Notion de système formel. Prolégomènes à une logique cognitiviste à partir de Donald Davidson

I.1.4. Théorie sémantique des mondes possibles

Kripke, Kanger et Hintikka (^18(*)), à partir du milieu des années cinquante, ont élaboré une théorie connue sous le nom de sémantique des mondes possibles. Cette théorie avait pour objectif la démonstration des propriétés formelles (complétude, saturation, etc.) des systèmes de logiques modales.

En effet, dans une sémantique des mondes possibles, un énoncé est interprété en relation à un monde possible. Par exemple, on ne dira pas que p est simplement vrai ou faux mais qu'il est vrai ou faux par rapport à ou dans un monde possible. «Si le langage interprété est un langage propositionnel, une interprétation à mondes possibles (au sens de Kripke, dont la formulation a été et est toujours la plus influente) est un triplet « W, R, I », où W est un ensemble de mondes possibles, R est une relation définie sur W (dite relation d'accessibilité) et I est une fonction qui assigne à chaque énoncé du langage une valeur de vérité par rapport à un monde possible. La validité est définie comme vérité dans tous les mondes possibles »(^19(*)).

Essayons d'illustrer ce que nous venons de dire par un exemple. Soit l'expression suivante : {[(pq) p]q}.

Précisons d'abord que dans la sémantique des mondes possibles, la possibilité et la nécessité sont interprétées respectivement comme vérité dans au moins un monde possible et vérité dans tous les mondes possibles. Ceci étant, nous pouvons évaluer notre expression par la méthode des tableaux sémantiques.

	F	R.A.R (relation d'accessibilité réflexive)	V		F
	(1) {[(pq) p]q} (x)		(3-2) (pq)p (x) (5-3) p q x (6-3) p		(2-1) [(pq) p]q (x) (4-2) q
			1	2	1	2
			(6-3) p (6 et 7) p	(8-5) q (6-3)p (8 et 7)q	(7-5) p (4-2) q (6 et 7) p	(4-2) q (8 et 4) q

Comme R est réflexive, cela signifie que notre expression est exactement un théorème de T, c'est-à-dire du système de logique modale de base développée par Von Wright. Essayons de la démontrer dans le système T.

Théorème : {[(pq) p]q}

1. p (pq) AX2

2. p (~p q) 1, définition de l'implication matérielle

3. (pr) (pq) 2, substitution de p/pr et ~p/p

4. (~pr) (pq) 3, définition de l'implication matérielle

5. [(pvq)? (qvp)] (pq) 4, substitution de ~p/pvq et r/qvp

6. (pvq) ? (qvp) AX3

7. p?q détachement de 5 et 6

8. (pvp) ? p Ax1

9. (~ p ? p ) ? p 8, définition de l'implication matérielle

10. (p? q ) ? q 9, substitution de ~ p/p et p/q

11. q détachement de 10 et 7

12. q?p 7, substitution de p/q et q/p

13. p détachement de 12 et 11

14. ( p?q) ^ p RSC^20(*) 7 et 13

15. [(p?q) ^ p] ? q RSB^21(*) 14 et 11

16. {[(p ?q) ^ p] ? q}15, RD6^22(*)

CQFD

* 18. Cfr Idem, §17.

* 19. Ibidem

* 20. Règle secondaire C : si A et B alors ( A^ B)

* 21. Règle secondaire b : si A et B alors ( A?B)

* 22. Règle de déduction 6 : si alors