3.5 Prévision
Les organismes et les établissements des secteurs de
développement sont confrontés à planifier pour le futur
dans une atmosphère d'incertitude. Cette incertitude provient du fait
que les évènements aléatoires futurs influent
considérablement sur les facteurs essentiels sur lesquels se basent
leurs plans d'action.
Il existe une diversité de méthodes de
prévision. Le choix de l'utilisation d'une méthode de
prévision, que ce soit parmi les plus simples ou les plus
sophistiquées, dépend essentiellement de la
spécificité des données et de la nature de l'information
disponible concernant la grandeur aléatoire à prédire.
3.5.1 Méthodes de prévision à court et
à moyen terme
Critères d'optimalité de la prévision
Soit Xt+h la valeur future à prévoir,
à partir de l'instant présent t, de la variable Xt+h. Notons
bxt+h la valeur prédite, à partir de l'instant t,
à l'horizon h, de la vraie valeur inconnue Xt+h en se basant sur
l'ensemble d'information disponible It.
La variable aléatoire et;h exprimant l'erreur
commise en estimant la valeur de Xt+h par
|
la valeur de prévision
|
b
Xt+h est donnée par : et;h = Xt+h -
|
bXt+h.
|
L'erreur quadratique moyenne de la prévision est
donnée par:
[( )2] [( )2] ( )2
Q = E Xt+h - bXt+h = E Xt+h - E(
bXt+h) + bXt+h - E( bXt+h)
Prévision optimale (au sens des moindres
carrées)
La prévision optimale, au sens du critère des
moindres carrées est donnée par l'espérance conditionnelle
suivante bXt+h = E(Xt+h/It)
En pratique, la loi de probabilité conditionnelle est
rarement connue, et même si elle était connue, le calcul de cette
espérance est souvent très compliqué et peut donner une
fonction non linéaire complexe. Pour surmonter ces difficultés,
on se restreint à la recherche de la fonction de prévision dans
la classe des fonctions linéaires en les observations présentes
et passée, c'est à dire qu'on cherche une fonction de
prévision optimale parmi les fonctions linéaires des
données de It.
3.5.2 Méthodes d'extrapolation (méthodes de
prévision en séries chronologiques)
Généralités sur la prévision
(à court et moyen terme)
Les différentes méthodes de prévision ne
permettent pas de prévoir un changement d'évolution dû
à un changement dans les structures économiques, puisque rien
dans le passé ne l'indique. La qualité de prévision
dépend de l'horizon h et est meilleure lorsque h est petit.
Considérons le modèle ARIMA(p, d, q) écrit
sous la forme suivante :
(B) Xt = e (B) Et, (4.3.1)
où (B) = ~
(B)Vd
La prévision optimale Xt+h, h > 0 faite à la
date t est notée Xt+h ou bXt(h), avec t l'origine de la
prévision et h son horizon. Une observation Xt+h
générée par le processus (4.3.1) peut être
exprimé par l'une des trois formules suivantes :
--1. Formule déduite de la forme autoregressive moyenne
mobile du processus L'équation (4.3.1) peut s'écrire sous la
forme suivante :
Xt = O1Xt-1 + 02Xt-2 -
·
·
· +
0p+dXt-p-d + Et - O1Et-1 - 02Et-2 -
·
·
·
- OqEt-q
Donc
Xt+h = O1Xt+h-1 + 02Xt+h-2 -
·
·
· +
OpXt+h-p-d + Et+h - 611Et+h-1 - 02Et+h-2 -
·
·
· - OqEq
2. Formule déduite de la forme moyenne mobile du
processus
D'après le théorème de Wold (1938) (voir
paragraphe 2.5.1), Xt+h peut s'écrire comme suit :
cx,
Xt+h = P j Et+h-j, où 0 = 1 j=0
D'une manière équivalente, le modèle peut
s'écrire sous la forme tronquée suivante : Xt+h = Et+h + 1 Et+h-1
Et+h-qq
q
Xt+h = j Et+h-j
j=0
-- 3. Formule déduite de la forme autoregressive du
processus
La forme autoregressive permet d'avoir la relation suivante :
|
Xt+h = Et+h -
|
cx,
j=1
|
7r .X
3 t+h-j
|
|
pour h > 1 on a :
Xt+h=-
|
cx,
j=1
|
7r X
3 t+h-j
|
Nous pouvons donc dire que pour faire la prévision d'un
processus à la date t pour la date t+ h, Box et Jenkins ont
proposé trois formes de base de prévision : la première
forme de base s'obtient en se basant sur la forme autoregressive moyenne mobile
du processus, la seconde et la troisième s'obtiennent en se basant
respectivement sur les forme moyenne mobile et
autoregressive du processus.
b
Notons que la prévision Xt(h ) est aussi
l'espérance mathématique de Xt+h conditionnelle en
Xt, Xt-1, :::donc les trois modèles de base de
prévision s'écrivent comme suit :
a) Première forme de base : bXt (h) = E
(Xt+h/ Xt, Xt-1..) bXt(h) = O1E (Xt+h-1 Xt, ..) +
::: + Op+dE (Xt+h-p-d/ Xt, ..) -- O1E (Et+h-1/Xt, ..)
- :::
-- OqE (Et+h-q/ Xt,
·
·) + E (Et+h/ Xt,
·
·)
b) Deuxième forme de base : bXt(h) = E (Xt+h/
Xt, Xt-1
·
·)
bXt(h) = 1E( Et+h-1/ Xt, ..) +
·
·
· + h-1E(Et+1/Xt,..) + hE(EtiXt,..)+...
+ h+1E(Et-1iXt,)+
·..+E(Et+hiXt, --)
c) Troisième forme de base : bXt(h) = E (Xt+h/
Xt, Xt-1..)
|
bXt(h) =
|
cx,
j=1
|
~jE(Xt+h-j I Xt, Xt-1..) + E (et+h I Xt, Xt-1..)
|
Pour calculer les espérances conditionnelles figurant dans
les trois modèles de base, il faut savoir que :
|
8 E (Xt-j I Xt, Xt-1)= Xt-j <>
>
E (Xt+j I Xt, Xt-1::) = bXt(j)
>>: E (Et-j/Xt, Xt-1
·
·) = Et-j =
Xt-j -- bXt-j-1(j)
E (et+j I Xt, Xt-1..) = 0
|
j = 0,1, ...
j = 1, 2, ... j = 0,1, ... j = 1, 2, ...
|
Remarque
Dans ce qui suit nous allons utiliser la première forme de
base de prévision pour sa simplicité.
| 
