Etude du prix spot du Gaz naturel

2.3 Opérateurs et opérateurs de différence

Dans ce paragraphe on passe en revue les différents opérateurs et les différents opérateurs de différence, fréquemment utilisés en analyse des séries chronologiques, ainsi que leurs propriétés essentielles.

Opérateurs retard (Backward ) et avance (Forward)

Un opérateur retard B est une application dans l'ensemble des processus du second ordre qui associe à un processus {Xt, t E Z} le processus {Yt, t E Z} tel que :

Yt = B Xt = Xt_1.

Cet opérateur est linéaire et vérifie :

Bi Xt = Xt_i

De plus il est inversible (application bijective) et son inverse B_¹ = F appelé opérateur "avance" (Forward) est défini par :

FXt = Xt#177;1

On a également, Fⁱ Xt = Xt#177;i

Propriétés 2.2.8

1) B⁰Xt = Xt,

2) Si Xt = c, Vt E Z (c E R) : Bⁱ Xt = Bⁱ c=c VjE Z,

3) BⁱBⁱ Xt = B^i#177;i Xt = Xt_i_i V(i, j) E Z²,

4) B_ⁱXt = Xt#177;i Vi E Z; B_¹ = F,

5) (Bⁱ + Bⁱ)Xt = BⁱXt + Bi Xt = Xt_i + Xt_i V(i, j) E Z²,

1) _En

i=1

aiXt_i = (E aiBⁱ) Xt
·

i=1

_~00 00 00

7) E iXt_i = E Xt à condition que la série E j soit absolument

i=0 i=0 i=0

convergente.

On note que les propriétés précédentes sont satisfaites aussi par l'opérateur avance F. Opérateur de différence ordinaire

L'opérateur de différence première ordinaire noté V, associé au processus{Xt, t E Z} est défini par :

VXt = (1 -- B) Xt = Xt -- Xt_1, Vt E Z.

CHAPITRE 2. PROCESSUS STOCHASTIQUES ET SÉRIES CHRONOLOGIQUES 32 et par construction on obtient l'opérateur de différence d'ordre d (d E N), noté V^d tel que :

V^dXt=(1--B)^dXt, oùdEN,VtEZ. Opérateur de différence saisonnière

De même, on définit l'opérateur de différence saisonnière de saison S, noté VS, par: VSXt = (1 -- B^S) Xt, où S E N^*, Vt E Z.

Par construction, on obtient l'opérateur de différence saisonnière, de saison S, et d'ordre D (D E N), d'ordre S, noté VD S , donné par:

VD SXt = (1-- B^S)^DXt, 8t E Z.

2.4 Séries chronologiques

Les enregistrements, habituellement faits à des intervalles de temps souvent réguliers, des observations d'un phénomène économique, météorologique, biologique, démographique ... , sont fréquemment rencontrés en pratique. Ces données prises en ordre chronologique constituent une série chronologique ou encore une série temporelle. Cette série temporelle est souvent l'objet d'une analyse afin d'obtenir des renseignements sur le processus qui génère le phénomène observé, et de tirer par la suite des conclusions concernant les problèmes liés à ce phénomène.

Définition 2.4.1 :

Une série chronologique (ou temporelle) est une suite finie d'observations (xt)t=1;:::;T. Mathématiquement, une série chronologique est une réalisation (tra-

jectoire) d'un processus aléatoire.

2.4.1 Analyse des séries chronologiques

Le but d'une analyse statistique peut être descriptif qui consiste à dégager les caractéristiques particulières et désirables de la série, ou explicatif en essayant d'induire le mécanisme générateur de la série à l'aide des modèles mathématiques construits pour représenter au mieux les observations. La frontière entre le descriptif et l'explicatif n'est pas claire, puisque un modèle explicatif trop simple peut n'avoir qu'une valeur descriptive, et une analyse descriptive très poussée peut contenir une part d'explication. Le but final de l'analyse statistique peut être la prévision qui consiste à prédire des valeurs futures de la série à l'aide des observations présentes ou passées et cela n'est possible que si on dispose d'un modèle adéquat.

L'analyse statistique des séries chronologiques est souvent précédée par un traitement préliminaire de la série brute, et donc le premier pas d'une analyse statistique consiste à tracer le graphe représentatif de la série, ce qui est d'une grande importance car il nous permet d'avoir une idée générale sur le comportement de la série.

CHAPITRE 2. PROCESSUS STOCHASTIQUES ET SÉRIES CHRONOLOGIQUES 35 Composantes principales d'une série chronologique

Une série chronologique peut être considérée comme la "superposition" de plusieurs composantes : tendance, cyclicité, saisonnalité, aléas.

Tendance (T) : qui marque l'allure générale du phénomène(l'évolution générale de la série); elle se représente comme une fonction linéaire ou non linéaire du temps.

Cycle ou cycle conjoncturel (C) : regroupe les variations autour de la tendance avec des alternances d'époques ou de phases d'expansion et de contraction.

Variations saisonnières : Ce sont les variations liées au rythme imposé par les saisons

météorologiques, que ce soit directement ou indirectement par les activités économiques avec une période égale à l'année.

Variations accidentelles ou erreurs (€) : qui résultent de multiples causes et dont l'effet est souvent de faible intensité et de courte durée; elles sont de nature aléatoire.

Ces différentes composantes peuvent être combinées selon un des trois modèles (descriptifs) suivants:

Modèle additif: qui est sous la forme suivante :

Yt = Tt + St + Ct + "t. t2Z

Modèle multiplicatif:

Yt = Tt:St:Ct:"t:t 2 Z

Modèle mixte:

Tout autre modèle où additions et multiplications sont utilisées.