Prédiction de l'interaction génotype à— environnement par linéarisation et régression PLS-mixte

4.2 La r'egression PLS sur un modèle de variance connue

La régression PLS est une méthode d'estimation particulière utilisée pour les modèles linéaires avec l'éventualitén < p. Pour ce type d'analyse, l'objectif est de prédire Y par des combinaisons linéaires des colonnes de X appelées variables latentes. Il est habituellement mis en oeuvre a` l'aide de l'algorithme NIPALS, Nonlinear estimation by iterative partial least squares (Wold 1966; de Jong 1993) o`u le calcul des variables latentes est effectuésimultanément avec un ensemble de régressions par OLS. Cependant, ces régressions sont adéquates seulement dans le cas des erreurs sur Y iid.

L'algorithme PLS appliquéa` un modèle de variance connue est effectuéen remplaçant les régressions OLS sur les variables latentes par des régressions GLS, General least squares, dont voici la description.

1. Centrer et éventuellement réduire X et Y : x0 = X, y0 = Y

2. Pour h = 1,··· ,H avec 1 H rang(X)

(a) Calculer les p-vecteurs wh = [w1 h · · · w^p _h]^' _V/X

o`u wp h = Cov(x^p _h, yh)/ Cov²(x^p _h, yh) et xp h la p^e colonne de xh

p

(b) Normer wh : wh = wh/ wh II

(c) Calculer les variables latentes PLS th = xh-1wh

(d) Calculer ch par régression GLS de _yh-1 sur th

yh-1 = thch + yh o`u Var(yh-1) = V ch =(t^' hV^-1th)^-t^' hV^-1yh-1

(e) Calculer ph par régression de _xh-1 sur th

)-¹_t'

xh-1 = thp' _h + xh d'o`u p' h =(t^' hth hxh-1

(f) Calculer les résidus xh et yh

(g) Alors Y = t1c1 +
·
·
· + _thch + yh

Ainsi, le seul changement par rapport a` l'algorithme PLS classique est le remplacement de la régression OLS par la régression GLS au point 2.(d).

4.3 La méthode PLS-Mixte

Les méthodes de vraisemblances, ML ou REML, comme techniques pour estimer les paramètres fixes et les composantes de variance dans un modèle linéaire mixte, ne sont applicables que dans le cas classique o`u le nombre de régresseurs est faible devant le nombre d'observations, c'est-à-dire n > p. Dans ce cas, comme nous l'avons vu, un algorithme itératif tel que l'algorithme EM est nécessaire pour obtenir l'estimation des paramètres inconnus.

Pour traiter du cas n < p, nous proposons d'imbriquer une méthode de réduction de dimension telle que la régression PLS dans l'algorithme EM. Puisqu'il s'agira d'estimer des composantes de variance dans un contexte de réduction de dimension, nous avons appelécette technique PLS-Mixte.

Avant cette méthode proposée, dans les modèles o`u il y avait plus de régresseurs que d'observations et plusieurs sources de variation, l'estimation des paramètres inconnus se faisait simplement par régression PLS, c'est-à-dire sans

tenir compte précisément des sources de variation. Aussi, avons-nous ^comparél'estimation faite par simple régression PLS a` celle faite par notre méthode en

utilisant le critère MSEP, Mean square error of prediction, dans les différentes applications de ce chapitre. La question de la convergence sera abordée plus loin.