contrats dont les prestations sont versées suite à une atteinte physique à la personne assurée. Elle offre également des couvertures contre le décès mais dans un cadre bien défini dans le régime de prestation. 

Elle regroupe les branches suivantes :

- L'assurance santé : a pour but de rembourser des frais consécutifs aux maladies, aux accidents, à la maternité. Le niveau de remboursements de frais de soins et des médicaments varie de la prise en charge de ticket modérateur à une partie ou à la totalité des frais laissé à charge de l'assuré.

- L'assurance des accidents corporels : a pour but de garantir les accidents corporels par versement des prestations forfaitaires ou indemnitaires en cas d'accident ayant entrainé une incapacité, une invalidité ou un décès.

- L'assurance dépendance : à pour objectif de financer l'aide en cas de perte d'autonomie par versement d'une rente et/ ou d'un capital.

Les promesses faites aux assurées portent la plus part des temps sur des longues périodes. L'évaluation précise du coût lié à ces promesses et une gestion saine sont des conditions essentielles à la viabilité des contrats et aux versements des prestations prévues.

Au cours de la vie du contrat d'assurance, l'assuré va passer par différents états qui conditionnent son engagement par le paiement de ses primes, mais aussi l'engagement de l'assureur à son égard par le paiement des prestations. L'objet mathématique les plus approprié pour modéliser l'évolution de l'assuré  à travers ces différents états est la classe de processus stochastiques à temps continu et à espace d'états fini appelée processus ponctuels.

Canevas de travail

Ce travail se compose en quatre parties :

- La première partie intitulée « Généralités sur les assurances » donne les grandes notions des assurances autres que maladie en premier lieu et traite singulièrement des assurances maladie en second lieu ;

- La deuxième partie intitulée « Etude du système d'assurance maladie en France », est consacré à l'étude du système d'assurance maladie en France qui est l'un de meilleur au monde. C'est pour comprendre la problématique de l'assurance maladie que nous introduisons ce chapitre car cet assurance est presque inexistante dans notre pays;

- La troisième partie traite des modèles stochastique de l'assurance hospitalisation avec possibilité des retours à des états occupés dans le passé du faite que les états d'hospitalisations sont(heureusement) les plus souvent non définitif et il est important de pouvoir évaluer les probabilités de retrouver une bonne santé à tout âge afin d' évaluer de manière la plus juste possible les primes associées à ces contrats.

- Et enfin dans la quatrième partie, nous allons faire une étude sur le calcul de la prime de risque à partir des données récoltées aux services gynécologie et maternité de l'hôpital Saint Joseph. Dans cette section nous utiliserons les techniques issues des statistiques pour la constitution des échantillons. Nous utiliserons comme outils pour produire nos statistiques le logiciel SPSS.

Préface

L'assurance maladie qui fait l'objet de notre étude appartient à la famille des assurances des personnes qui constituent sans contexte la partie la plus dynamique du secteur des assurances. Toutes les statistiques disponibles montrent clairement qu'au cours du dernier quart de siècle passé les assurances des personnes ont connu des taux de croissance significativement plus élevés que ceux des assurances des dommages et de responsabilité.

Les explications de ces succès sont multiples ; citons notamment le vieillissement de la population, une meilleur connaissance de la part de ménage des risques de l'existence, la crise économique et l'acquisition d'un revenu vital non certain et, enfin la crise de l'état providence qui a miné la confiance autrefois placée dans les mécanismes d'assurances sociales.

L'assurance maladie à un impact positif sur l'économie d'un pays car les primes versés par l'assuré constitueront des réserves qui pourront alimenter l'économie du pays et cette assurance devrait être encouragée plus que tout assurance car tout être humain est toujours atteint au cours de sa vie d'une maladie mais tout être ne possédera pas forcement une voiture ou un immeuble à assurer.

En République Démocratique du Congo, nous avons en général les problèmes suivant :

- Les démunis ou les personnes sans revenu constant et décent n'ont pas facilement accès aux soins médicaux et meurent parfois d'affection bénigne faute des moyens financiers ;

- Ceux qui possèdent un revenu, dépensent des sommes importantes étant donné qu'ils supporteront toutes leur hospitalisation jusqu'au paiement de service post hospitalier

Face à ce problème et consciente de cette réalité, l'Etat devrait encourager la population à payer cette assurance et devrait également libéraliser le secteur afin de créer une compétition dans les prestations des services aux assurées. Ceci contribuera à l'amélioration du système d'offre de soins par les réserves constitués car ceux-ci peuvent être affectés à cette tâche.

L'assurance maladie propose de contrat dont les prestations sont versées suite à une atteint à l'intégrité physique de la personne, constitue notre sujet d'étude en générale. Mais nous nous intéressons plus précisément à l'assurance hospitalisation car celle-ci englobe les services connexes qui donnent une vision plus générale de la prise en charge d'un malade.

Soucieux d'apporter une contribution à la résolution des problèmes de la RDC, nous nous sommes intéressés à l'étude du modèle mathématique pour la tarification de contrat d'assurance hospitalisation par l'utilisation des techniques statistiques appropriées.

Pour avoir une idée des différents problèmes que connaissent l'assurance maladie nous nous sommes intéressés à l'étude du système d'offre de soins en France qui est l'un des meilleurs au monde comme l'a certifié l'OMS en 2008. Et cette étude nous permettra de comprendre la structure de l'assurance maladie en catégorisant les services des prestations selon les couches de la population.

Chapitre 1 : Généralité sur les assurances

1.1. Historique

Les traces lointaines des opérations d'assurance se trouvent dans l'antiquité où l'assurance était pratiquée sous la forme la plus ancienne : celle de l'assurance mutuelle, qui consistait à la mise en commun avec d'autres personnes exposées aux mêmes risques, des cotisations demanière à constituer un fond qui devrait parer aux éventualités prévues.

Déjà à Rome avant le 15^èmesiècle il existait des mutualités des petits marchands, des caisses de secours. Dès lors l'on comprend que l'assurance a comme base « la mutualité » qui permet d'éliminer le hasard et de créer la sécurité.

A la fin du moyen âge apparu l'assurance à prime fixe sous la forme d'assurance maritime ; l'assuré s'adresse à un tiers qui, moyennant une prime forfaitaire s'engage à garantir jusqu'à un maximumconvenu. Ainsi l'assistance mutuelle se vit remplacer par le principe du but lucratif et l'idée de l'association par celle de la prime, n'étant elle-même que le prix du risque.

Le développement de commerce de mer dans tous les pays du bassin méditerranéen provoqua l'éclosion de cette assurance à prime fixe et l'assurance maritime apparut au 15^èmesiècle comme une institution organisée. L'assurance maritime ne constituait au 15^emesiècle qu'une assurance des choses destinée à garantir la cargaison contre le risque de mer.

Au 17^èmesiècle l'assurance terrestre fit son apparition en Angleterre sous la forme de l'assurance contre l'incendie à la suite du grand incendie de Londres en 1666 qui détruisit plus de 13000 maisons et près de 100 églises.

Au 19^èmesiècle, l'assurance prit son essor par la création de plusieurs compagnies privées, mutuelles sous action. A coté de l'assurance incendie des nouvelles formes des assurances virent jour : les assurances contres les accidents, les assurances de responsabilité.

Au 20^èmesiècle, on assiste à un développement de l'assurance favorisé d'une part par la concentration des populations dans les villes, d'autre par l'amélioration du niveau de vie et l'établissement des statistiques des plus en plus précises et des tables des mortalités par les mathématiques des assurances.

Le développement du machinisme et la circulation automobile accrurent les formes d'assurancesde responsabilité déjà connues et sous l'influence de la vie économique et sociale, les assurances contre les vols, contre les risques de guerre, les assurances contre les accidents corporels apparurent.En outre, l'évolution des assurances au 20^èmesiecle se caractérise par une socialisation qui se manifeste à un triple point de vue.

D'une part il ya des risques qui menacent l'individu dans sa personne (maladie, invalidité, vieillesse,...) et dont la couverture présente un intérêt social évident. Les personnes menacées par ses risques et qui sont économiquement faibles ne sont pas capablede s'assurer. Ainsi, tenant compte de l'intérêt général, l'Etat est intervenu pour s'imposer à tous les salariés, avec la participation des employeurs, la couverture de ses risques sociaux afin d'améliorer, par la sécurité le sort de la classe ouvrière.Dès lors les assurances contre les maladies, les assurances contre les accidents corporels, les assurances en cas de vie ou assurances retraites naquirent.

D'autres parts, la socialisation des assurances se manifeste au sein même des assurances privées, car dans plusieurs pays, les assurances sont exploitées par les sociétés privées et, dans d'autres, on a institué le monopole et l'étatisation des assurances, comme c'est le cas en RDC.

Par ces diverses manifestations, on aperçoitl'évolution que l'assurance a subie depuis plusieurs années.

1.2. Définitions

A la base des notions générales d'assurance on trouve des éléments économiques, juridiques et techniques.Ainsi à travers les âges, les économistes, les juristes et les techniciens ont émis diverses théories sur la notion d'assurance selon leurs disciplines.

Dans l'assurance les économistes ont surtout retenu l'idée de besoins (besoin d'assurer son pain quotidien, besoins de se protéger contre les pertes éventuelles,...) pendant que les juristes ont insisté sur l'idée des dommages et sur les prestations incombant à l'assureur et à l'assuré.

Les techniciens quand à eux ont mis en évidence le fait que l'assurance ne peut remplir son but que si elle se manifeste à l'état isolé, c'est-à-dire limité à un seul risque dans le rapport d'un seul assuré et d'un assureur. Le besoin de sécurité total ne peut être satisfait parfaitement que si on recourt à l'aide d'autrui.

Déjà en 1994 Chaufton l'avait souligné en déclarant que « l'assurance est lacompensation des effets du hasard par la mutualité organisée suivant les lois de la statistique ».D'autres technicien tel que le professeur VIVANTE ont mis en valeur l'idée que l'assurance est « un office de réparation dont le rôle est de distribuer les primesrecueillies dans un groupe des nombreux d'assuré entre ceux qui ont subi des sinistres ».

Par essence, l'assurance suppose donc une réunion des personnes qui, pour faire face à un même risque susceptible de les atteindre, décident de contribuer tous aux règlements des sinistres éventuels. Le but de l'assurance ne peut donc être atteint par le regroupement d'une multitude d'assurés au sein d'une même entreprise, au sein d'une même mutualité qu'est l'assureur.

Dans une formule simplifié, on peut donc définir l'assurance comme é étant « une opération par laquelle une partie, l'assuré, se fait promettre moyennant une rémunération, la prime ; une prestation par une autre partie, l'assureur en cas de réalisation d'un risque ». Cette définition met en valeur les rapports qui naissent entre l'assureur et l'assuré, et fait naitre les deux obligations réciproques essentielles, à savoir le paiement de la prime à la charge de l'assuré et la prestation de l'assureur lors de la réalisation du risque.

Reprenant les trois caractéristiques examinés ci avant : économique, juridique et technique -J.HEMARD -a donné une définition plus complète de l'assurance : « Opération par laquelle une partie, l'assuré, se fait promettre, moyennant une rémunération, la prime ou cotisation pour lui ou pour tiers en cas de réalisation d'un risque, une prestation par une autre partie l'assureur, qui prenant en charge un ensemble de risques, les compense conformément aux lois de la statistique ».

Cette définition s'applique aussi bien aux assurances des dommages qu'aux assurances des personnes, aux assurances mutuelles qu'aux assurances à prime fixe et met en valeur les trois éléments essentiels de l'assurance, à savoir le risque, la prime et la prestation de l'assureur.

L'assurance ainsi définit remplit les fonctions diverses tant du point de vue individuel que du point de vue socio-économique.

Sur le plan individuel, au regard du caractère moral de l'assuré, l'assurance est un produit de la vertu de prévoyance. Avec l'assurance, l'assuré prend ses précautions, il songe à l'avenir. L'assurance confère à l'assuré ; la sécurité dont il a besoin en lui apportant confiance dans l'avenir et en le protégeant contre les risques du hasard qui le menacent, lui et son patrimoine.

Du point de vue économique l'assurance permet par l'accumulation des primes, la constitution des capitaux qui présentent un intérêt à la fois pour les assurés et pour l'économie nationale.

Sur le plan social l'assurance empêche un grand nombre de gens de tomber à charge de l'assistance publique en fournissant indirectement des ressources à l'Etat et aux collectivités publiques en vue de la satisfaction des besoins essentielles de la nation.

En dehors des fonctions ci-dessus examinées, il importe de souligner l'importance de l'internationale de l'assurance. En tant que technique, l'assurance repose essentiellement sur l'existence d'une mutualité qui est le regroupement d'une multitude de risques. Les risques étant semblables dans la plus part des pays, l'assurance doit déborder les frontière nationales ; ce qui fait qu'elle n'a pas des limites géographique.

Son rôle international se réalise donc par « réassurance » c'est-à-dire la session par l'assurance qui, tout en demeurant seul responsable vis-à-vis des assurés pour les risques qu'il a accepté de couvrir, cède une partie plus ou moins importantes de ces risques à un réassureur des sortes que les incidents des sinistres nationaux se répercutent en définitive sur l'économie de plusieurs pays ; ce qui constituent un facteur d'équilibre et de stabilité générale pour la mutualité.

L'opération de réassurance apparait alors comme une série d'assurance successive diluant le risque à un degré tel qu'il ne peut plus être la cause d'une charge élevée pour chacun de participant.On distingue la réassurance des sommes qui a pour but de réduire le montant du risque couru par l'assureur direct et la réassurance des dommages fondée sur l'idée du sinistre ; elle a pour but de réduire la charge de l'assureur direct du fait des indemnités versés au bénéficiaires des contrats d'assurance.

1.3. Eléments de l'assurance

Toute assurance repose essentiellement sur trois éléments : le risque, la prime et la prestation de l'assureur.Dans les assurances de dommages, on observe un quatrième, à savoir l'intérêt d'assurance, en effet toute personne ayant un intérêt à la conservation d'une chose peut la faire assurer.

1.3.1. Le risque

Dans le langage courant le risque est synonyme de danger mais en matière d'assurance, le risque constitue un événement incertain, il implique l'idée de l'éventualité. Ainsi dit on que l'assurance repose sur l'aléa c'est-à-dire elle porte sur des faits déterminés qui comporte une incertitude.

Le risque est donc l'élément fondamental de l'assurance ; c'est pour se couvrir contre le risque que l'assuré traite avec l'assureur. Cependant tous les risques ne sont pas assurables ; un risque putatif (celui qui se déjà réaliser au moment de la signature du contrat) n'est pas admis en matière d'assurance ; il s'agit d'une assurance arrière selon le vocabulaire allemand. De même les risques purement potestatifs (dont la réalisation dépend uniquement de la volonté de l'assuré) ne sont pas acceptables. Dans ce cas l'aléa est supprimé car le risque n'existe plus. Il ne peut pas avoir d'assurance pour le sinistres causés intentionnellement car le hasard n'intervient plus c'est-à-dire l'événement échappe à l'incertitude.

Le risque assurable doit être un évènement futur ; et l'évènement en question peut être malheureux (dommage causé par l'incendie,...) ou heureux (cas de l'assurance vie en cas de survie, hospitalisation due à un accouchement, l'assurance dotale faite en vue de doter les enfants,...). La réalisation du risque ou la survenance d'un évènement (heureux ou malheureux) est appelé « sinistre ».

Les risques assurables ne présentent pas tous le même caractère ; selon les cas ils sont constants ou variables, suivant les conditions de probabilité de leur réalisation. Le risque constant est celui dont les chances de réalisation restent les mêmes pendant la durée de l'assurance tandis que le risque variable est celui dont les chances de réalisation augmentent (risque progressif) ou diminue (risque dégressif) au cours de l'assurance.

Hormis son sens d'évènement incertain et indépendant de la volonté des parties, le mot risque indique aussi « la valeur du risque » à assurer c'est-à-dire le degré de probabilité de la survenance de l'événement envisagé (les chances que ce risque à se réaliser). En matière d'assurance de dommages, le risque exprime la valeur actuelle du dommage possible dans une unité de temps déterminé.

La valeur du risque est à la base de la théorie de la prime.

1.3.2. La prime

La prestationpécuniaire du risque pris en charge par l'assureur est appelée « prime » ou « cotisation »selon qu'il s'agit d'une entreprise d'assurance ou d'une mutuelle.

La prime est donc le prix du risque ou de l'assurance.

Les éléments qui entre en compte pour la fixation de la prime ou des tarifs commerciale sont de deux sortes :

D'une part il ya la prime pure ou théorique dont la détermination est d'ordre technique et résulte des données statistiques qui permettent de déterminer les chances de réalisation de risque. En s'appuyant sur les faits passés, les statistiques permettent de dégager, pour l'avenir des lois de survenances c'est-à-dire la probabilité de survenance des sinistres.

Ainsi le calcul de probabilité donne à l'assurance une base scientifique sûre. La prime pure dépend dont essentiellement du risque à courir, elle est fonction de celui-ci.Sa déterminationdépend de la probabilité de survenance de sinistre qui se mesure par le rapport entre les chances favorables et les chances possibles de réalisations du risque. Le taux de la prime pure est aussi influencé par l'intensité de sinistre c'est-à-dire par l'importance de ses conséquence.

D'autre part il y ades chargements qui comprennent les frais d'acquisition des contrats, les frais fixes, les frais de gestion ou d'administration et les taxes ou impôts. Dans le langage des assurances, ces éléments constituent « le chargement ».La prime pure augmentée du chargement devient ainsi la prime chargée ou commercial que l'assuré doit effectivement acquitter.

1.3.3. La prestation de l'assureur

La prestation de l'assureur intervient lors de la réalisation du risque c'est-à-dire à la survenance du sinistre. C'est cette contrepartie de l'obligation de l'assuré, à savoir la prime que consiste essentiellement au décaissement d'une somme d'argent de l'assureur pour couvrir le besoin contre lequel l'assuré a voulu se garantir.

En assurance de dommage ou de choses, cette prestation est appelé« indemnité » tandis qu'en assurance de personnes ou des capitaux elle est appelée « bénéfice ». En assurance de dommages la mesure de la prestation de l'assureur est fonction de la valeur du risque et du dommage subi par l'assuré lors du sinistre ; tandis que dans les assurances des personnes, c'est la somme assurée qui seul détermine la mesure de l'obligation de l'assureur.

L'assureur promet toujours un capital en fonction de la prime qu'il reçoit. Ici, c'est donc le contrat seul qui détermine l'étendue de la prestation de l'assureur, les sommes assurées étant librement et définitivement fixées par la police. Parfois, pour faire obstacle à toute fraude ou estimation exagérée du dommage dans certain assurance de dommage,

l'assureur se réserve la faculté de réparer en nature au lieu de verser une somme d'argent.

1.3.4. Le contrat d'assurance

Le contrat d'assurance intervient entre l'assureur et le souscripteur. Ces deux personnes qui signent les contrats constituent « les parties contractantes ». L'assuré souscripteur est celui dont les biens ou la personne sont exposés au risque. Le contrat d'assurance s'établit pratiquement par un document écrit appelé la « police » ou à défaut, surtout de façon provisoire une « note de couverture ». La police est donc l'acte qui constate le contrat d'assurance.

En principe le contrat d'assurance produit un effet immédiat  c'est-à-dire sa prise d'effet coïncide avec sa conclusion ; ce qui fait que tous sinistre postérieur à ce moment est automatiquement garantie. La police d'assurance comprend les parties suivantes :

1) Une proposition d'assurance : qui renseigne sur la nature et l'objet du risque à assurer (chose oupersonne) et sur les identités des parties contractantes (nom, adresse et profession de l'assuré, raison social de l'assureur). Une protection d'assurance doit obligatoirement être signée par l'assureur et l'assuré.

Un exemplaire des conditions générales : c'est l'ensemble des règles applicables à tout le monde pour une branche d'assurance donnée. Les conditions générales définissent en grandes lignes :

L'objet de l'assurance, les risques garantis, les risques exclus, les modalités de paiement de la prime et ce qu'il faut faire en cas de sinistre.

2) Un exemplaire des conditions particulières : c'est-à-dire l'ensemble des règles relatives à un assuré particulier. Souvent elles complètent ou dérogent les conditions générales aux moyens des clauses particulières. Outre l'identité complète de l'assuré, elles définissent la durée de l'assurance appelée « échéance », les limites de la garantie, le décompte de la prime, les clauses particulières s'il ya. S'il s'agit d'une police d'assurance sur la vie et sur la santé, il faut indiquer la date de naissance de celui sur la tête de qui repose l'opération.

3) Le reçu : qui acte le paiement de la prime.

4) Un ou plusieurs avenants : qui indiquent les diverses modifications intervenues au cours de la gestion de la police.

Hormis le reçu, tous les documents doivent être conjointement signés par l'assureur et l'assuré.

1.4. Classification des assurances

Les assurances sont classifiées d'après la forme des entreprises d'assurance et d'après leur objet.

1.4.1. D'après la forme 

D'après la forme, on divise les organismes d'assurance en « mutuelles » et en « compagnies à primes fixes ».

1.4.1.1. Les mutuelles

Elles constituent les assurances fondées sur la solidarité des assurés sans que l'organisme assureur cherche à réaliser des bénéfices. Elles ont une nature essentiellement civile parce qu'elles ne sont pas fondées sur l'intention de lucre. Du point de vue de leur fonctionnement, les mutualités sont simplement immunisées contre un danger commun en dehors de toutes idées de spéculation et sont en même temps leur propre assureur ; les mutualités par l'organe de la mutuelle ; répondent en définitive de perte éventuelles résultant des risques couverts et la cotisation leur réclamée varie suivant la gravité du risque à couvrir.

Néanmoins, ladite cotisation est limitée, dans la pratique, à un maximum déterminé, c'est ce qui entraine la relativité de la responsabilité dans la mutuelle. S'il ya insuffisance des sommes exigibles, versées ou à verser par les mutualités, il ne sera accordée qu'une identité partielle, en cas de sinistre. Il importe de signaler que le mutuelles ne recourent pas aux services des courtiers et agents d'assurance ; elles payent donc rarement les commissions d'usage.

1.4.1.2. Les assurances à prime fixe

Ces assurances sont fondées sur le but de lucre ; elles sont toujours pratiquées par des sociétés commerciales (société par action, plus exactement anonyme). Sur le plan fonctionnel, les assurés n'ont aucun point de contact entre eux comme dans les mutuelles ; il n'existe que de lien des droits entre chaque assuré et son assureur. Dans l'assurance à prime fixes, il ya invariabilité de la prestation des assurés et la responsabilité de l'assureur est toujours entière.

Des nos jours ces deux formes d'assurance ont réagit l'une sur l'autre et se sont interpénétrées ; ce qui a diminué de plus en plus l'opposition entre les deux.Certaines sociétés d'assurance mutuelles acceptent déjà des contrats d'assurance à primes fixes.Aussi, dans certaine branche de l'assurance à prime fixes, surtout dans l'assurance-vie, les assurés participent dans une certaine mesure, aux bénéfices de la société.

Toujours d'après la forme de l'organisme d'assurances, on distingue également les assurances publiques des assurances privées et des assurances sociales.

L'assurance publique est exploitée par le pouvoir public ou par un établissement public (dans ce cas l'état joue le rôle de l'assureur). Tandis que les assurances privées poursuivent un but de réparation d'un préjudice causé à l'assuré.

Ces assurances n'existe dont qu'à l'échelon individuel dans ce sens qu'elles ne tendent qu'à assurer la sécurité individuelle des assurés et non une sécurité collective. Elles sont obligatoires, c'est le cas des accidents des travaux, assurance de responsabilité civile automobile...

Par contre les assurances sociales intéressent des groupes sociaux entiers sans tenir compte des individus ; elles sont libres ou partiellement libres. Par exemple, les assurances maladie, assurances invalidité, assurance vieillesse et décès prématuré, allocation familiale, assurance chômage (ici il ya assurance et assistance mélangées),...

Les assurances sociales se caractérisent par l'absence de but de lucre des organismes assureurs, l'absence des sélections de risques d'où l'importance de la prévention et par leur caractère de service public, d'où le contrôle de l'Etat. Aussi faut-il souligner le recours à d'autres (contribuables) pour compléter les cotisations des assurés.

1.4.2. Suivant leur objet

Suivant leur objet veut dire suivant les risques qu'elles courent, on distingue les assurances des dommages ou de chose et les assurances des personnes ou des capitaux suivant qu'elles portent sur une chose ou une personne.

1.4.2.1. Les assurances des dommages

Elles sont également appelées assurances d'intérêt ou assurance-indemnités. Elles garantissent l'assuré contre les conséquences d'un évènement pouvant causer un dommage à son patrimoine. Elles sont indemnitaires c'est-à-dire elles réparent les préjudices patrimoniaux produits par un sinistre.

Les assurances de dommages se subdivisent en assurances des choses et en assurances de responsabilité

a) les assurances des choses : elles ont pour but d'indemnisé l'assuré de pertes matérielles qu'il subit directement dans son patrimoine lors de la survenance du sinistre. Exemple : l'assurance contre l'incendie, l'assurance contre le vol, l'assurance contre la grêle, contre la mortalité de bétails.

Les sinistres en cas d'assurance des choses met en présence deux personnes, l'assuré et l'assureur

b) les assurances des responsabilités garantissent l'assuré contre les préjudices qu'il cause aux tiers et qui engagent sa responsabilité. On les qualifie d'assurance des dettes. Le sinistre en cas d'assurance de responsabilité met en présence trois personnes : les tiers lésé ou la victime, l'assuré et l'assureur.

Ex. Assurance responsabilité civile incendie (risque locatif ou recours des voisins), assurance R.C automobile, assurance R.C professionnelle, assurance R.C travaux...

Les assurances transports couvrant les risquent inhérent aux transports maritimes, fluviaux, terrestres et aériens appartiennent aussi à la catégorie des assurances de dommages. Les contrats y relatifs sont indemnitaires.

1.4.2.2. L'assurance des personnes ou des capitaux

Cette assurance englobe toutes les assurances qui visent l'assuré dans sa personne, quant à son existence, à sa santé ou à l'intégrité de son corps. C'est donc la personne même de l'assuré qui est prise en considération.Les assurances des personnes, à la différence des assurances de dommage, ne présentent pas un caractère indemnitaire ; elles n'ont pas pour but de réparer les préjudices.

Lors de l'arrivé des l'évènement envisagé, l'assureur exécute intégralement et sans réserve les prestations promises au moment de la conclusion du contrat.

En assurance des personnes ou des capitaux, on distingue les assurances contre les accidents et les assurances sur la vie

a. Les assurances contre les accidents

Les assurances de personne du domaine des assureurs accidents comprennent les assurances contre les conséquences d'accidents corporels et les assurances garantissant les conséquences des maladies. Ces assurances prévoient deux natures de garanties :

- Le versement d'indemnité en cas d'interruption de l'activité de l'assuré due à une circonstance prévue par le contrat.

- Le remboursement des frais entrainés par un accident ou par une maladie, suivant l'objet du contrat.

Techniquement les assureurs accidents considèrent que leurs assurances de personnes constituent des assurances de réparation au contraire des assurances vie dont les techniques reposent sur la tables de mortalité qui permet de calculer les probabilités viagères c'est-à-dire la probabilité de vie ou de décès.

A la société nationale d'assurance, l'assurance contre les maladies n'est pas encore exploitée, jusqu'à ce jour, seules les assurances contre les accidents corporels sont pratiquées par la « direction des accidents et risques divers ».

Ces assurances garantissent aux assurés à titre principal, des sommes déterminées en cas d'accidents corporels entrainant des conséquences prévues par les contrats et à titre accessoire les remboursements des frais médicaux, pharmaceutiques, chirurgicaux... qu'ils ont engagés à la suite des accidents.

b. L'assurance individuelle ou individuel accident

Elle garantit le paiement d'indemnité à la personne assurée ou aux bénéficiaires désignés s'il lui arrive un accident corporel, soit dans l'exercice de sa profession, soit au cours de sa vie privée.

c. Collective accidents

Si l'assurance contre les accidents corporels, au lieu de couvrir le risque d'accident pour un seul individu, garantit un ensemble d'individus, elle porte alors le nom d'assurance collective ou cumulative. Cette assurance est généralement souscrite par les entreprises au profit de tout ou partie de leur personnel.

d. Assurance accident de travail

Elle couvre l'assuré contre l'accident pouvant survenir sur le lieu de travail ou encore sur le trajet aller retour du domicile au lieu de travail.

e. Assurance accident occupant auto

Cette assurance a pour but de garantir le paiement des indemnités convenu à l'assuré à la suite d'un accident corporel dont il pourrait être victime soit quand il est transporté dans un véhicule, soit quand il y monte ou quand il y descend.

f. Assurance accident voyage

Cette assurance a pour but de garantir à l'assuré le paiement des indemnités convenues au cas ou il pourrait être victime d'accidents corporels au cours du voyage par tous le moyen régulier de transport public ou privé ainsi qu'au cours des séjours consécutifs à ces voyages.

Les assurances ci-dessus énumérées garantissent le mêmes risques à savoir le décès, l'invalidé ou l'infirmité permanente totale, l'incapacité temporaire et les frais médicaux et produits pharmaceutiques.

Les polices pour éviter dans la mesure du possible les difficultés, comportent généralement une liste importante d'exclusions. Certains risque sont exclus d'une manière générale et ne peuvent faire l'objet de couverture par clause particulière ; d'autres, au contraire, peuvent être couverts moyennant stipulations aux conditions particulière et sur primes.

Chapitre2 : Etude du système d'assurance maladie (cas de la France)

Introduction

Dans cette partie nous parlerons de l'assurance maladie en regard de l'organisation, administrative et du système d'offre de soins en France, dans le but d'appréhender de façon claire la problématique de la dépense, du financement et de l'organisation selon les couches sociaux.

Contrairement aux autres sortes d'assurances des personnes, l'assurance maladie n'est pas que le produits des ordonnances mais de mouvement de la population selon les classes qui ont senti la nécessité des cogestions des dispositifs médicaux entre partenaires sociaux afin de partager le frais dû à ce soins qui ne sont pas toujours à leur porté.

Mais néanmoins l'assurance maladie ne doit pas être confondue avec la sécurité sociale au sens large dont elle n'est qu'un des aspects, comme son nom l'indique.Entre protégé et soigné contre une affection de longue durée, comme le cancer ou l'hypertension, peut sans doute relever de la logique sociale. Reste que de telles maladie frappent quelques soient les proportions, parmi toutes les couches de la population ; elles appellent donc une couverture pour tous et une « gestion du risque » au sens assurantiel du terme.

Cette gestion du risque va servir à calculer les cotisations que chaque assuré devra payer d'une manière aussi précise que possible afin d'éviter les prélèvements inutiles sur la richesse des entreprises pour les travailleurs et sur les revenus des citoyens afin de ne pas accroitre ce que les économistes appellent « les effets d'éviction ».

2.1. L'assurance maladie produit d'une lente évolution

Comme vous allez le remarquer dans les lignes qui suivent, l'assurance maladie à mis beaucoup de temps pour se constituer en système vraiment organisé.Deux processus qui constituent les prémisses de l'assurance maladie vont aller en parallèle.

D'un coté un souci d'auto organisation avec le principe mutualiste appuyé sur les sociétés de secours et d'entraide, et de l'autre coté un souci de l'état de prévenir les désordres sociaux et donc de confier à des collectivités publiques étroitement contrôlées par lui le soin de remédier aux situations les plus pénibles.

Il importe de souligner qu'à la base, l'assurance maladie aura été conçue comme intrinsèquement relié au monde du travail. C'est celui qui travail qui est aussi assuré contre les risques d'une maladie. Le travailleur est assuré non seulement pour les soins qu'il peut recevoir, mais aussi pour obtenir un revenu de remplacement au travail qu'il peut accomplir si la maladie le frappe. On remarque que l'assurance maladie oscille entre la protection sociale qui s'adresse au travailleur d'une part, et les notions assurantielles relié au monde de l'emploi d'autre part.

Il s'agit alors d'un mélange subtil entre solidarité social consentie entre membres d'un groupe et aussi risque d'assurance pour la maladie ou pour une pension pour les vieux travailleurs. A ce temps là, l'entraide était toujours temporaire et n'offrait pas de service à long terme. Ce qui explique facilement la faiblesse des cotisations.

Ces sociétés de secours mutuelles dont l'objectif est de venir en aide aux travailleurs malades, aux enfants et aux veuves illustrent parfaitement le besoin humain de prévoyance et de sécurité.Il en est un fait que ces sociétés mutualistes sont bien la matrice qui va produire plus tard la généralisation de la sécurité sociale plus précisément dans sa composante d'assurance maladie.

Les dirigeants de la troisième république française comprennent l'intérêt d'un dispositif d'aide aux malades qui ne peuvent subvenir au coût des soins ainsi que la grande détresse et la misère de certaines couches de la population abandonnées à elles mêmes, d'où ils ont eu le choix de confier ces charges à des collectivité publiques sur lesquelles l'Etat pourra exercer son étroit contrôle.

C'est ainsi que l'on confie au département via la loi du 10 Aout 1893 les soins d'organiser un dispositif médical pour le plus démunis ; avec ce texte, on glisse de la notion d'assurance sociale à celle de la protection social, avec la mise en place d'un filet protecteur pour les plus démunis sans aucun lien précis avec le travail.

Sur la pression de secours mutuel, le parlement vote une loi le 1 avril 1898 autorisant les sociétés à fonder de dispositifs permanent en tous domaines de prise en charge social (retraite, assurance vie, assurance décès et accident).

Quelques jours plus tard la loi du 9 avril 1893 sur les accidents de travail instaure un principe d'assurance obligatoire. Ce mouvement se complète d'une loi du 5 avril 1910 qui institue un régime d'assurance vieillesse lui aussi obligatoire.Pour les lois du 5 avril 1928 et du 30 avril 1930, le parlement aboutit à un dispositif global d'assurance obligatoire. Ce système couvre les risques décès, invalidité, maternité, maladie et vieillesse.

Reste que ce dispositif est limité par un système de plafond de cotisation : on ne cotise de façon obligatoire que pour un plafond de revenu. En 1930, on crée une loi qui corrigent pour partie celle de 1928, crée des exceptions qui limitent le caractère universel en divisant les populations couvertes (agriculteurs, mécanicien, enseignant, tailleurs,...).Ce qui importe de remarquer à ce stade, c'est que la notion d'assurance maladie n'est pas les moteurs des progrès sociaux d'avant guerre. Le système hospitalier est largement dans les mains de logiques caritatives ou des religieux prennent souvent une part prédominante. La médecine de pointe est souvent hors des murs des hôpitaux et les médecins de ces structures ont la possibilité de percevoir directement leurs honoraires sous une forme libérale alors qu'ils sont dans cette situation des soins pour des assurés solvabilisé à 10% par l'argent quasi public.

Bref l'assurance maladie se constitue par couches et strates en empilage, sans rarement faire le ménage avec les structures existantes redondantes. Les besoins de l'universalité est certes ressenti, mais prédomine le souci de préserver des logiques d'adhésions volontaires plus proches des choix corporatives.

2.2. Reforme de 1945 et ses prolongements

En 1945 a été mise au point un processus de généralisation traçant une voie qui se définit dans 2 textes principaux.

1) En octobre 1945, on crée un réseau coordonné de caisses locales centrées sur plusieurs organismes. Parmi ces organismes nous avons le salariat qui dépasse à peine 30% de la population, les petits commerçants, les artisans ruraux, les agriculteurs auxquels s'ajoutent les professions libérales. Tout étant des métiers qui entrainent une forte suspicion contre le salariat et n'entendent pas être mélangés avec lui. ce réseau coordonné constitue « le régime général ».

2) Il y aussi des « régimes spéciaux » constitué de fonctionnaire, des marins, des mineurs et des cheminots qui vont refuser de joindre le régime général. Ils veulent tous gérer dans leur autonomie propre et avec leur propre niveau de prestation. Ils conservent donc un cadre dit « provisoire »

3) En mai 1946, on notera toute fois à ce stade le refus de généralisation des assurances sociales par le travailleur non agricoles et non salariés, appelés les « non-non ».

En partant de là, on doit constater un refus d'assurance maladie unique de ces professions qui veulent dans toute la mesure du possible s'organiser par métiers.S'agissant plus généralement de généralisation, celle-ci va s'accomplir de façon progressive par des fusions/absorptions des petites caisses souvent organisées par métiers et possédant des régimes de prestations spécifiques. Ceci a été occasionné par les évolutions démographiques et des transformations économiques qui sont défavorable à ces petites caisses.

La généralisation possède cependant des avantages et des inconvénients, les fusions ont pour avantages de « solvabiliser » collectivement les régimes en question tout en échangeant cela par une perte de pouvoir autonome et une harmonisation des régimes de prestations.

Cependant, ce mouvement génère une répartition nouvelle des charges qui n'est pas forcement très équitable, car le salarié du régime général peut ressentir l'impression de servir de bouée de secours à des systèmes en perdition.

C'est pourquoi en 1945, une loi va étendre l'assurance maladie général obligatoire au salariat, lesquels appuyés sur des puissantes mutuelles, ne veulent pas de rattachement au régimes général et pas d'harmonisation de leur régime de prestation. Tandis que les fonctionnaires de régimes spéciaux sont farouchement attachés en général à leurs systèmes de prestations qui possèdent des spécificités plus centrés sur les questions de retraite ou des prestations familiales complémentaire à l'assurance maladie qui est presque identique pour les différents régimes.

Ensuite en 1961, le régime d'assurance maladie obligatoire sera imposé aux exploitants agricoles, qui initialement pouvaient cotiser sur une base volontaire mais pas obligatoire.

Enfin la généralisation dans le sens de l'universalité de l'assurance maladie est en principe accomplie par la loi de 28 juillet 1999 sur la « couverture médicale universelle »(CMU).

2.3. Généralisation effective de l'assurance maladie

La CMU est tout d'abord un transfert au plan de principe de la protection sociale classique vers l'assurance maladie proprement dite. On dépasse donc la loi de la protection sociale qui supposer que les personnes avaient les moyens de s'assurer effectivement (salariat, commerçant,...) car on vise évidemment la population la plus démunie qui ne dispose pas des moyens.

Ce nouveau dispositif CMU prévoit non seulement d'affiler obligatoirement les populations concernées à un régime de base d'assurance maladie, mais il prévoit aussi et c'est là sa novation, d'accorder le bénéfice d'une protection complémentaire afin que soit pris en charge celle de prestations que le régime de base ne prend pas en compte.

C'est notamment les cas du forfait hospitalier (sorte de taxe hôtelière non relié aux soins de l'hôpital et qui s'applique aux malades hospitalisés lors de leurs soins).Pour être ayant droit de ce dispositif les personnes sont bien évidemment soumises à un plafond de ressources. Pour compléter le dispositif en ce qui concerne la protection sociale complémentaire au delà des prestations de régime de base, on notera qu'en 2004, on a instauré un crédit d'impôt destiné à aider les personnes qui dépassent le seuil d'admission à la CMU de moins de 15% à prendre une assurance à complémentaire, afin de limiter ce qu'on appelle les « effets de seuils ».

Avec ce système la notion de protection sociale n'a donc pas disparu avec la CMU et le principe « assurantiel » est renforcé.

2.4. Structure de l'assurance maladie en France

L'assurance maladie est subdivisée en 3 grands régimes :

- Le régime général qui possède une trésorerie qui s'appelle « caisse nationale d'assurance des travailleurs salariés »

- Le régime agricole ou la mutualité sociale agricole ;

- Les régimes des indépendants (RSI) regroupant les commerçants, les artisans et les professions libérales.

Chacune de ces structures dispose d'instances locales réparties selon leurs spécificités propres sur le territoire ; ces caisses se finance principalement par les cotisations et l'impôt. Dès lors, nous observons que tout citoyen français est affilé obligatoirement à un régime de sécurité social. S'il est malade, il touchera un revenu de remplacement partiel ou total ; obtiendra un remboursement partiel ou total des frais qu'il expose au titre des soins médicaux ; remboursement qui pourra être complet s'il est en affection de longue durée ou mutualiste, si son assurance privée couvre ce risque complémentaire ou s'il est couvert par la CMU.

C'est ce dispositif dense et très complet qui est considéré par l'OMS depuis l'année 2000 comme l'une des meilleurs systèmes de santé au monde.

2.5. Problématique de la dépense de l'assurance maladie

Beaucoup des gens surtout dans le pays développer comme la France, l'Allemagne, semblent résignés et estimeraient presque qu'ils n'ont jamais connu d'assurance maladie en déficit. Pourtant l'assurance maladie a toujours rimé avec déficit, même minime qu'il soit dans certains pays.

Les montants des recettes générées par les assurances maladie sont si importants que le déficit ne signifie pas grand-chose pour la population.Ces dépenses sont condamnées à progresser pour 3 raisons essentielles sur lesquelles il n'est pas possible d'influer drastiquement.

- Tout d'abord la population vieillissante est si importante, malgré une forte natalité, c'est qui conduit à la prise en charge des personnes âgées qui peut coûter chère s'il elle est indiqué dans le régime de prestation. Ceci est surtout valable pour le pays en développement.

- Le durcissement des normes de fonctionnement des établissements sanitaire et mêmes des cabinets de médecins libéraux, notamment le spécialiste.

- Enfin, les évolutions technologiques sont par nature onéreuses, et le principe d'égalité d'accès aux soins nécessite de les généraliser à tous les malades.

Il convient ici d'ajouter que l'universalité d'accès au système de santé à augmenté le nombre de bénéficiaire du système de santé, et donc les dépenses. C'est donc la conjoncture économique qui détermine le rythme des recettes. Cependant dans le cas de notre pays la RD Congo, la première raison n'est pas valable car l'espérance de vie de la population congolaise est faible du faite que les personnes ne vivent pas assez longtemps, et de plus le taux de natalité est élevé.

La deuxième raison contribuera à l'amélioration des normes de fonctionnement car l'assuré exigera de l'Etat ou de l'assureur des normes de sécurité sanitaire plus strictes.

La troisième raison n'est pas à prendre en compte car la recherche scientifique dans le domaine de la médecine est presque inexistante.

2.6. Financement de l'assurance maladie

Le fondateur de la sécurité sociale française a imaginé un système de financement par des cotisations sociales, en évitant de faire appel au budget de l'état.S'agissant de l'aspect recettes, Pierre Laroque a évoqué 2 raisons pour ce choix de la logique assurantielle du type Bismarck en Allemagne et, non de solidarité national du type Beveridge au Royaume Uni :

- Il ne fallait pas subordonner le niveau de prestations de l'assurance maladie aux logiques financière du budget de l'Etat : risque de paupérisation.

- L'assurance maladie devrait être alimentée par ses bénéficiaires, donc fondée sur une logique de cotisation basée sur les salaires. Il s'agissait bien d'une assurance de revenu professionnel, ainsi la création ou le maintien de plusieurs régimes assis sur l'appartenance à un métier a renforcé cette logique professionnelle.

Aujourd'hui 90% à peu près des prestations versées par l'assurance maladie n'ont plus aucun caractère professionnel grâce au caractère obligatoire actuel de cet assurance, d'où « la fiscalisation du financement de l'assurance ».

Il faudra alors trouver un bon équilibre entre la croissance de la richesse national (PIB : produit intérieur brut), notamment la masse salariale et celle des dépenses de santé remboursées.

Par ce qui précède nous voyons que l'assurance maladie n'est pas une véritable assurance car

- les cotisations sont calculées en fonction des revenus alors que les prestations sont remboursées en fonctions des besoins, alors que les organismes complémentaires de santé sont clairement positionnés dans la logique assurantielle de provision de risque.

- Les recettes et les dépenses de santé n'évoluent pas selon les mêmes facteurs, d'une part la richesse nationale (salaire et patrimoine) pour les recettes, d'autre part le vieillissement de la population et l'amélioration de norme de fonctionnement des établissements sanitaires.

2.6.1. Source de financement de l'assurance maladie

L'Etat a créé la contribution sociale généralisée (CSG) en 1998 et la contribution au remboursement de la dette social (CRDS) qui s'apparente tous à des impôts. Progressivement, des taxes ont été rajoutées aux recettes des cotisations, et l'assuré doit aussi financer le système par les « reste-à-charge ».

a. Les cotisations et CSG

Les cotisations et impôts de sécurité sociale sont calculés selon 2 variables : l'assiette et les taux, qui peuvent être différents s'il s'agit de cotisations patronales ou salariales.

Ces cotisations sociales (CSG et CRDS) sont prélevées à la source sur les salaires, ainsi que sur d'autres revenus tels que les revenus d'activités (contribution patronale de retraite), le revenu de remplacement, de patrimoine et de placement ; ceci permet d'améliorer le taux de recouvrement.

L'élargissement de l'assiette était nécessaire du fait de l'augmentation du chômage et du champ de prestation ; il fallait ainsi trouver un moyen de rapprocher l'évolution de recettes et celle du PIB car le salaire seul n'étant pas pertinent.

b. Les taxes

L'Etat a mis en place des taxes spéciales pour l'assurance maladie, sont mis à contribution les laboratoires pharmaceutiques, le conduite à risque, la consommation du tabac et de l'alcool et même des primes d'assurances automobiles.

c. Les restes à charges

Dans cette rubrique, on trouve un dispositif particulier de recettes pour l'assurance maladie : le recours contre tiers. Il s'agit pour l'assurance de récupérer, les sommes payées par les caisses pour les soins : remboursement au fumeur qui a développé « volontairement un cancer de poumon », remboursement du malade qui a détruit volontairement sa peau ou ses yeux, automobiliste qui a adopter volontairement une conduite dangereuse.

2.6.2. Impacte de l'assurance maladie sur le chômage et la régulation économique

La sécurité sociale dont l'assurance maladie est composante, a été dévoyée du fait de prélèvement social dans le PIB. En France par exemple, le prélèvement de la sécurité social sur le PIB est de 22% donc plus de 60% est affecté à l'assurance maladie.

Les sommes en jeux entrainent de ce fait la nécessité pour l'Etat d'étudier les effets de ce prélèvement sur l'économie et l'emploi.

Certains économiste juge que la sécurité sociale est bonne pour l'économie, car elle permet de relancer l'économie, étant créatrice d'emploi. Par ailleurs, elle améliore la productivité du travailleur et contribue à attirer une main d'oeuvre étrangère qualifiée.

Les charges sur les bas salaires ont connu une très forte diminution depuis 1993. Le taux de charge est de 2,1% pour le SMIG (Salaire minimum interprofessionnel garantie) mais de 28,1% pour ces des employés gagnant plus de 1.6 fois le SMIG. Cette politique a rendu les cotisations patronales fortement progressives.

Donc comme nous le constatons, ceux qui gagnent plus paie pour le plus démunie, afin de couvrir les dépenses supplémentaires.

Chapitre3 : Etude du modèle d'assurance maladie par l'approche

stochastique

3.1. Généralités

Dans cette partie, le terme d'assurance hospitalisation fera référence à l'assurance maladie car l'hospitalisation ne concerne pas seulement l'internement mais tous le frais post hospitalisation (fiche, consultation, labo), les frais pré-hospitalisation (achat médicament, suivie de soins) ainsi que certains services énoncés clairement dans la police de manière claire et distincte.

Au cours de la vie d'un être humain celui-ci ne peut pas échapper à l'attaque de son intégrité physique suite à une maladie ou un accident. La situation la plus difficile à prendre à charge est surtout l'internement car, c'est à ce niveau que beaucoup d'individu peuvent perdre leur vie ou demeurer dans un état d'invalidité fautes des moyens et de prise en charge non approprié.

La maladie peut également induire une perte importante du patrimoine de la personne malade en cas d'affection de longue durée, même pour les personnes possédant un niveau de revenu considérable.

Les frais se référant à la prise en charge de l'individu qui a subit le sinistre sont généralement élevés ; outre les frais de paiement des médicaments choisir un hôpital approprié, un médecin spécialiste, opter pour une chambre individuelle peut augmenter la note finale de manière importante.

En effet l'assurance hospitalisation ne concerne pas seulement l'achat des médicaments et l'internement de l'assuré mais contient plusieurs services énoncés dans la police de manière claire et distincte.

Prenons l'exemple d'une police d'assurance proposée en Belgique et en France, en cas d'hospitalisation l'assurance s'engage de prendre en charge les services suivants :

- Les frais de séjour dans une institution hospitalière ;

- Les frais de prestations médicales et chirurgicales ;

- Le frais pré et post-hospitaliers et les frais engendrés par une maladie grave ;

- Les frais de prestations paramédicales : infirmière, kinésithérapie,

- Les frais des médicaments et adjuvants médicaux,

- Les frais de membres artificiel et prothèses médicales,

- Les frais de transport par ambulance,

- Les frais de séjour et de logement d'un parent pour un enfant hospitalisé.

En France par exemple les indemnités sont versées dès le premier jour d'hospitalisation, en cas d'accident ; et ils sont versés qu'à partir du huitième jour d'hospitalisation en cas de maladie.

3.2. Caractéristiques supplémentaires des produits d'hospitalisations

- Tout d'abord, les assurées ont souvent la possibilité d'opter pour différents niveaux de franchise annuelle,

- L'accouchement n'est plus souvent couvert que pour autant qu'il survienne plus de 9 mois après la souscription de la police, pour des raisons évidentes d'anti sélection.

- Le montant de la prime dépend de l'âge et du sexe de l'assuré. Les femmes paient une prime  plus élevée par rapport aux hommes principalement à cause des grossesses. La prime est souvent constante durant toute la durée du contrat. Cependant la garantie n'est souvent proposée que jusqu'à un certain âge (70 ans).

- Enfin, après quelques années (généralement 2) seul l'assuré a la faculté de résilier annuellement la police. L'assureur ne peut pas résilier le contrat.

3.3. Approche utilisés

Comme nous l'avons dit dans le canevas, nous nous proposons de modéliser une police d'assurance hospitalisation à l'aide d'un processus en temps continu prenant ses valeurs dans 3 états. Les 3 états sont les suivants :

Pour les hommes :

- Actif

- Hospitalisé suite à une maladie ou un accident

Pour les femmes :

- Actif,

- Hospitalisé suite à une grossesse,

- Hospitalisé pour une autre cause que la grossesse (accident, maladie)

La finalité de cette approche est d'évaluer les valeurs des primes nivelées et les montants des provisions.

Généralement, en assurance non vie on utilise l'approche « fréquence/coûts » dans laquelle la charge totale annuelle de ministre relative à un assuré serait modélisé de la manière suivante :

(3.1)

Où N:nombre d'hospitalisation au cours de l'année ;

C_k : le coût de chaque hospitalisation par an

Dans ce modèle les couts sont indépendants entre eux et indépendants du nombre d'hospitalisation.Il existe cependant des particularités importantes qui rendent le modèle (3.1) peu adéquate :

- Le coût d'une hospitalisation est très lié à sa durée. Le nombre d'hospitalisation en un an étant fonction de la durée d'hospitalisation ainsi l'hypothèse de l'indépendance entre fréquence et coût semble peu réaliste.

- La modélisation (3.1) pour tous les âges est dangereuse dans la mesure où le risque d'hospitalisation augmente généralement au cours du temps. Pour cela l'assureur doit provisionner une partie des premières primes pour faire face aux charges futures.

L'utilisation des processus stochastique est beaucoup plus appropriée.

3.4. Modélisation

Pour autant qu'on ne différencie pas les causes d'entrée en hospitalisation et que l'on néglige l'éventualité d'un décès, l'assurance hospitalisation se traite de la manière suivante.

Pour les hommes

Ce type de police peut être modélisé à l'aide d'un processus évoluant dans deux états : e_o= « non hospitalisé  ou actif » et e₁= « hospitalisé »

Hospitalisé

Actif

Fig.3.1. modèles à deux états décrivant les polices d'assurance hospitalisations pour les hommes

Pour les femmes

Pour les femmes cependant, il est intéressant de faire apparaitre explicitement un troisième état, correspondant à une hospitalisation suite à un accouchement (on tient compte du délai de carence pour les hospitalisations liées aux grossesses couvert qu'après 5 mois). Ceci peut être modélisé à l'aide de 3 états, e₀= « active ou non hospitalisé », e₁= « hospitalisé » mais pas suite à une grossesse.

Hospitalisé (sauf grossesse)

Active

Hospitalisé suite à une grosse)

Fig.3.2. modèles à 3 états décrivant les polices d'assurances hospitalisation pour les femmes

Nous remarquons que les états des transitions des hommes sont inclus dans ceux des femmes, c'est pourquoi dans la plupart des ouvrages traitant des assurances hospitalisation, on s'intéresse aux polices d'assurances hospitalisation couvrant les femmes. C'est pour cette raison que nous allons traiter les polices d'assurance hospitalisation couvrant les femmes.

3.5. Interprétation mathématique des modèles

Au cours du contrat d'assurance, on ne peut pas prédire avec exactitude quand est ce que l'assuré sera malade ou en état de grossesse mais on sait au moins qu'il passera par ces états pendant une certaine période.

Il s'agit donc d'une expérience aléatoire car on ne peut pas prédire avec exactitude les résultats mais on connait à priori tous les résultats possibles (active, hospitalisé, grossesse). On peut dire que l'assurance constitue une expérience aléatoire que l'on peut nommer par î, dans laquelle les états « active », « hospitalisé », « grossesse » constituent les éventualités.

Si on note par ? l'ensemble des éventualités alors nous aurons, ?= {active, hospitalisé, grossesse}.

Comme nous avons un espace d'éventualités ? relatif à une expérience aléatoire î on peut définir une ó Algèbre ou une tribu á sur ?.La tribu á sur ? est un ensemble probabilisable ? (?, á) est un espace probabilisable.

Comme on ne peut pas connaître avec exactitude la survenance des états « active », « hospitalisé », grossesse » on leurs associe une mesure de probabilité, nous aurons alors un espace (?, á, P) qui est l'espace probabilisé.

On remarque alors que l'on peut définir une application

X : ??R, ù?x tel que

i) X(?)={x/ ((existe ù ° ?)/x=X(ù)) est fini et dénombrable

ii) pout tout x ° R, X^-1({x}) ° á

Ceci revient à attribuer une valeur numérique à chaque résultat possible d'une épreuve aléatoire.Donc on peut conclure que les différents états de l'assuré sont des variables aléatoires.

Au cours de la durée de la police, un assuré passe par plusieurs état schématiser par la survenance ou non d'un sinistre (grossesse, hospitalisation).

On remarque que chaque événement se produit à un temps quelconque, si X est l'événement X(t) est cet événement au temps t. on peut représenter l'espace des états d'une police quelconque ou pour tout instant t, X(t) donne l'état ou se trouve l'individu à ce moment.

{X(t), t ° T c R⁺}, constitue une famille des variables aléatoire X(t), t°T cR⁺, définie sur un même espace probabilisé (?, á, P) et dépendantes du temps t°T. Cette famille de {X(t), t ° T c R⁺} constitue un processus stochastique (aléatoire) ou :

T : est l'espace des instants

X(t) est une réalisation du processus stochastique dans les différents états (« active », »hospitalisation », « grossesse »)

C'est pourquoi on introduit également un processus stochastique {D_t, t=0} décrivant les durées d'occupation du processus X dans les états e_0, e_1, e₂.De manière plus formelle D_t=max {z=t/ X_t=X_t-h pour tout 0=h=z}

Formellement l'origine du temps t=0 correspond à la conclusion du contrat.

On suppose que la police est émise lorsque l'assurée est dans l'état e0, alors qu'elle est agée de x années, des sorte que x₀=e₀.ì

L'événement « X_t=e₀,D_t=z » signifie que l'assurée est active à l'âge x+t et que la fin de sa dernière hospitalisation remonte à la date t-z si z<t, ou que l'assurée est active à l'âge x+t et n'a jamais été hospitalisée si z=t. L'événement « X_t=e₁,D_t=z » signifie qu'elle est hospitalisé à l'âge en question depuis une durée Z et l'événement « X_t=e₂,D_t=z » signifie qu'elle est hospitalisée suite à une grossesse à l'âge en question depuis une durée z.

3.6. Taux instantanés des transitions

3.6.1. Définitions

Les initiales « a », « h », « g » sont utilisés pour rappeler les états « active », « hospitalisé » et « grossesse ».

Soit ;

- ì_ah(x+t) , le taux instantané de transition de l'état e0 vers l'état e1 à l'âge x+t. la grandeur ì_ah(x+t) quantifie le risque pour un individu âgé de x+t années d'être hospitalisée suite à une maladie ou un accident.

- ì_ha(x+t) , le taux instantané de transition de l'état e1 vers l'état e0 à l'âge x+t. la grandeur ì_ha(x+t) quantifie le risque pour un individu âgé de x+t années de sortir de l'hôpital après y être entré pour une maladie ou un accident.

- ì_ag(x+t) , le taux instantané de transition de l'état e0 vers l'état e2 à l'âge x+t. la grandeur ì_ah(x+t) quantifie le risque pour un individu âgé de x+t années d'être hospitalisée suite à une grossesse.

- Ì_ga(x+t) , le taux instantané de transition de l'état e2 vers l'état e0 à l'âge x+t. cette grandeur ì_ah(x+t) quantifie le risque pour un individu âgé de x+t de sortir de l'hôpital après y être entré suite à une grossesse.

Il est à noter que le taux d'hospitalisation suite à une grossesse ne dépend que de l'âge et pas de la date de la dernière entrée à l'hôpital pour une grossesse.

3.6.2. Lien avec les probabilités de transition

Soit les probabilités de transition entre les instants s et t, tel que s<p. On peut exprimer les probabilités de transition entre les différents états de la manière suivante :

(3.2)

Il s'agit respectivement de la probabilité qu'une assurée active à l'âge x+s le soit également à l'âge x+t , qu'une assuré active à l'âge x+s se retrouve hospitalisée à l'âge x+t, qu'une assurée active à l'âge x+s se retrouve hospitalisée suite à une grossesse à l'âge x+t, qu'une assurée hospitalisée à l'âge x+s soit sortie de l'hôpital à l'âge x+t, qu'une assurée hospitalisé à l'âgé x+s le soit également à l'âge x+t,...

Ces probabilités fixent les états occupés aux instants s et t.

3.6.3. Expression des probabilités de transition sous forme de taux de transition

Le taux de transition peut se voir comme des dérivées partielles des probabilités de transition par rapport au temps imparti pour effectuer le parcours requis

(3.3)

Par conséquence un développement de Taylor limité au premier ordre donne les expressions suivantes :

(3.4)

3.7. Constance des taux instantanés de transition

Hypothèse

Nous supposons les taux instantanés de transition constat à chaque âge, c.à.d. quels que soient l'âge x entier et 0=t=1, les identités suivantes

(3.5)

ì_ah(x+t)= ì_ah(x), ì_ag(x+t)= ì_ag(x),

ì_ha(x+t)= ì_ha(x), ì_ga(x+t)= ì_ga(x),

sont vérifiées.

3.7.1. Probabilité de transition annuelle

Commençons par estimer t en fonction des taux. Partons de l'expression suivante :

t+Ät =Pr[ + =e0], étant donné que e0,e1,e2 forment un système complet d'évenement et que pour un evenement ek avec k°{0,1,2}, un autre événement ej={0,1,2} ne peut se produire qu'en combinaison avec l'un de ek du système complet. On applique le théorème de probabilité totale.

e0=

ce qui donne:

Pr[ =e0| =e0]= Pr[ =e0| =e0]. Pr[ =e0| =e0]+ Pr[ =e1| =e0] Pr[ =e0| =e1]+

[ =e2| =e0]. Pr[ =e0| =e2],

En se référant à (3.2),

Pr[ =e0| =e0]=t Ät. + t Ät. + t Ät.

Considérons à présent un âge x entier, un instant 0<t<1 et un accroissement Ät tel que t+ Ät<1. Nous pouvons alors écrire en se référant à (3.4)

t+Ät = t (1-( ì_ah(x)+ ì_ag(x)) Ät)+ t ì_ha(x) Ät+ t ì_ga(x) Ät+o(Ät)

avec o(Ät) :notation de Landau, une fonction arbitraire de Ät tel que =0 , ou Ät est un infiniment petit d'ordre supérieur à Ät.

Ceci donne, t+Ät = t -(( ì_ah(x)+ ì_ag(x)) + t ì_ha(x) + t ì_ga(x) )Ät+o(Ät)

?

=-( ì_ah(x)+ ì_ag(x)) + t ì_ha(x) + t ì_ga(x) +

Par passage à la limite pour , on obtient l'équation suivant

-( ì_ah(x)+ ì_ag(x)) + t ì_ha(x) + t ì_ga(x) (3.6)

En procèdent de la même manière on obtient les équations différentielles suivantes pour les autres probabilités de transition.

(3 .7)

Il est simple de résoudre le système intégro-différentiel de l'ensemble des probabilités de transition en utilisant une écriture matricielle. En effet introduisant la matrice Mx reprenant les taux de transition entre paires d'états hors de la diagonale principale, et l'opposé de la somme des éléments de la ligne correspondante sur la diagonale

Mx=

En notant Px(t)=

Il vient alors que le système (3.7) peut s'écrire

P_x(t)=P_x(t) M_x (3.8),

où la dérivée d'une matrice peut se comprendre comme la matrice de dérivées. La solution de cette équation est donnée par la série

En calculant 3.8 par la méthode de Cox et Miller, en supposant que M_x possède 3 valeurs propres distinctes , et comme Mx est de rang inférieur ou égal à deux, l'une des valeurs propres est nécessairement nulle. Le vecteur propre associé à cette valeur propre est colinéaire au vecteur (1, 1, 1) ^T.

Supposons par exemple que =0, on peut ensuite décomposer M_x comme,

M_x=A_xdiag ( , et ) représente une matrice diagonale 3*3.

Dès lors

P_x(t)=A_{x +} diag ( , et ) + diag ( , , ) _+...

= diag ( , , )

= diag (exp ), exp ), exp ))

3.8. Lien avec les probabilités de séjour

3.8.1. Définition

Les probabilités de séjour sont les probabilités d'occuper sans arrêt un état entre les instants s et t. Ces probabilités dans les différent états sont données par

t-s =Pr[X_T=e0 pour tout s<T<t /Xs=e0]

= Pr[X_T=e0 et D_T=t-s pour tout s<T<t /Xs=e0]

t-s =Pr[X_T=e1 pour tout s<T<t /Xs=e1]

= Pr[XT=e1 et DT=t-s pour tout s<T<t /Xs=e1]

t-s =Pr[X_T=e2 pour tout s<T<t /Xs=e2]

= Pr[XT=e2 et DT=t-s pour tout s<T<t /Xs=e2]

Avec D_T la durée d'occupation d'un individu dans l'état a,h,g

3.8.2. Expression des probabilités de séjour en fonction des taux des transitions

On peut également exprimer les probabilités de séjour en fonction des taux des transitions. Pour obtenir l'expression de t en fonction des taux des transitions, partons de l'expression suivante obtenu en conditionnant par rapport à l'état occupé par l'assuré entre les instants s et t.

t+Ät = t t.Ät en se referant à (3.4), on peut écrire

t+Ät = t [1-( ì_ah(x+s+t)+ ì_ag(x+s+t))Ät+o(Ät)] en posant

ì_ah(x+s+t)+ ì_ag(x+s+t)= ì_a.(x+s+t)

on a t+Ät = t [1- ì_a.(x+s+t)Ät+ o(Ät)]

ce qui donne t . ì_a.(x+s+t)Ät+

En passant à la limite pour ?0, on obtient l'équation différentielle 

t . ì_a.(x+s+t)

A la condition initiale t=0, ou à =1, l'équation différentiel possède comme solution satisfaisant les conditions initial,

t =exp(- )+ )dô)

on vérifie aussi de la même façon que :

t =exp(- )dô)

t =exp(- )dô)

3.9. Aspects techniques

3.9.1. Prestations des parties

3.9.1.1. Clauses particulières

Comme annoncé dans l'introduction, la plupart des polices prévoit un délai de carence pour l'accouchement, noté ã_g. ceci signifie que l'hospitalisation liées à des grossesses survenant durant [0, ã_g] ne seront pas indemnisées par l'assureur. On peut également produire des franchises temporelles f_g et f_h qui sont des durées d'hospitalisation minimales avant indemnisation.

3.9.1.2. Paiement des primes

Le paiement des primes est décrit par la fonction (.) représentant le montant cumulé payé par l'assuré au cours du temps. Ainsi (t) représente le montant payé par l'assuré sur l'intervalle [0,t]. La fonction Ð est non décroissante et continue à gauche, il satisfait donc la condition

(t) = (t) = pour tout t.

( ) = représente le montant de la prime payée à la souscription de la police, et les primes ne sont dues que lorsque l'assuré est hospitalisée. Par conséquent, la valeur actuelle moyenne des primes payées sur [0,t] vaut

E[ = en appliquant les principes de l'équivalence on obtient la prime souscrit par un assuré à l'âge x pour une durée de contrat n ;

Ou :

- v(t) est la valeur actuelle d'une somme payable à l'instant t pour être en mesure de couvrir un sinistre s'il arrive à cet instant.

En raison des franchises temporelles, aucune indemnité ne sera versée en cas d'hospitalisation entre les instants n-f_g v f_h et n ; ou n est la durée du contrat

f_g v f_h=inf{ f_g, f_h}

La quantité représente la prime unique pure à verser pour un contrat d'assurance de durée n.

3.9.1.3. Prestation de l'assureur

Le cout journalier des hospitalisations est aléatoire si le contrat est indemnitaire (car il dépend du type de pathologie, des complications éventuelles, etc...) et est connu si le contrat est forfaitaire. Afin d'obtenir une écriture homogène pour les 2 types de contrat, on travaillera sur le contrat indemnitaires avec un coût moyen par journée d'hospitalisation.

- Nous supposons que les coûts peuvent être décrits par des fonctions

(t,v)?B_h(t,v) et (t,v)?B_g(t,v) définie pour t=v, représentant les montant cumulés payés à l'assurés sur l'intervalle [t-v,t ] si elle a été hospitalisée à la date t-v et est resté à l'hôpital jusqu'à la date t.

Notons : B_i (t) avec i=h,g. le montant payé par l'assureur sur un intervalle quelconque à préciser. Elle est décroissante et continue à gauche. On suppose également que l'inflation des coûts est comprise dans B_i afin d'anticiper les évolutions futur des couts des soins.

La fonction B(t) possède un différentiel dB de la forme suivante dB=b (t)dt+ÄB (t), ou b est une fonction non négative car elle est différentiable par morceau. Le montant actualisé et versé à l'assuré en hospitalisation à l'instant t sur un intervalle [0,t]

- Nous supposons implicitement que les taux des transitions prennent en compte l'évolution future attendue des fréquences d'hospitalisation,

Alors pour tout t=s>0, les fonctions t?B_h(t,t-s) et t?B_g(t,t-s) se decomposent en une partie absolument continue et des sauts :

d B_h(t,t-s)= b_h(t,t-s)dt+ Ä B_h(t,t-s)

d B_g(t,t-s)= b_g(t,t-s)dt+ Ä B_g(t,t-s)

ou Ä B_h(t,t-s)= B_h(t+,(t+)-s)- B_h(t,t-s) et Ä B_g(t,t-s)= B_g(t+,(t+)-s)- B_g(t,t-s)

ainsi Ä B_g(t,t-s) représente la somme versée juste après l'instant t à l'assurée qui se trouve hospitalisée pour une grossesse à cet instant depuis une durée t-s.

En pratique dans la plupart des cas, nous supposons que l'assureur rembourse l'intégralité des frais d'hospitalisation, c'est pourquoi v(t) dans la pratique sera le montant des dépenses lors de la prise en charge à l'hôpital.

La valeur actuelle moyenne des prestations versés par l'assureur sur [0,t] est donnée par :

E[ ]+ E[ ]

=

3.9.2. Réserves mathématiques

A tout instant l'assureur devra disposer d'une provision représentant la part de prestations futures non couvertes par les primes restant à échoir. Cette provision dépendra de l'état occupé par l'assuré à l'instant t et, si l'individu est hospitalisé, de la durée passé dans cet état. Nous aurons ainsi les réserves V_a(t),V_h(t,d) et V_g(t,d) selon que l'assurée est active, hospitalisée depuis une durée d, ou hospitalisée par accouchement depuis une durée d.

- Pour une assurée active, désignons par n la durée maximale de l'engagement de l'assureur

V_a(t)= E[ ]+ E[ ]- E[ ]

Dans le cas particulier ou les fonctions de paiement ne dépendent pas de la durée d'hospitalisation, nous avons pour une assurée active à l'instant t>ã_g (delai de carence)

V_a(t)= + -

- Pour une assurée hospitalisée nous avons,

V_h(t,d)= E[ ]+ E[ ]- E[ ]

Dans le cas particulier ou les fonctions de paiement ne dépendent pas de la durée d'hospitalisation, nous avons pour une assurée hospitalisée à l'instant t>ã_g (delai de carence)

V_h(t)= + -

- Pour une assurée hospitalisée pour un accouchement

La reserve V_g(t) s'ontient de la même manière que ci haut, nous avons

V_g(t)= + -

3.10. Estimation des taux de transition

3.10.1. Exposition au risque

L'exposition au risque est le temps vécu par un individu entre l'âge x et l'âge x+1

L'exposition au risque dans l'état actif à l'âge x (ou années révolues) vaut :

ER_a(x)=temps total passé en activité par les femmes d'âge x au cours d'une période

ER_a(x)= , ou désigne le nombre des femmes ayant occupé l'état « actif » à l'âge x, et la durée d'activité de la i^ème femme.

L'exposition du risque dans l'état hospitalisé

Elle vaut ER_h(x)=temps total passé à l'hôpital par les femmes d'âge x au cours d'une période

ER_h(x)= , ou désigne le nombre des femmes ayant effectué un séjour à l'hopital à l'âge x, et la durée d'hospitalisation de la I^Vème femme.

L'exposition du risque dans l'état hospitalisé pour un accouchement

Cette exposition vaut

ER_g(x)=temps total passé à l'hôpital pour un accouchement par les femmes d'âge x au cours d'une période

ER_g(x)= , ou désigne le nombre des femmes ayant effectué un séjour à l'hopital suite à une grossesse à l'âge x, et la durée d'hospitalisation de la i^ème femme.

3.10.2. Estimation brut des taux de transition

On dispose pour un grand nombre de femmes leurs observations sur une ou plusieurs années, les temps de séjour dans les différents états (temps écoulé entre transition successives et nombre de transitions de chaque type)

Soit , , , le risque relatifs pour un assuré d'âge x d'être dans un état d'hospitalisation, d'activité ou d'accouchement. La fonction de vraisemblance relatif à cet observation est L( , , , (x)).

Chaque période de durée Ät passé par un assuré d'âge x dans l'état « actif » contribue à hauteur d'un facteur exp(-( + ), la même période passé à l'état hospitalisé à hauteur de exp(- Ät ) et enfin dans l'état accouchement à hauteur de exp(- Ät).

Chaque passage de e0 à e1, de e1 à e2, de e1 à e0 et de e2 à e0 contribue respectivement à la vraisemblance à hauteur d'un facteur , d'un facteur , d'un facteur et enfin d'un facteur .

Il faut mémoriser la durée totale passée par les assurées dans les différents états en répertoriant les expositions et le nombre de transition effectuées par ces assurées.

Notons alors,

: le nombre de transition de l'état actif à celui d'hospitalisé effectué par l'assuré j d'âge x.

: le nombre de transition de l'état hospitalisé à celui d'actif effectué par l'assuré j d'âge x.

: le nombre de transition de l'état actif à celui d'hospitalisé pour une grossesse effectué par l'assuré j d'âge x.

: le nombre de transition de l'état hospitalisé pour une grossesse à l'état actif effectué par l'assuré j d'âge x.

Posons = , = , = , =

Les observations relatives à ces variables sont , , ,

La fonction de vraisemblance associée à un individu d'âge fixe peut s'écrire

L( , , , (x))= exp[-( + ]. exp[-( ].

exp[-( ] (3.9)

En passant à la log de vraisemblance, puis en annulant les dérivées partielles par rapport aux quatre paramètres , , , (x), il vient

; ;  ; sont des estimateurs de maximum de vraisemblance non contraints, ou brut, des taux instantanés de transition entre différents états de figure Fig3.2.

Chapitre 4 : Estimation de la prime de risque pour une prise en charge

dans les services de maternité et de Gynéco au l'hôpital

Saint joseph de Kinshasa

Introduction

Dans ce chapitre, nous allons faire des estimations des différentes variables statistique en vue de calculer la prime de risque à verser par une assurée qui fréquente un milieu hospitalier pour une prise en charge adéquate en cas de problème de santé.

Suite à des difficultés ressenties pour la récolte des données dans des hôpitaux concernant certaines informations dites sensibles et en ajoutant aux difficultés citées, la quasi inexistence des services statistique ; nous étions obliger de constituer nous même par l'interview, les questionnaires d'enquête et la technique documentaire notre échantillon.

La lourdeur de ces travaux à fait à ce que notre étude à porter sur la maternité et la gynécologie, au lieu de porter sur tous les services de l'hôpital. L'échantillon est constitué de 465 observations des individus de 15 à 47 ans pour un toutes les pathologies ou les complications possible concernant la gynécologie-obstétrique dont 300 échantillons 15 à 47 ans pour la maternité. Cet étude s'intéresse à la prise en charge des patientes pour les premiers soins en cas d'une attaque dangereuse pour la santé et qui exige une intervention immédiate des services médicales. Selon les informations recueillies sur place les cas de malades deviennent souvent fatals à cause de retard de paiement de frais de prise en charge permettant un accès immédiat aux soins appropriés.

C'est pourquoi, nous nous sommes intéressés à cette étape de prise en charge clinique. Les traitements des maladies ne sont pas vraiment aborder dans notre travail. Nous considérons que la patiente qui arrive à l'hôpital dans une situation difficile doit être capable de recevoir les premiers soins, de faire l'objetdes examens de laboratoire, de faire l'objet d'une consultation médicale auprès d'un médecins, d'une observation et même d'une prise en charge avec internement pour des durées allant jusqu'à 3 jours.

Donc le but de notre travail réalisé à l'hôpital Saint Joseph, consiste à mettre en place une petite Société d'assurance Maladie (Prise en charge d'urgence) des femmes qui viennent en urgence en maternité pour un accouchement (pour les accouchement la prise en charge est totale) ou pour une complication qui atteint leurs intégrités physiques. Dans ce dernier cas la prise en charge peut être totale (Crise d'anémie) ou partielle (Menace d'avortement) qui doit être suivie des soins de traitement.

Après la récolte des données nous avions pu réunir des informations dont nous avons besoins pour notre étude, ces informations sont notamment :

· L'âge de la patiente ;

· La durée d'hospitalisation, nous rappelons que ce n'est pas la durée de traitement de la maladie mais un temps d'observation de la patiente qui peut aller de quelques heures à trois jours. Dans le cadre de notre étude toutes observations ou toute prise en charge de moins de 24 heures sont considérer comme des durées d'hospitalisation de 24heures.

· Les montants (Frais) des prises en charge.

· Une estimation des nombres de manifestation possible de la même crise (pathologie) au cours de l'année.

Ces données de base nous permettront de calculer les statistiques intermédiaires pour notre étude. Les données récoltées se trouve en annexe A ; nous n'y avions mis que les données synthétisé à cause de la grande quantité des données brutes.

3.10.3. Estimations de nombre de transition de l'état « actif »  à l'état « grossesse » (« accouchement »)

Pour estimer le nombre de transition nous avons généré avec SPSS un tableau croisé des durées d'hospitalisation en fonction des âges des patientes.

A partir de ce tableau nous pouvons calculer les nombres de transition de l'état hospitalisé à l'état grossesse.

Tableau.4. Nombre des transitions de l'état « actif » à l'état « accouchement »

	Transition
Age	0,25	0,3	0,5
15	0	0	1	0,5
16	0	0	2	1
17	0	0	1	0,5
18	0	0	2	1
19	0	0	4	2
20	0	0	5	2,5
21	0	0	8	4
22	0	0	6	3
23	0	0	11	5,5
24	0	0	3	1,5
25	0	0	6	3
26	0	0	11	5,5
27	0	0	6	3
28	0	0	8	4
29	0	2	1	1,1
30	0	7	0	2,1
31	1	4	3	2,95
32	0	6	1	2,3
34	1	2	1	1,35
35	5	2	1	2,35
36	3	1	0	1,05
37	6	0	0	1,5
38	3	0	1	1,25
39	1	0	0	0,25
40	3	0	0	0,75
42	1	0	0	0,25

Selon ce tableau, par exemple pour la première ligne, une seule femme de 15 ans fait 0,5 transition par an, c'est-à-dire qu'à partir des observations faites sur notre échantillon une seule femme de 15 ans sur le 140 à la possibilité d'accoucher 1 fois tous les 2 ans.

Pour estimer le temps total passé à l'hôpital par les femmes d'un certain âge nous générons le tableau croisé des durées d'hospitalisation en fonction de l'âge. Ce tableau nous permettra de calculer l'exposition au risque dans l'état « grossesse ».

Tableau.5. Exposition au risque dans l'état « grossesse ».

	Durée
Age	3
15	1	3
16	2	6
17	1	3
18	2	6
19	4	12
20	5	15
21	8	24
22	6	18
23	11	33
24	3	9
25	6	18
26	11	33
27	6	18
28	8	24
29	3	9
30	7	21
31	8	24
32	7	21
33	10	30
34	4	12
35	8	24
36	4	12
37	6	18
38	4	12
39	1	3
40	3	9
42	1	3

Pour calculer l'exposition au risque à l'état « actif » on fait le tableau croisé de durée d'activité en fonction des âges. On obtient le tableau suivant.

Tableau.6. Exposition au risque dans l'état « actif ».

	Tableau croisé Age * Activité
	Activité
Age	358,5	359,1	359,25
15	1	0	0	358,5
16	2	0	0	717
17	1	0	0	358,5
18	2	0	0	717
19	4	0	0	1434
20	5	0	0	1792,5
21	8	0	0	2868
22	6	0	0	2151
23	11	0	0	3943,5
24	3	0	0	1075,5
25	6	0	0	2151
26	11	0	0	3943,5
27	6	0	0	2151
28	8	0	0	2868
29	1	2	0	1076,7
30	0	7	0	2513,7
31	3	4	1	2871,15
32	1	6	0	2513,1
33	0	10	0	3591
34	1	2	1	1435,95
35	1	2	5	2872,95
36	0	1	3	1436,85
37	0	0	6	2155,5
38	1	0	3	1436,25
39	0	0	1	359,25
40	0	0	3	1077,75
42	0	0	1	359,25
				50228,4

Tableau.7. Nombre de transition de l'état « grossesse » à l'état « actif »

	Tableau croisé Age * Transition ga
	Transition ga
Age	0,25	0,3	0,5
15	0	0	1	0,5
16	0	0	2	1
17	0	0	1	0,5
18	0	0	2	1
19	0	0	4	2
20	0	0	5	2,5
21	0	0	8	4
22	0	0	6	3
23	0	0	11	5,5
24	0	0	3	1,5
25	0	0	6	3
26	0	0	11	5,5
27	0	0	6	3
28	0	0	8	4
29	0	3	0	0,9
30	0	7	0	2,1
31	0	8	0	2,4
32	0	7	0	2,1
33	0	10	0	3
34	4	0	0	1
35	8	0	0	2
36	4	0	0	1
37	6	0	0	1,5
38	4	0	0	1
39	1	0	0	0,25
40	3	0	0	0,75
42	1	0	0	0,25

Nous pouvons maintenant estimer le taux de transition de l'état « actif » à l'état « grossesse »

Tableau.8. Estimation des taux de transition de l'état « actif » à l'état « grossesse ».

Age
15	358,5	0,5	0,0013947
16	717	1	0,0013947
17	358,5	0,5	0,0013947
18	717	1	0,0013947
19	1434	2	0,0013947
20	1792,5	2,5	0,0013947
21	2868	4	0,0013947
22	2151	3	0,0013947
23	3943,5	5,5	0,0013947
24	1075,5	1,5	0,0013947
25	2151	3	0,0013947
26	3943,5	5,5	0,0013947
27	2151	3	0,0013947
28	2868	4	0,0013947
29	1076,7	1,1	0,00102164
30	2513,7	2,1	0,00083542
31	2871,15	2,95	0,00102746
32	2513,1	2,3	0,0009152
33	3591	3	0,00083542
34	1435,95	1,35	0,00094014
35	2872,95	2,35	0,00081797
36	1436,85	1,05	0,00073077
37	2155,5	1,5	0,00069589
38	1436,25	1,25	0,00087032
39	359,25	0,25	0,00069589
40	1077,75	0,75	0,00069589
42	359,25	0,25	0,00069589

Graph1. Représentation graphique des taux ag de transition en fonction de l'âge.

Nous remarquons qu'au environ de 27 ans le taux de transition décroit considérablement jusqu'à 30 ans pour se stabiliser enfin de 38ans. Ceci explique par la diminution des femmes en activité d'accouchement, on a de moins en moins des femmes qui viennent accoucher à partir de 28 ans dans notre échantillon.

Nous pouvons maintenant estimer le taux de transition de l'état « grossesse » à l'état « actif»

Tableau.10. Estimation des taux de transition de l'état « actif » à l'état grossesse.

Age
15	3	0,5	0,16666667
16	6	1	0,16666667
17	3	0,5	0,16666667
18	6	1	0,16666667
19	12	2	0,16666667
20	15	2,5	0,16666667
21	24	4	0,16666667
22	18	3	0,16666667
23	33	5,5	0,16666667
24	9	1,5	0,16666667
25	18	3	0,16666667
26	33	5,5	0,16666667
27	18	3	0,16666667
28	24	4	0,16666667
29	9	0,9	0,1
30	21	2,1	0,1
31	24	2,4	0,1
32	21	2,1	0,1
33	30	3	0,1
34	12	1	0,08333333
35	24	2	0,08333333
36	12	1	0,08333333
37	18	1,5	0,08333333
38	12	1	0,08333333
39	3	0,25	0,08333333
40	9	0,75	0,08333333
42	3	0,25	0,08333333

Graph2. Représentation graphique des taux de transition ga en fonction de l'âge.

3.11. Service de Gynécologie

3.11.1. Estimations de nombre de transition de l'état « actif » à l'état « hospitalisé »

Pour estimer le nombre de transition nous avons généré avec SPSS un tableau croisé des durées d'hospitalisation en fonction des âges.

De ce tableau nous pouvons calculer les nombres de transition de l'état actif à l'état hospitalisé.

Tableau.11. Nombre des transitions de l'état « actif » à l'état « hospitalisé »

Tableau croisé Age * Transition
	Transition
Age	0,3	0,5	0,8	1	2	3	4	5
15	0	1	0	1	1	0	2	3	26,5
16	0	3	0	3	0	0	1	1	13,5
17	1	7	0	1	0	1	3	5	44,8
18	0	4	0	2	0	0	2	2	22
19	1	4	0	2	1	0	5	3	41,3
20	1	3	0	3	0	0	5	2	34,8
21	1	4	0	3	0	1	0	2	18,3
22	0	6	0	4	0	1	2	3	33
23	0	4	0	0	0	0	3	1	19
24	0	2	0	3	0	0	0	3	19
25	1	6	0	1	0	0	4	3	35,3
26	1	4	0	4	0	0	1	1	15,3
27	0	11	0	3	0	0	3	2	30,5
28	1	1	0	1	0	1	1	5	33,8
29	0	2	0	2	0	1	3	0	18
30	1	2	0	4	0	0	4	1	26,3
31	1	5	0	2	0	0	0	3	19,8
32	2	1	0	2	0	1	0	1	11,1
33	2	6	0	1	0	0	2	2	22,6
34	0	5	0	0	0	1	1	2	19,5
35	1	6	0	4	0	0	4	1	28,3
36	0	4	0	1	0	0	1	0	7
37	3	3	0	3	0	0	4	7	56,4
38	0	3	0	0	0	0	0	4	21,5
39	0	1	0	5	0	0	6	0	29,5
40	0	1	0	0	0	1	5	1	28,5
41	1	0	0	1	1	0	2	0	11,3
42	1	2	0	1	0	0	1	1	11,3
43	1	0	0	1	0	0	1	1	10,3
44	2	1	0	0	0	0	2	0	9,1
45	0	0	0	0	0	0	1	0	4
46	1	0	0	0	1	0	0	0	2,3
47	0	0	1	0	0	0	0	0	0,8

Pour estimer le temps total passé à l'hôpital par les femmes d'un certain âge nous générons le tableau croisé des durées d'hospitalisation en fonction de l'âge. Ce tableau nous permettra de calculer l'exposition au risque dans l'état hospitalisé.

Tableau.12. Exposition au risque dans l'état «hospitalisé ».

Tableau croisé Age * Durée
	Durée
Age	1	2	3
15	8	0	0	8
16	7	1	0	9
17	15	3	0	21
18	7	3	0	13
19	15	1	0	17
20	12	2	0	16
21	10	1	0	12
22	14	2	0	18
23	7	1	0	9
24	5	2	1	12
25	15	0	0	15
26	9	2	0	13
27	17	2	0	21
28	10	0	0	10
29	7	1	0	9
30	10	1	1	15
31	6	4	1	17
32	7	0	0	7
33	12	1	0	14
34	8	1	0	10
35	13	3	0	19
36	6	0	0	6
37	16	3	1	25
38	6	1	0	8
39	11	1	0	13
40	8	0	0	8
41	5	0	0	5
42	5	1	0	7
43	4	0	0	4
44	4	1	0	6
45	1	0	0	1
46	2	0	0	2
47	1	0	0	1

Tableau.13. Exposition au risque dans l'état « actif ».

Tableau croisé Age * Activité
	Activité
Age	350,0	355,0	356,0	357,0	358,0	359,0	359,1	359,2	359,5	359,7
15	0	3	2	0	1	1	0	0	1	0	2833,5
16	0	1	1	0	0	4	0	0	2	0	2826
17	0	5	3	1	0	4	0	0	4	1	6353,7
18	0	2	2	0	1	3	0	0	2	0	3536
19	0	3	5	0	1	3	0	0	3	1	5658,2
20	0	2	5	0	0	5	0	0	1	1	4984,2
21	0	2	0	1	0	4	0	0	3	1	3881,2
22	0	3	2	1	0	6	0	0	4	0	5646
23	0	1	3	0	0	1	0	0	3	0	2800,5
24	0	3	0	1	0	4	0	0	0	0	2858
25	0	3	4	0	0	1	0	0	6	1	5244,7
26	0	1	1	0	0	6	0	0	2	1	3903,7
27	0	2	3	0	0	5	0	0	9	0	6628,5
28	0	5	1	1	0	1	0	0	1	1	3546,2
29	0	0	3	1	0	3	0	0	1	0	2841,5
30	0	1	4	1	0	4	0	0	1	1	4271,2
31	0	3	0	1	0	5	0	0	1	1	3916,2
32	0	1	0	1	0	2	0	0	1	2	2488,9
33	0	2	2	0	0	2	0	0	5	2	4556,9
34	0	2	1	1	0	1	0	0	4	0	3140
35	0	1	4	0	0	7	0	0	3	1	5670,2
36	0	0	1	0	0	1	0	0	4	0	2073
37	1	6	4	0	0	5	1	0	1	2	7117
38	0	4	0	0	0	1	0	0	2	0	2458
39	0	0	6	0	0	6	0	0	0	0	4290
40	0	1	5	1	0	0	0	0	1	0	2831,5
41	0	0	2	0	1	1	0	0	0	1	1788,7
42	0	1	1	0	0	2	0	0	1	1	2128,2
43	0	1	1	0	0	1	0	0	0	1	1429,7
44	0	0	2	0	0	1	0	0	0	2	1790,4
45	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	356
46	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1	717,7
47	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	359,2

Tableau.14. Nombre de transition de l'état «hospitalisé» à l'état « actif »

Tableau croisé Age * Ttransition_ha
	Ttransition_ha
Age	0,3	0,5	0,7	0,8	1
15	0	2	0	0	6	7
16	0	4	0	0	4	6
17	1	7	0	0	10	13,8
18	0	5	0	0	5	7,5
19	1	4	0	0	11	13,3
20	0	4	0	0	10	12
21	1	4	0	0	6	8,3
22	1	4	0	0	11	13,3
23	0	3	0	0	5	6,5
24	0	3	0	0	5	6,5
25	2	6	0	0	7	10,6
26	2	4	0	0	5	7,6
27	1	9	0	0	9	13,8
28	1	2	0	0	7	8,3
29	0	2	0	1	5	6,8
30	1	2	0	0	9	10,3
31	1	4	0	0	6	8,3
32	2	1	0	0	4	5,1
33	2	6	0	0	5	8,6
34	0	5	0	0	4	6,5
35	0	5	0	0	11	13,5
36	0	3	0	0	3	4,5
37	4	5	1	0	10	14,4
38	0	4	0	0	3	5
39	0	0	0	0	12	12
40	0	1	0	0	7	7,5
41	1	0	0	0	4	4,3
42	1	2	0	0	3	4,3
43	1	1	0	0	2	2,8
44	1	2	0	0	2	3,3
45	1	0	0	0	0	0,3
46	1	0	0	0	1	1,3
47	0	0	0	0	1	1

Nous pouvons maintenant estimer le taux de transition de l'état « hospitalisé » à l'état « actif »

Tableau.15. Estimation des taux de transition de l'état « actif » à l'état « hospitalisé ».

Age
15	2833,5	26,5	0,00935239
16	2826	13,5	0,00477707
17	6353,7	44,8	0,00705101
18	3536	22	0,00622172
19	5658,2	41,3	0,00729914
20	4984,2	34,8	0,00698206
21	3881,2	18,3	0,00471504
22	5646	33	0,00584485
23	2800,5	19	0,0067845
24	2858	19	0,00664801
25	5244,7	35,3	0,0067306
26	3903,7	15,3	0,00391936
27	6628,5	30,5	0,00460134
28	3546,2	33,8	0,00953133
29	2841,5	18	0,00633468
30	4271,2	26,3	0,00615752
31	3916,2	19,8	0,00505592
32	2488,9	11,1	0,0044598
33	4556,9	22,6	0,00495951
34	3140	19,5	0,00621019
35	5670,2	28,3	0,00499101
36	2073	7	0,00337675
37	7117	56,4	0,00792469
38	2458	21,5	0,00874695
39	4290	29,5	0,00687646
40	2831,5	28,5	0,01006534
41	1788,7	11,3	0,00631744
42	2128,2	11,3	0,00530965
43	1429,7	10,3	0,00720431
44	1790,4	9,1	0,00508266
45	356	4	0,01123596
46	717,7	2,3	0,00320468
47	359,2	0,8	0,00222717

Graph3. Représentation graphique des taux de transition ah en fonction de l'âge.

Nous pouvons maintenant estimer le taux de transition de l'état « hospitalisé » à l'état « actif»

Tableau.16. Estimation des taux de transition de l'état « hospitalisé » à l'état « actif ».

Age
15	7	8	0,875
16	6	9	0,66666667
17	13,8	21	0,65714286
18	7,5	13	0,57692308
19	13,3	17	0,78235294
20	12	16	0,75
21	8,3	12	0,69166667
22	13,3	18	0,73888889
23	6,5	9	0,72222222
24	6,5	12	0,54166667
25	10,6	15	0,70666667
26	7,6	13	0,58461538
27	13,8	21	0,65714286
28	8,3	10	0,83
29	6,8	9	0,75555556
30	10,3	15	0,68666667
31	8,3	17	0,48823529
32	5,1	7	0,72857143
33	8,6	14	0,61428571
34	6,5	10	0,65
35	13,5	19	0,71052632
36	4,5	6	0,75
37	14,4	25	0,576
38	5	8	0,625
39	12	13	0,92307692
40	7,5	8	0,9375
41	4,3	5	0,86
42	4,3	7	0,61428571
43	2,8	4	0,7
44	3,3	6	0,55
45	0,3	1	0,3
46	1,3	2	0,65
47	1	1	1

Graph4. Représentation graphique des taux de transition ha en fonction de l'âge.

Tableau.17. Taux de transition pour les services maternité et Gynécologie

Age
15	0,00935239	0,875	0,0013947	0,16666667
16	0,00477707	0,66666667	0,0013947	0,16666667
17	0,00705101	0,65714286	0,0013947	0,16666667
18	0,00622172	0,57692308	0,0013947	0,16666667
19	0,00729914	0,78235294	0,0013947	0,16666667
20	0,00698206	0,75	0,0013947	0,16666667
21	0,00471504	0,69166667	0,0013947	0,16666667
22	0,00584485	0,73888889	0,0013947	0,16666667
23	0,0067845	0,72222222	0,0013947	0,16666667
24	0,00664801	0,54166667	0,0013947	0,16666667
25	0,0067306	0,70666667	0,0013947	0,16666667
26	0,00391936	0,58461538	0,0013947	0,16666667
27	0,00460134	0,65714286	0,0013947	0,16666667
28	0,00953133	0,83	0,0013947	0,16666667
29	0,00633468	0,75555556	0,00102164	0,1
30	0,00615752	0,68666667	0,00083542	0,1
31	0,00505592	0,48823529	0,00102746	0,1
32	0,0044598	0,72857143	0,0009152	0,1
33	0,00495951	0,61428571	0,00083542	0,1
34	0,00621019	0,65	0,00094014	0,08333333
35	0,00499101	0,71052632	0,00081797	0,08333333
36	0,00337675	0,75	0,00073077	0,08333333
37	0,00792469	0,576	0,00069589	0,08333333
38	0,00874695	0,625	0,00087032	0,08333333
39	0,00687646	0,92307692	0,00069589	0,08333333
40	0,01006534	0,9375	0,00069589	0,08333333
41	0,00631744	0,86	0,00069589	0,08333333
42	0,00530965	0,61428571	0	0
43	0,00720431	0,7	0	0
44	0,00508266	0,55	0	0
45	0,01123596	0,3	0	0
46	0,00320468	0,65	0	0
47	0,00222717	1	0	0

3.12. Estimation des probabilités de transition

Dans cette partie nous allons montrer comment on peut obtenir les probabilités de transition à partir des taux qui viennent d'être obtenus. Sur la figure Graph1 représentant en fonction du temps. On remarque que le taux est constant de 15 à 28 ans puis décroit de 28 à 30 ans environs pour se stabiliser ensuite à 39 ans.

De même sur la figure représentant le taux de transition en fonction de l'âge, on remarque un premier pic important entre 28 et 30 ans. Il sera alors plus intéressant de traiter en général ce cas particulier car pour les autres cas les taux sont presque identiques.

Prenons le taux de transition correspondant à 28, 29 et 30 ans et représentons leur matrice des taux de transition.

, Idem pour M₂₉, M₃₀.

Trouvons maintenant les valeurs et les vecteurs propres associées aux matrices.

Pour la matrice  ;

Pour la matrice  ;

Pour la matrice  ;

Les matrices des probabilités annuelles de transition à l'instant t (année de la souscription du contrât) sont donnée par :

=

=

En procédant de la même façon nous obtenons

Calculons maintenant les probabilités de transition sur les 3 années,

Le calcul des probabilités de transition sur 3 années nous permet d'extraire la valeur qui est la probabilité pour qu'une assurée active à l'âge de 28 ans, le soit également à l'âge de 29 et 30 ans. Cette valeur va nous permettre de calculer la prime annuelle que l'assuré doit verser.

3.13. Estimation de la prime (28-30 ans)

En se référant à la formule du calcul de la prime sur base de l'équivalence, on estime la prime unique pure par la formule

avec n le nombre d'année pour lequel l'assuré a souscrit un contrat ;on multipliera chaque membre de cette formule par les délais de carences concernées. En pratique le délai de carence est de 4 mois dans le cas d'une hospitalisation simple et de 9 mois dans le cas d'une hospitalisation pour un accouchement.

Pour une femme de 28 ans qui vient s'assurer pour 3 ans, la prime annuelle sera de

Avec  : la variation de délais de carence en fonction du temps pour les hospitalisations ;

 : la variation de délais de carence en fonction du temps pour les accouchement s.

Les sont de montant de dépense actualisé à un taux de 4%. C'est souvent le taux d'intérêt de la Banque National qui est utilisé.

Suite aux nombreux membres que possède cette formule ilest plus facile d'effectuerle calcul à l'aide d'un tableur comme ci-dessous :

Calculons la prime pour les hospitalisations

t			v(x)	v(x) actu
0	0,9922763	0,0095313	43350	43350	0,4383613	19002,962
1	0,9945998	0,0063347	37887,5	39344,71154	0,4712161	18539,861	18539,86
2	0,9947670	0,0061575	41058,33	44155,92945	0,5046035	22281,236	22281,236	22281,236
						1914369,9336	1265454,040	668437,096
						18105,561	7972,957	4094,376

(h)=18105,561+7972,957+4094,376=30172,89 FC

(h)=30172,89, c'est-à-dire que cette assurée va payer une prime annuelle de 30172,89 FC pour s'assurer pendant 3 ans contre un sinistre quelconque (n'importe quelles maladies de notre échantillon). Cette assurée paiera 90518FC pour assurer ces soins pendant 3 ans au lieu de payer 122295FC s'elle n'avait pas souscrit une assurance.Voir tableau18 en Annexe.

Calculons la prime pour les accouchements

t			v(x)	V(x) actu
0	0,9922763	0,00139470	213800	213800	0,8468550	181057,59
1	0,9945998	0,00102164	213800	222023,079	0,9048851	200905,374	193464,430
2	0,9947670	0,00083542	213800	229929,87	0,9048764	208058,12	193462,570	193462,57
						18880675,095	11994737,260	5803877,22
						26129,490	12188,12	4823,30

(g)= 43140,92FC, c'est-à-dire que cette assurée va payer une prime annuelle de 43140,92FC pour assurer sont accouchement dans 3 ans.Cela fait un total de 129420FC pour assurer son accouchement pendant 3 ans maximum au lieu de payer 213800FC s'elle n'avait pas souscrite une assurance.Voir tableau18 en Annexe.

On peut également calculer la prime pour les assurées de 25 ans à 27 ans. En se référant à Graph1, ce montant sera égal pour toutes les assurées dont l'âge varie entre 15 et 27 ans. En se référant au Graph 3. Il ya une pente importante avant une reprise qui monte en pic de taux de transition. Nous allons donc calculer la prime pour cet intervalle.

3.14. Estimation de la prime de risques pour les assurées de 25 à 27 ans

=

=

=

Calculons la prime pour les hospitalisations

t			v(x)	v(x) actu
0	0,9946144	0,00673060	38640	38640	0,4383613	32717,129
1	0,9957579	0,00391936	36790,909	38205,944	0,4712161	21322,825	20533,090
2	0,9953553	0,00460134	36436,842	39185,775	0,5046035	20349,796	18922,231	18922,23
						2380472,029	1223114,995	567666,943
						15935,7169	4773,4920	2599,896

(h)=15935,7169+4773,4920+2599,896=23309,10 FC

(h)= 23309,10 FC, c'est-à-dire que cette assurée va payer une prime annuelle de 23309,10 FC pour s'assurer pendant 3 ans contre un sinistre quelconque (n'importe quelles maladies de notre échantillon). Cela fait un total de 69927,3FC pour assurer ces soins pendant 3 ans au lieu de payer 111867,751 si elle n'avait pas souscrite une assurance.Voir tableau18 en Annexe pour les dépenses de santé.

Calculons la prime pour les accouchements

t			v(x)	V(x) actu
0	0,9946144	0,00139470	213800	213800	0,5199258	111160,136
1	0,9957579	0,00139470	213800	222023,0769	0,8465856	187961,53	181000,001
2	0,9953553	0,00139470	213800	229929,8817	0,8465856	194655,32	181000,001	181000,00
						15800864,084	11222000,079	5430000,03
						21918,780	15584,929	7538,045

(g)= 21918,780+15584,929+7538,045=45041,75 FC

C'est-à-dire cette assurée va payer une prime annuelle de 45041,75 FC pour assurer sont accouchement dans 3 ans. Ce qui fera un total de 135125,25 FC pour assurer sont accouchement pendant 3 ans maximum au lieu de payer 213800FC s'elle n'avait pas souscrit une assurance.Voir tableau18 en Annexe.

Conclusion

En guise de conclusion, dans ce travail nous avons montré l'intérêt des processus stochastique pour modéliser un contrat d'assurance maladie. En effet, un assuré évolue dans différents états et les transitions entre les états et/ou les durées de séjour déterminent les montants des primes. Les recours à un processus ponctuel, ou pour tout instant t, x_t donne l'état ou se trouve l'individu à ce moment. Pour modéliser l'histoire de cet assuré ce processus est donc tout à fait approprié.

Cette modélisation dynamique envisageant le produit d'assurance dans toute sa durée s'impose notamment aussi lorsque les primes sont nivelées dans le temps. Le montant dépend alors de l'âge de l'assuré à la souscription de la police et n'évolue plus ensuite pendant une durée quelconque même si les probabilités de versement de prestations sont amenés à croitre. Il s'ensuit que l'assureur doit provisionner une partie des primes au début du contrat pour faire face aux charges futures. Ce sont ces aspects qui nous ont poussés à utiliser le processus ponctuel.

Comme vous le remarquerez, nous n'avons pas regroupé les valeurs observées dans notre échantillon mais le groupement se fait par observations des courbes des taux des transitions en fonction des âges; on peut comprendre que l'approche analytique à lui seul ne permet pas de calculer la prime il faut également une observation graphique des tendances.

Nous avons eu des difficultés au cours des ces analyses, dont l'une est d'estimer la prime annuelle à partir de l'approche continu de la fonction de calcul des primes, nous avons utilisé une approche discrète qui a cependant des inconvénients car certains paramètre ne sont pas pris en compte. En effet l'approche continue demande d'étudier la distribution de probabilité des dépenses des ménages pour les soins de santé et l'ajuster à une distribution continue connue (Loi normale, loi de Student) afin de déduire sa fonction de répartition. Fautes des temps et des ressources nous n'avons pas su aborder cette approche qui donne des meilleurs estimations. Nous laissons donc ouvert la continuité de ces travaux pour nos recherches futures.

Notre travail a apporté une modeste contribution dans l'étude des modèles d'assurance et nous ne prétendons en aucun cas avoir abordé tous les points essentiels fautes des moyens et des temps, nous espérons que d'autres personnes pourront contribuer à la consolidation de cet oeuvre en élargissant notre étude et en apportant des correctifs à des erreurs rencontrés.

Annexe A

Tableau.1. Tableau croisée des transitions en fonction des âges

	Transition			Total
Age	0,25	0,3	0,5
15	0	0	1	1
16	0	0	2	2
17	0	0	1	1
18	0	0	2	2
19	0	0	4	4
20	0	0	5	5
21	0	0	8	8
22	0	0	6	6
23	0	0	11	11
24	0	0	3	3
25	0	0	6	6
26	0	0	11	11
27	0	0	6	6
28	0	0	8	8
29	0	2	1	3
30	0	7	0	7
31	1	4	3	8
32	0	6	1	7
33	0	10	0	10
34	1	2	1	4
35	5	2	1	8
36	3	1	0	4
37	6	0	0	6
38	3	0	1	4
39	1	0	0	1
40	3	0	0	3
42	1	0	0	1

Tableau.2. Tableau croisée des durées d'hospitalisation en fonction des âges

	Durée	Total
Age	3
15	1	3
16	2	6
17	1	3
18	2	6
19	4	12
20	5	15
21	8	24
22	6	18
23	11	33
24	3	9
25	6	18
26	11	33
27	6	18
28	8	24
29	3	9
30	7	21
31	8	24
32	7	21
33	10	30
34	4	12
35	8	24
36	4	12
37	6	18
38	4	12
39	1	3
40	3	9
42	1	3

Tableau.3. Frais moyen des prises en charge pour la gynéco-obstétrique et maternité

Age	Frais moyen gynéco	Frais moyen maternité
15	27562,5	213800
16	29762,5	213800
17	37461,1111	213800
18	32970	213800
19	36243,75	213800
20	36085,7143	213800
21	33763,6364	213800
22	35987,5	213800
23	28750	213800
24	38975	213800
25	38640	213800
26	36790,9091	213800
27	36436,8421	213800
28	43350	213800
29	37887,5	213800
30	41058,3333	213800
31	37636,3636	213800
32	48785,7143	213800
33	40261,5385	213800
34	34366,6667	213800
35	37556,25	213800
36	29933,3333	213800
37	45375	213800
38	45514,2857	213800
39	33341,6667	213800
40	36537,5	213800
41	48340	213800
42	47583,3333	213800
43	59275	213800
44	54100	213800
45	53100	213800
46	69500	213800

Tableau.17. Pathologie et complications considérées dans le cadre de notre étude

nombre	Complication et pathologie traité dans notre étude
1	Anémie
5	Cardiopathie
6	Diabète
7	Dysgravidie
10	Gastroentérite
8	IST (Infection Sexuellement transmissible)
2	lombohypogastralgie
3	MAP (Menace d'avortement précoce)
9	MAS (Menace d'avortement Sévère)
4	Paludisme

Annexe B

Rappels de statistique

B.1. ExpérienceAléatoire

Une expérienceAléatoire î est une expérience dont on ne peut pas prédire avec certitude les résultats du faits qu'on ne contrôle pas toutes les causes qui peuvent influencés ces résultats ; mais dont on connaît à priori tous les résultats possible auxquels elle donnera lieu.

B.2. Eventualité

Soit î une expériencealéatoire, alors par définition une éventualité est un résultat possible à priori de î. L'ensemble de toutes les éventualités relatives à î, noté par Ù s'appelle « l'espace des éventualités ».

B.3. ó-Algèbre

Soit Ù l'espace des éventualités relatif à une expériencealéatoire î, la tribu ou la ó-Algèbre notée á, est l'ensemble á non vide et jouissant des propriétés suivantes :

1. Ù á,

2. si A á, alors A^c á, A étant un événement qui lors d'une expériencealéatoire, peut ou peut ne pas se réaliser.

3. Si A1,A2,A3, ...Ai... est une suite d'élément dans á alors, toute suite á est stable par rapport à l'union dénombrable

B.4. Probabilité (Définition axiomatique)

Considérons la plus grande tribu á sur l'espace d'éventualité Ù, on appelle probabilité, l'application numérique IP : á?IR et qui vérifie les axiomes suivantes,

Ax1) A á, alors IP(A)=0,

Ax2) si A1,A2,...,Ai une suite quelconque d'événement de á tel que AjnAk= pour j?k, alors IP()= (Axiome de la ó-additivité)

Ax3. IP(Ù)=1

B.5. Variables aléatoires

- les boréliens : on appelle tribu boréliennes B sur IR la ó-Algèbre engendré par tous les intervalles de IR. Les éléments de la tribu borélienne B sur IR sont des Borélien.

- On appelle variable aléatoire, l'application X : (Ù,á)?(IR,B) tel que âB : X^-1(â) á

B.6. Processus stochastiques

a) Définition : On appelle processus stochastique (ou aléatoire) une famille de variable aléatoire noté X_tX(t), t T IR⁺, définie sur un espace probabilisé (Ù,á,IP) et dépendantes du temps t TIR⁺ ; ou TIR⁺ s'appelle espace des instants. X_tX(t) est une réalisation du processus aléatoire {X(t), t TIR⁺ } à l'instant t . IE=( Ù) : l'ensemble de toutes les réalisations du processus stochastique.

{X(t), t TIR⁺} espace des états du processus stochastique considéré.

b) Classification de processus stochastique

La classification de processus stochastique se base sur la cardinalité de T et de E.

1) Si T est isomorphe à R TR⁺ et ER⁺ , alors {X(t), tT} est dit processus stochastique continu dans le temps et dans l'espace des instants.

2) Si T est isomorphe à R TR⁺ et EJIN, alors {X(t), tT} est dit processus stochastique continu dans le temps et discontinu dans l'espace des instants.

3) Si T est isomorphe à R T IIN et EJIN, alors {X(t), tT} est dit processus stochastique discontinu dans le temps et discontinu dans l'espace des instants.

B.7. Fonction de renouvellement simple

Considérons une suite des variables aléatoires discrètes Ti (iIN), stochastiquementindépendant et equidistribué sur un même espace probabilisé (Ù,á,IP) tel que leur fonction de répartition commune F(t)=IP(T=t) est donnée avec F(t)=0, t=0.

On constate que {Ti, iIN} est un processus continu dans le temps et discontinue dans l'espace des états.

Interevenement : intervalle de temps qui sépare 2 événementconsécutifs ;

Renouvellement simple : lorsque les événements Ev1,Ev2,..., Evn ont la même caractéristique.

Dès lors ; Sn= : la date du n^ième renouvellement simple.

N(x) est le nombre de renouvellement simple (PRS), la famille { Sn= ,nIN}{N(x), x=0}

La fonction de renouvellement simple U(x) est dons le nombre moyen de renouvellement simple dans l'intervalle de temps

B.8. Distribution de probabilité de la variable aléatoire x

Déf : Soit x une variable aléatoire défini sur (Ù,á,IP), on appelle distribution de probabilité de la variable aléatoire x, l'application

tq âB, (â)= [(â)]= [{ùÙ /X(ù) â}]

1) Distribution de probabilité d'une variable aléatoire discrète

Lorsque x= V.A.D (variable aléatoire discrète), on a ={ tq }

2) Distribution de probabilité d'une variable aleatoire continue (V.A.C)

Si x=V .A.C, on a

(Integral de Riemann)

où tel que , est la densité de probabilité

B.9. Fonction de répartition de la V.A x

Définition : Soit x une V.A sur (Ù,á,IP), on appelle fonction de répartition de la V.A x sur (Ù,á,IP)

B.10. Système Complet d'événement

Les evenement A1,A2,...,An en nombre fini sont dit totalement disjoints ou forment un système complet d'évenement dans á ssi :

1) Ai, pour tout i=1,2,...,n

2) AiAj=,

3) B.11. Théorème de probabilités totales

Hypothèse :

(1) Soit A1,A2,...,An un système complet d'événement

(2) Supposons qu'un autre événement B ne puisse se produire qu'en combinaison avec l'un des événements Ai du système complet d'événement

B=

Bibliographie

Ouvrages

- Michel Denuit et Christian Robert, « actuariat des Assurances des personnes (modélisations, tarification et provisionnement) ». Edition Economica Janvier 2007.

- Mathieu Alain, « Etude du système d'offre des soins en France ». Edition Eyrolles. Aout 2008.

- Muriel Anne : « Probabilité et Statistique », Edition Schaum New York, 1987.

- Luc Arrondelle : « Epargne, assurance-vie et retraite ». Edition Mathematica 2007

Notes des cours

- Professeur Manya, « Statistique Descriptive », année académique 2006-2007

- Professeur Manya, « Statistique Inférentielle », année académique 2007-2008

- Professeur Muhindo : « Statistique appliquée aux affaires », année académique 2007-2009.

Mémoire

- Batundu, « Etude d'évolution des primes d'assurance vie ». Institut Supérieur de Statistique de Kinshasa. 1995.

Webographie

- Okou Gérard Mathieu N'KATTA, « Quelles politiques en vu d'une amélioration de la gestion d'un portefeuille d'assurance maladie: cas de GNA assurances ». Institut national polyechnique Félix Houphouet Boigny. 2008. www.memoireonline.com

- www.who.com

- www.medicare.com

- www.sonas.cd

Table des matières

Préambule Erreur ! Signet non défini.

Préface 3

Chapitre 1 : Généralité sur les assurances 5

1.1. Historique 5

1.2. Définitions 6

1.3. Eléments de l'assurance 8

1.3.1. Le risque 8

1.3.2. La prime 9

1.3.3. La prestation de l'assureur 9

1.3.4. Le contrat d'assurance 10

1.4. Classification des assurances 11

1.4.1. D'après la forme 11

1.4.2. Suivant leur objet 12

Chapitre 2 : Etude du système d'assurance maladie (cas de la France) 15

2.1. Introduction 15

2.2. L'assurance maladie produit d'une lente évolution 15

2.3. Reforme de 1945 et ses prolongements 17

2.4. Généralisation effective de l'assurance maladie 18

2.5. Structure de l'assurance maladie en France 19

2.6. Problématique de la dépense de l'assurance maladie 19

2.7. Financement de l'assurance maladie 20

2.7.1. Source de financement de l'assurance maladie 21

2.7.2. Impacte de l'assurance maladie sur le chômage et la régulation économique 21

Chapitre 3 : Etude du modèle d'assurance maladie par l'approche 23

stochastique 23

3.1. Généralités 23

3.2. Caractéristiques supplémentaires des produits d'hospitalisations 24

3.3. Approche utilisés 24

(3.1) 24

3.4. Modélisation 25

3.5. Interprétation mathématique des modèles 26

3.6. Taux instantanés des transitions 27

3.6.1. Définitions 27

3.6.2. Lien avec les probabilités de transition 27

3.6.3. Expression des probabilités de transition sous forme de taux de transition 28

3.7. Constance des taux instantanés de transition 29

3.7.1. Probabilité de transition annuelle 29

3.8. Lien avec les probabilités de séjour 31

3.8.1. Définition 31

3.8.2. Expression des probabilités de séjour en fonction des taux des transitions 32

3.9. Aspects techniques 32

3.9.1. Prestations des parties 32

3.9.2. Réserves mathématiques 34

3.10. Estimation des taux de transition 35

3.10.1. Exposition au risque 35

3.10.2. Estimation brut des taux de transition 36

Chapitre 4 : Estimation de la prime de risque pour une prise en charge 38

dans les services de maternité et de Gynéco au l'hôpital 38

Saint joseph de Kinshasa 38

4.1. Introduction 38

4.1.1. Estimations de nombre de transition de l'état « actif »  à l'état « grossesse » (« accouchement ») 39

4.2. Service de Gynécologie 45

4.2.1. Estimations de nombre de transition de l'état « actif » à l'état « hospitalisé » 45

4.3. Estimation des probabilités de transition 52

4.4. Estimation de la prime (28-30 ans) 55

4.5. Estimation de la prime de risques pour les assurées de 25 à 27 ans 57

Conclusion 59

Annexe A 60

Annexe B 63

B.1. Expérience Aléatoire 63

B.2. Eventualité 63

B.3. ó-Algèbre 63

B.4. Probabilité (Définition axiomatique) 63

B.5. Variables aléatoires 63

B.6. Processus stochastiques 64

B.7. Fonction de renouvellement simple 64

B.8. Distribution de probabilité de la variable aléatoire x 65

B.9. Fonction de répartition de la V.A x 65

B.10. Système Complet d'événement 65

B.11. Théorème de probabilités totales 66

Bibliographie 67