4.2 Noyau associé discret pour des données de
comptage
Pareillement a la section précédente, nous
donnons dans cette partie lestimateur a noyau associé discret
pour des données de dénombrement Noustravaillons essentiellement
sur un ensemble fini (ou encore n'importe quel ensemble
dénombrable notamment Z, N + qN, etc). Nous calculons les
propriétés fondamentales pour cet estimateur en utilisant les
différences finies ala place des dérivées. Nous
présentons dans a suite 4 exemples de noyaux associés
discrets symétriques et standards
asymétriques.
4.2.1 Noyau associé poissonien
Nous rappelons qu'une loi de Poisson Po(A) de
paramètre A est une loi discrète définie sur N de fonction
de masse de probabilité Pr(X = x) telle que pour tout x dans
N, nous avons
Pr(X = x) = e-ë Ax x!.
Si X est une variable aléatoire qui suit la loi
Poisson alors lespérance et la variance sont respectivement
égales a
E(X) = A et V ar(X) = A.
0 5 10 15
x=5
0 5 10 15
x=7
0 5 10 15
y
0 5 10 15
y
FIG. 4.4 Illustration du noyau associ poissonnien pour
h = 0.1 et x variée
x=0
5 10 15
x=2
x=1
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
0 5 10 15
x=4
0.00 0.15 0.30
0.0 02 0.4
Probab(y)
Probab(y)
0.00 0.10 0.20
?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
0.00 0.10
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
Probab(y)
0.00 0.10
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ?
0.00 0.06 0.12
?
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?
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?
?
?
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?
?
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?
?
La figure 4.4 illustre la variation de la fonction de
masse poissonienne pour h = 0.1. Soit KPo(x+h) le noyau poissonien
associé a la variable aléatoire KP o(x+h) sur x,h = N
tel que:
avec x ? N, y ? N et h > 0 est le parametre de
lissage discret. Ce noyau poissonien KPo(x+h)(y) =
e-(x+h)(x +
!
vérifie-t-il la définition d'un noyau
associé? En effet nous avons
i.? n ?x,h = N n N = N=6 Ø. ii.?xN = N.
iii.E (KP o(x+h)) = x + h ~xquand h ? 0.
iv. V ar (KPo(x+h)) = x + h < 8. v.h ? 0 V ar (KP
o(x+h)) = x.
Soit ,Xn un échantillon de variables
aléatoires i.i.d . de fonction de masse de
probabilité discrete inconnue f définie
sur un ensemble discret ? = N. L'estimateur fn de f a noyau
associé poissonien est défini par
|
bfn(x) = 1
n
|
Xn
i=1
|
KPo(x+h)(Xi)
|
1
n
=
Xn
i=1
e-(x+h) (x + h)Xi
Xi! ,
avec x ? N et h > 0.
Cet estimateur est-il une fonction de masse de
probabilité? Non, en effet
|
X8
x=0
|
bfn(x) =
|
t° {1 KPo(x+h)(Xi)}
x=0 n i=1
|
=
X8
x=0
{KPo(x+h)(X1)}
=
~
X8 ~
e-(x+h)(x + h)X1 .
X1!
x=0
Nous avons calculé cette quantité
numériquement sous R, pour plusieurs valeurs de h et de X1,
nous avons abouti a des valeurs tres faibles par rapport a 1 Enfin,
lestimateur
b
fn(x) n'est pas une fonction de masse de
probabilité
Nous évaluons ainsi le biais et la variance de lestimateur
a noyau associé poissonien.
b
En se basant sur la relation (4.8), le biais ponctuel de
fn(x) en un point x fixé est
Biais {jn(x) } = h f (1) (x) +
21 (x + h)f(2)(x) + o(h).
b
|
De même, d'apres la relation (4.9), la variance de
|
fn(x) en un point x fixé est
|
V ar {fl(x)} = n x f(x)(x + ! e-(x+h).
Enfin, la valeur du MISE est
|
MISE(n,h,f) = 1 E
n x?N
|
(x + h)x f(x) x!e
|
2
-(x+h)+ E {hf(1)(x) + 21 (x+h)
f(2) (x) + o(h) } .
x?N
|
4.2. NOYAU ASSOCI] DISCRET POUR DES DONNÉES DE COMPTAGE
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| 
