Estimation non-paramétrique par noyaux associés et données de panel en marketing

4.2.5 Choix de fenetres

Nous présentons a ce niveau trois méthodes de choix de fenêtres pour approcher a valeur idéale de la fenêtre h définie par

hid = arg min h>0

MISE(n,h,K,f) = hid(n,K,f). (4.17)

a. Minimisation des erreurs _quadrati_ques

Du point de vue purement prati_que on X = (X1, . . . ,X_n) est un échantillon de variables aléatoires de fonction de masse de probabilité f, associé aussi a la distribution empiri_que f0 de f, nous proposons maintenant _quel_ques t_ypes de fenêtres liées aux erreurs d'estimations. La premiere est déduite de ???rr??r _q???r?t?_q?? ??te_?r(? (en an_glais " Inte_grated S_quared Error") définie par

ISE := E x?N

{ :In(x) -- f(x) }2 = ISE(X; h,K,f), (4.18)

la_quelle mesure sur un seul échantillon X l'écart (au sens _quadrati_que) entre f^b et f. Par
consé_quent, la minimisation en h de l'ISE (4.18) conduit a choisir une fenêtre adé_quate

h** = arg min h>0

ISE(X;h,K,f) = h^**(n,K,f). (4.19)

En rempla_cant f par f0 dans (4.19), nous utilisons h^**₀ = h^**(n,K,f0) pour le lissa_ge discret d'un f0 de f. Autrement dit, nous avons

h** 0= arg min h>0

ISE(X;h,K,f) = h^**(n,K,f0). (4.20)

Basé sur la conver_gence de f0 vers f _quand n --> +00, nous avons immédiatement

lim n?+8

h** 0(n,K,f0) = lim n?+8

h^**(n,K,f), (4.21)

pour un t_ype de no_yau associé K donné. L'importance de la fenetre adéquate h^** (4.19) de h est due, en partie, aux relations suivantes

MISE = E (ISE) = E x??

MSE (x). (4.22)

b. Validation croisée Toutcommelecascontinu,laméthodeclassi_quedevalidationcroisée(enan_glais"Cross Validation") ne fait pas usa_ge des approximations des dérivées de f est tou_jours applicable dans le contexte des estimateurs a no_yau discret pour mieux estimer la valeur idéale hid (4.17) de h.

Le principe de cette méthode est de minimiser par rapport a h un estimateur de MISE pour trouver le paramètre optimal. Pour cela la forme du MISE peut etre développé comme suit:

MISE = E {E R(x)} - 2E {Ef_n(x) f (x)}+ E f (x)².

x?N x?N x?N

Le terme _Ex?N f(x)² n'est pas aléatoire, et ne dépend pas de h. Nous notons alors,

MISE_cv = E E f^--2_n (x ) - 2E { E (x) f (x)} = MISE_cv(h),

x?N x?N

1^.12_n(x) _qui est un estimateur sans

le terme MISE _qui dépend de h. Dans la suite, nous déterminons un estimateur CV (h)

de MISE_cv. D'abord, nous avons évidemment x?N

biais de E {Ex?N f^-12n(x)} .

Ensuite, soit

1 fn,-i(x) = n - 1E jai

Kx,h (Xj)

Par construction,

1

i=1

1

i=1

KX%,h (Xj)

n(n - 1)

ij

est un estimateur de E {r x?N

^bf_n(x)f(x)} et on vérifie de plus _qu'il est sans biais En

effet, d'une part, comme les Xi sont i.i.d., nous avons

?

?

?

i=1

j1

= E

1

n(n - 1)

KX,,h (Xj)

?

?

?

= E

1_E

n - 1 j1

K (Xj)

= E {KX,,h (X2)}

Finalement, nous venons de montrer _que

CV (h) = E xEN

^b1^2n(x) - n2

Xn i=1

^b1n,-i (Xi)

( n 2

= E _n E Kx,h (Xi) } 2- n(n - 1) E E KXi,h (Xj).(4.23)

xEN i=1 i=1 j6=1

est un estimateur sans biais de MISE_cv. Par consé_quent, la fen:etre optimale par la méthode de la validation croisée s'obtient par

hcv = arg min h>0

CV (h) (4.24)

on CV(h) est donné en (4.23). Pour _quel_ques détails, nous pouvons nous référer a de nombreux auteurs tels Bowman (1984), Marron (1984) Rudemo (1982) Stone (1984) et leurs références.

c. Exces de zeros

Pour cette section, le choix de la fen:etre repose sur une particularité des données de compta_ge avec ? = N _qui n'est autre _que l'exces des zéros dans léchantillon X = (X1, . . . ,X_n). Pour ce phénomene bien connu (voir, par exemple Kokonend_ji et al., 2007, et leurs références) et étant donné un no_yau discret associé K_x,h, nous pouvons choisir une fen:etre adaptée h0 = h0(X; K) de h satisfaisant

Xn i=1

Pr (KXi,h0 = 0) = n0, (4.25)

on n0 dési_gne le nombre des zéros dans X_; voir Marsh & Mukhopadh_ya_y (1999) pour leur no_yau du t_ype poissonnien. Cette fen:etre h0 a_juste le nombre de zéros théori_que au nombre de zéros observé.

L'é_quation (4.25) s'obtient a partir de lexpression

E {in(x)} = E yEN

Pr (Kx,h) 1(y),

dans la_quelle nous prenons y = 0 et 1(0) = 1 afin d'identifier le nombre de zéros théori_ques au nombres de zéros empiri_ques n0.

Dans le cas du no_yau associé poissonien la fen:etre adaptée h0 est connue explicitement. Tandis _que dans le cas des no_yaux associés binomial et binomial né_gatif, la fen:etre h0 est obtenue par la résolution numéri_que dune é_quation non-linéaire (voir Table 4.1)

4.3 No_yau associe discret multiple

TAB. 4.1 -- Solutions h0 pour les no_yaux associes discrets standards

T_ype de no_yau h0

Poisson h0 = log (n1:0 Ein 1 eXi

Binomial (1--h0

= n0

Li=1 Xi+1

Binomial négatif Eiⁿ=1 (2XXi+i+1+1h0 = n0

fonction de masse de probabilité f et inconnue defini sur = N de dimension d. L'esti-

b

mateur f_n de f no_yau asocié discret est

fn (x) = 1 n

Xn i=1

Kx,H (Xi) , (4.26)

on la cible x =^t (x1, . . . ,xd), H est la matrice pleine inversible de variance-covariance desfenêtres hdedimension d×d(présentéedanslasection2.2),et Xi =^t _(Xi1, . . . ,Xid). La fonction K_x,H est le no_yau associé as_ymétri_que sur ?x,h.

Dans le but d'avoir une forme plus s_ympathi_que et _qui ne dépend pas des coefcients de corrélation,nousprésentonsl'estimateur (4.26)_quiutiliseleproduitdesno_yauxassociés univariés. En efet, nous avons

fn (x) = 1 n

Xn i=1

? ? ?

d j=1

Kj xj,hj (Xij)

? ? ?

,

(4.27)

on xj est la _jème composante du vecteur x, hj est la _jème fenêtre et Xij est la ième observation de la _jème composante. Le no_yau associé Kj est la fonction no_yau associé univarié décrite tout au lon_g de cette partie.