Etude du prix spot du Gaz naturel

2.2.2 Distribution de probabilité d'un processus aléatoire

La distribution de probabilité d'un processus aléatoire {Xi, t E Z} est caractérisée par les lois de toute sous-famille finie _Xi1, :::, Xin, n E N*, t1,
·.., tn E Z. Elle est généralement définie à travers la fonction de répartition d'une variable aléatoire

Définition 2.2.2

La fonction de répartition d'un processus aléatoire {Xi, t E Z} est définie pour tout

n E N*, (t1, :::, t_n) E Zⁿ₍ et (x1, ..., x_n) E Rⁿ, par :

Fxt₁,...,xt_r, x1, :::, xn) = P (Xi1 < x1, :::, Xin < xn)

2.2.3 Caractéristiques d'un processus stochastique

Parmi les caractéristiques les plus importantes d'un processus aléatoire, on distingue : la moyenne et la variance.

On appelle moyenne d'un processus, la fonction définie sur Z par :

m_i= E (Xi) t E Z.

De même la variance d'un processus est définie sur Z par :

2 X(t) = V (Xi) = E [(Xi --m_i)²] t E Z

2.2.4 Processus du second ordre

Un processus stochastique {Xi, t E Z} est dit de second ordre si son moment d'ordre deux est fini ; i. e. :

Vt E Z, E (X²_i) < oo

2.2.5 Fonction d'autocovariance d'un processus stochastique

La fonction d'autocovariance d'un processus aléatoire est donnée par : Cov (Xi, X_s) = E [(Xi -- m_i) (X_s -- m_s)] t, s E Z

2.2.6 Processus stationnaires

La notion de stationnarité joue un rôle crucial dans la théorie des processus aléatoires et particulièrement en analyse des séries chronologiques. Dans plusieurs problèmes du monde réel, on rencontre des processus aléatoires qui évoluent dans un état "d'équilibre statistique" dans le sens où les propriétés probabilistes et statistiques du processus ne changent pas dans le temps. De tels processus sont dits stationnaires. On distingue cependant deux modes de stationnarité, à savoir la stationnarité stricte et la stationnarité faible (du second ordre).

Processus strictement stationnaire (la stationnarité forte)

Grossièrement, un processus aléatoire est dit strictement stationnaire si sa loi de probabilité est invariante par translation dans le temps. Mathématiquement, le concept de stationnarité stricte est donné par la définition suivante:

Définition 2.2.3

Un processus stochastique IXt, t E Z} est dit strictement (ou fortement) sta-

tionnaire si pour tout n E N*, et pour tout n-uplet (t1, t2,..., t_n) E Z, i = 1, n , la distribution de probabilité conjointe du vecteur _(Xt1+h, ..., Xt_n+h) est la même que celle de (Xt₁, ..., Xt_n) Vh E Z. Autrement dit, si on a :

P (Xt1 < x1, ..., Xt_n < x_n) = P (Xt1+h < x1, ..., Xt_n+h < x_n) , V (x1, x2_,..., x_n) E Rⁿ, Vh E Z.

On note que toutes les caractéristiques (c'est à dire tous les moments) d'un processus strictement stationnaire sont invariantes dans le temps. Cette définition de la stationnarité est, cependant, trop forte et très exigeante et repose sur la connaissance de la loi conjointe du processus qui ne peut être connue en pratique, sauf dans des cas très spéciaux. Toutefois, plusieurs propriétés essentielles des processus aléatoires peuvent être obtenues juste à partir des moments de premier et du second ordre. La stationnarité de ces deux moments peut donc être suffisante pour expliquer la stationnarité du processus. Pour cette raison, on a besoin d'un concept de stationnarité moins fort et qui peut être rencontré dans la pratique.

Processus faiblement stationnaire (du second ordre)

Considérons un processus stochastique de second d'ordre IXt, t E Z} .

Définition 2.2.4

Le processus stochastique IXt, t E Z} est dit faiblement stationnaire si on a :

1) E (Xi) = E (Xi+h) = ~ (de moyenne constante), Vt E Z,

2) Cov (Xi, Xi+h) = E [(Xi - t_i) _(Xi+h - Ili+h)] = 'h, Vt, h E Z.

La fonction 'Yh est dite fonction d'autocovariance du processus.

Remarques

1. La fonction d'autocovariance d'un processus faiblement stationnaire dépend seulement de la différence des instants.

2. Dans les processus du second ordre, il est clair que la stationnarité stricte implique la stationnarité faible (la réciproque n'est pas vraie, sauf pour les processus Gaussiens).

Un processus {Xi, t E Z} est dit Gaussien si toute sous-famille finie du processus constitue un vecteur Gaussien. Autrement dit, pour tout n E N^* et (t1, t2_,..., t_n) E Zⁿ, le vecteur (Xi1, ..., _Xin) est Gaussien.

Processus bruit blanc(White noise)

Selon la théorie du signal, un bruit blanc est un bruit à intensité égale par rapport à toutes les fréquences dans une large bande. Par exemple, la musique Rock, le hurlement d'un moteur d'un gicleur, le bruit dans un super marché et le chuchotement de vilains étudiants dans une classe bruyante sont juste quelques exemples de bruits blancs. On emploie le mot "blanc" pour décrire ce genre de bruit en raison de sa similitude avec la "lumière blanche" qui se compose de toutes les différentes couleurs (fréquences) de lumière combinées ensemble.

En science appliquée le bruit blanc est souvent pris comme idéalisation pour représenter les phénomènes de fluctuations soudaines et extrêmement grandes. Mathématiquement, un bruit blanc est le processus de second ordre faiblement stationnaire le plus simple et le plus utilisé, en analyse des séries chronologiques dont la définition est la suivante

Définition 2.2.5

Un processus bruit blanc {€i, t E Z}, est une suite de variables aléatoires non corrélées de moyenne nulle et de variance constante, g². Un processus bruit blanc est donc caractérisé par la fonction d'autocovariance particulière suivante :

(

², h=0,

'Yh = E(€isi+h) = 0, h =6 0. Vt 2 Z

Lorsque de plus {€i} est une suite de variables aléatoires indépendantes alors {€i, t 2 Z} est dit bruit blanc fort.