Prédiction de l'interaction génotype à— environnement par linéarisation et régression PLS-mixte

I. Dieng, E. Goz'e, R. Sabatier

Lin'earisation autour d'un t'emoin pour pr'edire la r'eponse de cultures C. R. Biologies 329 (2006) 148-155

3.2.1 Le modèle proposé

Si nous partons du modèle de simulation de cultures, chacune des sorties de ce modèle, le rendement d'un g'enotype i dans un environnement j est la somme :

1. d'un rendement potentiel pr'edit avec le modèle de simulation;

2. d'un biais, esp'erance de l''ecart du potentiel au r'ealis'e;

3. d'une erreur al'eatoire.

Yij = f(Zj, èi) + îj + uij (3.2)

o`u Zj est le vecteur des variables telles que la pluie, la temperature, etc. mesurees sur l'environnement j et èi le vecteur de longueur P des paramètres du genotype i. Nous supposons que le biais îj ne depend que de l'environnement j : il est donc le màeme pour tous les genotypes d'un màeme environnement. L'erreur uij est supposee aleatoire avecE(uij) = 0 et Var(uij) = ó²_u.

Comme dit precedemment, les paramètres des modèles de simulation de cultures ne sont generalement connus que pour un petit nombre de genotypes. Considerons un modèle de simulation de cultures et un genotype de reference dont les paramètres sont connus et appelons è0 le vecteur de ses paramètres. Alors, supposons f de classe C¹ dans un voisinage de è0 et f' derivable sur ce voisinage. De plus supposons èi au voisinage de è0. En pratique, les genotypes dont nous chercherons a` estimer les paramètres seront choisis de telle sorte qu'ils ne soient pas trop eloignes du genotype de reference. Alors, un developpement en serie de Taylor a` l'ordre 1 nous donne :

f(Zj, èi) = f(Zj, è0) +

XP ?f [?è(p) (e^) - è^()) + ? [(èi - è0)^' (èi - è0)] (3.3) p=1 0=00 ,Z=Zj

avec è^(p) _iet è₀^p) la p^e composante du vecteur de paramètres respectivement du genotype i et du genotype de reference.

Posons

X4^p) = [?Zd0=00,Z=Zj

c'est une fonction de l'environnement j, et

â(p) _i= è^(p) i-- è(p)

0

une fonction du g'enotype i.

La fonction X(p)

j est la d'eriv'ee partielle de la sortie du modele de simulation de cultures pour l'environnement j par rapport a` la p^e composante du vecteur de parametres de la vari'et'e de r'ef'erence. Comme la fonction f n'est pas g'en'eralement connue analytiquement, ces sensibilit'es peuvent àetre obtenues par une m'ethode de d'erivation num'erique. Nous avons retenu tout simplement

X(p) = ? f

j [f + hè_,c₎p) ) -- f (èO^p) -- hè_,c_,p))

[BB(P) 0=00,Z=Zj 1

2h (

è,?

Z=Zj

avec h_è(p) ₀tres petit, de l'ordre de è₀^p).10^-4 en pratique. D'autres m'ethodes existent, celle-ci 'etant la plus simple et la plus 'econome en calculs.

Avec ces notations et d'apres les 'equations (3.2) et (3.3) qui permettent d''ecrire

f(Zj, è0) = Y0j -- îj -- u0j

nous pouvons poser, en n'egligeant o [(èi -- è0)^'(èi -- è0)] :

Yij -- Y0j =

XP p=1

X(p) j · â(p) i + oij (3.4)

o`u oij = uij -- u0j.

Ainsi,E(oij) = 0, Var(oij) = 2ó² _u,Cov(oij, oi'j') = 0, mais Cov(oij, oi^'j) = ó² _u.

Si nous disposons de I g'enotypes et de J environnements, nous pouvons poser le modele suivant :

Y -- (Y0 1I) = X
· â + o (3.5)

Le vecteur Y repr'esente le rendement de tous les g'enotypes dans tous les envi-
ronnements, rang'e par environnement et par g'enotype. Si tous les g'enotypes

ont eteobserves une fois dans chaque environnement, ce vecteur est de lon-
gueur IJ. Puis Y^'0 = (Y01 · · · Y0J) et 1I est un vecteur formede 1, de longueur