Etude du prix spot du Gaz naturel

2.6.2 Processus moyenne mobile

La définition d'un processus moyenne mobile d'ordre q, noté MA (q) est la suivante :

Définition 2.6.4 :

Le processus du second ordre {Xt, t E Z} est dit admettre une représentation MA

d'ordre q, noté MA (q), s'il est solution de l'équation aux différences stochastique suivante :

Xt = Et -- 01 Et-1 -- 02 Et-2 --
·
·
· -- 0_q Et-q, (2.6.9)

où Et est un processus bruit blanc de moyenne nulle et de variance u².

En introduisant l'opérateur de retard B le modèle précédent peut se réécrire comme suit : Xt = 0 (B) Et,

où 0 (B) est le polynôme de retard, de degré q, donné par :

q

0 (B) = 1 -- 0j B^j où 0j E R, et 0_q =6 0,

j=1

CHAPITRE 2. PROCESSUS STOCHASTIQUES ET SÉRIES CHRONOLOGIQUES 46 Notion d'inversibilité

Définition 2.6.5

Un modèle de série chronologique (linéaire ou non linéaire) de la forme : Xt = g (série

Xt-2, ... Xt-p; Et, Et-1, Et-2, ... _Et-q) ,

où {Et} est un bruit blanc, est dit inversible si, et seulement si, on peut exprimer le processus {Et} comme combinaison linéaire (finie ou infinie) convergente, en moyenne quadratique, du présent et du passé du processus stochastique {Xt}.

Remarques

On remarque, d'après la définition du concept d'inversibilité, qu'un modèle autoregréssif d'ordre fini est toujours inversible.

Condition nécessaire et suffisante d'inversibilité d'un MA (q)

Le théorème suivant établi une condition nécessaire et suffisante pour q'un modèle moyenne mobile d'ordre q, soit inversible.

Théorème 2.6.3

Une condition nécessaire suffisante pour que le modèle moyenne mobile

Xt - _01Xt-1 - _02Xt-2 -
·
·
· - 0qXt-q = Et,

soit inversible est que les racines de l'équation caractéristique zp - 01z^p-1 - 02z^p-2 -
·
·
· - 0_q = 0,

sont en valeurs absolues strictement supérieures à 1, i.e., 1z1 > 1.

Fonction d'autocorrélation d'un MA

Soit {Xt} un processus stochastique moyenne mobile d'ordre q vérifiant l'équation aux différences stochastique

Xt = Et - 01 Et-1 - 02 Et-2 -
·
·
· - 0_q Et-q, Vt E z, (2.6.10)

où {Et} est bruit blanc de moyenne nulle et de variance finie u² (qui est non corrélé avec le passé du processus).

La fonction d'autocovariance de {Xt} est donnée par :

'Yh =

(1 + 0q + 0²+ ... + 0²_q) o^-2, h = 0,

(-0h + 010h+1+ ... + 0q-h0q)0², 0 < h < q,

0, h > q.

CHAPITRE 2. PROCESSUS STOCHASTIQUES ET SÉRIES CHRONOLOGIQUES 47 D'où on obtient la fonction d'autocorrélation de ce processus :

Ph =

'Yh 'Y0

=

8 <>> >>:

1, h = 0,

-0h + 010h+1 + ... + 0q_h0q , 0 <h q,

1+02 ₁ +02 ₂ +...+02 q

0, h > q.

On remarque que la fonction d'autocorrélation s'annule à partir d'un décalage supérieur à q, on dit qu'elle est tronquée au-delà du retard q. Donc on peut identifier un MA(q) à partir du corrélogramme qui s'annule à partir d'un retard supérieur à q.

Fonction d'autocorrélation partielle d'un modèle MA(q)

Afin de calculer les autocorrélations partielles d'un processus stochastique satisfaisant à un modèle moyenne mobile pur d'ordre q, MA(q), on doit, d'abord, exprimer le processus d'innovation (bruit blanc), Et, de ce modèle en terme du processus Xt et de son passé Xt_1, Xt_2, ..., _{Xt_} ,....Il est connu que l'innovation Et, d'un modèle moyenne mobile inversible, s'écrit sous forme d'une combinaison linéaire infinie, convergente en moyenne quadratique, du processus et de son passé :

00

Et = a0 Xt + a1 _{Xt_1+} ^a2 Xt_2 + a3 Xt_3 + ... = _P ai Xt_i.

i=0

Ainsi un processus moyenne mobile pur d'ordre fini q, peut s'écrire sous forme d'un modèle autoregressif d'ordre infini. D'où, selon le résultat obtenu concernant la fonction de corrélation partielle d'un modèle autoregressif, la fonction d'autocorélation d'un modèle moyenne mobile pur d'ordre fini q, montre une décroissance mais pas de cut-off comme dans le cas d'un modèle autoregressif pur.

Prenons par exemple le processus MA(1) suivant

Xt = Et - 0Et_1,

avec 0 < 1, et Et un bruit blanc de moyenne nulle et de variance u².

On peut, facilement, vérifier par récurrence que cette expression est équivalente à l'expression suivante qui est convergente en moyenne quadratique :

00

Et =Xt+0Xt_1+0²Xt_2+0³Xt_3+... = _P 0i Xt_i.

i=0

CHAPITRE 2. PROCESSUS STOCHASTIQUES ET SÉRIES CHRONOLOGIQUES 48 Afin de calculer les autocorrélations partielles d'un processus MA, on utilise l'algorithme récursif de Durbin. On sait par ailleurs que la fonction d'autocorrélation de ce processus est donnée par

₈

<> >

>>:

Ph =

1, h = 0,

0

-1+02, h=1,

0, h > 2.

Les autocorrélations partielles sont donc données récursivement par l'algorithme de Durbin, en effet, on a en première itération :

0

011 = P1 = - 1 + 02,

022 =

P2 - 011P1 P²₁

= - ,

¹ - 0111P1 1 - P²₁

P3 - P21P2 022P1 022P1

= - .

¹ - 021P1 ^-022P2 ¹ - 021P1

033 =

et

P1

021 = 011 - 022011 = 011(¹ - 022) = 1 - P²1

Ainsi on en déduit la valeur de l'autocorrélation partielle d'ordre 3

3

P₁

033 = 1 -P21

On peut ensuite poursuivre les calculs pour déterminer les autocorrélations partielles d'ordre

supérieur, en exprimant les autocorrélations partielles en fonction de 0 pour obtenir une suite récurrente.

Après calcul, on montre que la formule de récurrence pour les autocorrélations partielles

d'un MA (1) est alors donnée par :

0kk =

0^k (1 - 0^2) 1 -02(k+1)

Deux cas peuvent se présenter

a) Si 0 > 0, alors les valeurs de _0kk sont négatives

b) Si 0 < 0, alors les autocorrélations alternent de signe.