Abstract:
In this work we present a numeric method based on a
spectral approximation Collocation-Chebyshev of internal recirculating flows
encompassing a two dimensional viscous incompressible flow generated inside a
regularized square driven cavity.
The equations of Navier-stokes are formulated in terms
of speed pressure or in terms of function current-whirlwind in a space to two
measurements. The temporal discrétisation of the equations of
Navier-Stokes makes itself by a diagram of integration of second order. This
last is a combination of two diagrams: the first of applied Grank-Nicolson on
the term of diffusion and the other of Adams-Baschforth of second order that is
applied on the term of advection. The numeric results are presented, analyzed
and confronted to other numeric results found by the other numeric method
(comparison with the finished method difference).
SOMMAIRE
NOTATIONS 5
LISTE DES FIGURES 6
INTRODUCTION 7
1. Equations générales 9
1.1
Définition du problème 9
1.2 Equations de base
10
1.2.1 Les équations de Navier-stokes
10
1.2.2 L'équation de continuité
11
1.3 Forme adimensionnelle des équations de
Navier-Stokes . 12
2. Différentes formulations des équations
de Navier-stokes ... 14
2.1 Formulation en variables primitives (u, v, P)
14
2.2 Formulation (fonction de courant-fonction
tourbillon) 15
2.3 Formulation (vitesse-tourbillon) 17
2.4 Résolution numérique des
équations de Navier-stokes en formulation (iji,
w) 18
2.5 Les conditions aux limites ... 18
3. Résolution des équations de
Navier-stokes par la méthode des différences
finies .. 21
3.1 Introduction 21
3.2 Principe générale de la méthode
d'ordre O(h4) 22
3.3 Résolution de l'équation de poisson de
la fonction de courant . 23
3.4 Calcul des composantes de la vitesse 25
3.5 Résolution de l'équation de transport
du Tourbillon 25
4. Résolution des équations de
Navier-stokes par la méthode spectrale........... 28 4.1 Introduction .
28
4.2 Méthodes spectrales pour l'approximation
d'une fonction 29
4.3 Généralité sur la
méthode collocation-Tchebychev 29
4.3.1 Les propriétés principales des
polynômes de Tchebychev 29
4.3.2 Quadrature de Gauss-Lobatto 30
4.3.3 Représentation d'une fonction sur les
polynômes de Tchebychev 30
4.3.4 Matrice de passage pour les points de collocation
de Gauss-Lobatto 31
4.3.5 Dérivation numérique 31
4.4 Exemple 32
4.5 Projection de méthode spectrale
34
4.5.1 L'intégration temporelle 34
4.5.2 Les conditions aux limites 35
4.5.3 Procédures de résolutions des
équations 36
5. Les résultats et discussion 38
5.1 Formulation (ijj,
w): méthode des différences finies d'ordre
(O(H2)-O(H4)) 38
5.2 Formulation (vitesse -pression): méthode
spectrale . 40
5.3 Formulation fonction de courant fonction tourbillon :
méthode spectrale 43
Conclusion générale 44
Références bibliographiques .
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