Enseignement apprentissage de la géometrie dans un environnement informatique

RÉPUBLIQUE DU MALI

UN PEUPLE-UN BUT-UNE FOI

ECOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE BAMAKO

ANNÉE SCOLAIRE 20006-2007

MÉMOIRE PROFESSIONNEL

PROFESSEUR DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE

MATHÉMATIQUES

UNE SÉQUENCE D'ENSEIGNEMENT/APPRENTISSAGE DE LA GÉOMÉTRIE PLANE DANS L'ENVIRONNEMENT GEOGEBRA

PRÉSENTÉ ET SOUTENU PAR

SALOUM TOURÉ ET SINALY DISSA

SOUS LA DIRECTION DE

DR MAMADOU SANGARÉ

Sommaire :

Introduction................................................................ 

A. Partie théorique..................................................................

I. La notion de figure et de dessin en géométrie..........................................

II. Présentation du logiciel GeoGebra ......................................................

III. Les apports du logiciel GeoGebra dans l'appréhension de la notion de figure géométrique................................................................................ 

IV.Le rôle de la figure dans l'argumentation .............................................

B .PARTIE EXPERIMENTALE................................................

I. Méthodologie : .............................................................................

II. Description et analyse de la séquence.................................................

III. Analyse des résultats de l'expérimentation .........................................

IV.Synthèse des résultats....................................................................

V. Discussion.................................................................................

C. CONCLUSION........................................................................

ANNEXES.........................................................................................

INTRODUCTION

L'informatique et les ordinateurs sont de plus en plus présents dans les différentes professions et interviennent dans tout un ensemble de pratiques sociales : optimisation et recherche opérationnelle, automatisation, consultation des bases de données, écritures d'articles ou de rapport etc.

Durant ces deux ans, nous entendons parler de T.I.C.E (Technologie de l'information et de la Communication pour l'Enseignement). Nous n'en avions pas entendu parler pendant nôtre passage à la faculté. Mais nous étions convaincu que l'utilisation de ces « nouvelles » technologies dans l'enseignement semble être un bon moyen de rendre attractif une séance, de comprendre une notion mathématique ou en encore de « varier » un enseignement.

La présence de salles d'informatique dans la plupart des lycées et l'intérêt que porte les élèves pour l'ordinateur sont venus renforcer nôtre motivation à vouloir intégrer les T.I.C (Technologie de l'Information et de la Communication) dans l'enseignement de mathématiques.

Nous avons découvert que l'ordinateur permet de rechercher et d'observer des lois expérimentales dans deux champs naturels d'application interne des mathématiques : les nombres et les figures du plan et de l'espace. Cette possibilité d'expérimenter, classiquement plus propre aux autres disciplines, doit ouvrir largement la dialectique entre l'observation et la démonstration, et, sans doute à terme, changer profondément la nature de l'enseignement.

Face à une telle importance accordée à l'intégration des T.I.C.E dans l'enseignement des mathématiques, l'analyse de la question suivante devient cruciale.

« Est-ce possible d'engager nos élèves dans une situation d'enseigement-apprentissage avec l'ordinateur ? »

Nous avons alors décidé de faire un travail de réflexion commune sur cette question. En étudiant précisément l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique : GeoGebra. Pour cause, l'enseignement de la géométrie pause beaucoup de problème dû au statut de ses objets en environnement papier/crayon. De plus, les instructions officielles (programmes, savoir faire et découpage de programme) du Mali n'exigent pas un environnement de travail (papier/crayon ou ordinateur) pour l'enseignement/apprentissage de la géométrie en 10^ème Science.

L'apprentissage par l'enseignant de ces « nouvelles » technologies est une étape que nous avons trouvé indispensable, mais il nous semble important d'avoir une véritable réflexion sur ces outils : Quelles potentialités de ces outils utiliser en fonction des notions enseignées ? A quel moment de l'étude les utiliser ? Quels sont les apports de cette utilisation pour notre enseignement ? Pour nos élèves ?

Nous avons donc cherché des outils théoriques de la didactique des mathématiques. Ceux qui nous ont aidés à formuler nôtre problématique. Puis nous avons élaboré une séquence d'enseignement apprentissage que nous avons expérimentée et analysée.

Le plan de ce mémoire est le suivant :

- Une première partie qui comprend les outils théoriques qui ont servis à notre travail de réflexion ;

- Une deuxième partie, qui comprend la description de l'ensemble des séances que nous avons expérimentées et qui se termine par une analyse des résultats.

- Dans la troisième partie, nous donnons les conclusions de notre travail de réflexion ;

- La quatrième et dernière partie de ce mémoire regroupe les documents annexes dont la bibliographie utilisée dans notre travail.

A. PARTIE THÉORIQUE :

I. LA NOTION DE FIGURE ET DE DESSIN EN GÉOMÉTRIE

La géométrie a pour objet la construction et l'étude raisonnée des figures .On peut naturellement se poser la question :

I.1. Qu'est-ce qu'une figure géométrique ?

Dans les articles abordant ce sujet, peu d'auteurs se risquent à donner une définition de l'expression « figure géométrique » mais il est beaucoup question de la relation entre figure, dessin, représentation...

Platon évoquait déjà se sujet dans La République (Livre IV) : « ... tu sais aussi qu'ils se servent de figures visibles et qu'ils raisonnent sur ces figures, quoique ce ne soit point à elles qu'ils pensent, mais à d'autres auxquelles celles-ci ressemblent. Par exemple, c'est du carré en soi, de la diagonale en soi qu'ils raisonnent, et non de la diagonale telle qu'ils la tracent, et il faut en dire autant de toutes les autres figures. »

Cette phrase contient deux points essentiels : le fait qu'une figure sert à raisonner, et que le tracé visible n'est que le représentant d'un objet abstrait. On retrouve ces idées dans les textes actuels, avec cependant des nuances. Tous s'accordent pour dire qu'un dessin géométrique n'est pas une figure, bien que l'expression « tracer une figure » entretienne l'ambiguïté. Pour certains, le dessin devient figure dès qu'il est complété par l'énoncé de ses propriétés. Parzysz^1(*) (1989) pense que « la figure géométrique est l'objet géométrique décrit par le texte qui la définit, une idée, une création de l'esprit tandis que le dessin en est une représentation ».

Laborde et Capponi^2(*) précisent cette idée en définissant la figure géométrique comme « relation entre un objet géométrique et ses représentations possibles ».

Dans tous les cas, il y a bien, d'une part un objet idéal, dont on peut énoncer des propriétés et sur lequel porte le raisonnement, d'autre part des représentations de cet objet. Il semble que dans l'usage courant, le même mot, par exemple carré, serve à désigner à la fois l'objet idéal et les représentations de cet objet.

Comment un élève, au cours de sa scolarité, prend-il conscience de ce double statut de la figure géométrique ? Cette prise de conscience est-elle nécessaire ?

I.2. La figure est elle d'abord un dessin ?

Dans l'article de Laborde et Capponi (1994) il est évoqué la complexité des rapports entre dessin et objets géométriques : le dessin géométrique n'est pas nécessairement interprété par son lecteur comme renvoyant à un objet géométrique. De plus un même dessin peut avoir de multiples interprétations (selon les connaissances du lecteur mais aussi selon la nature du dessin, le contexte). Parzysz (1986)^3(*) souligne aussi ce problème : « la représentation [d'une figure] se révèle par nature insuffisante, de l'ordre de la métaphore en quelque sorte, et l'interprétation nécessaire qu'en fait le récepteur pour lui donner un sens risque alors d'être abusive ». Pour lui l'interprétation peut se faire grâce à une certaine connivence entre l'auteur de la représentation et son lecteur (le récepteur). Cette connivence porte :

- sur la nature des êtres représentés (basés sur un certain nombre d'archétypes : point, segment, cercle, etc.) ;

- sur le fait que certaines figures ne sont pas représentables (droites, plans).

Un dessin peut rendre compte des propriétés d'un objet géométrique mais il ne peut pas définir complètement cet objet. La pratique de la géométrie nécessite donc, comme le dit Arsac (1992)4(*) « un aller retour constant entre le dessin et un texte, un énoncé ». Par exemple, c'est en revenant à l'énoncé que l'on décide de la validité d'une conjecture en prenant en compte ce qui est donné en hypothèse ou ce qui peut s'en déduire.

Par son caractère figé, on ne peut pas savoir exactement ce qui est propre à l'objet mathématique ou ce qui dépend seulement de la configuration. Par exemple, le fait que l'orthocentre se trouve à l'intérieur d'un triangle est une propriété qui pourrait sembler vraie sur un grand nombre de dessins (Arsac, 1992, page 174).

C'est pourquoi les possibilités de modifications interactives d'un dessin à l'aide d'un logiciel comme GeoGebra parait intéressantes.

I.3. Le dessin et la figure en papier/crayon :

Dans l'enseignement/apprentissage de la géométrie en papier/crayon les figures ne sont pas modifiables. La validation d'une construction devient très difficile voire même impossible.

Les instruments de l'environnement papier/crayon (crayon, équerre, règle, compas etc.) cachent des propriétés géométriques importantes dans l'appréhension d'une figure. Puisqu'ils ne mettent pas assez d'outils de validation à la disposition des élèves lors de la construction.

Cet environnement favorise aussidles évidences mathématiques implicites (par exemple l'intersection de deux objets géométriques) qui diminuent la rigueur dans la construction d'une figure géométrique.

Par contre, lors des situations problèmes, les élèves ont parfois besoin de se confronter au réel pour faire interagir les différents sens (vue, toucher...) et les associations mentales. Dans ces cas, la réalité virtuelle proposée par un logiciel pourrait tout à fait évacuer des entrées importantes pour l'élève (la représentation en trois dimension par exemple).

Ceci implique de ne pas omettre d'enseigner en classe l'utilisation des outils (crayon, équerre, règle, compas etc.) qui seraient absente dans le cas d'une utilisation systématique d'un logiciel de géométrie..

II. PRÉSENTATION DU LOGICIEL GEOGEBRA :

Que signifie géométrie dynamique ?

Le terme géométrie dynamique désigne à la fois l'environnement géométrique et l'ensemble des outils qui permettent d'explorer de façon interactive les propriétés des objets géométriques en effectuant des opérations de nature géométrique : tracé de courbe, transformation géométrique, projection, etc., tout en respectant les contraintes du milieu géométrique : parallélisme et orthogonalité en géométrie euclidienne, par exemple.

La plupart du temps, ce terme désigne les logiciels qui offrent un tel environnement de travail. Ils offrent une panoplie d'outils qui permettent d'explorer de façon étendue différentes propriétés géométriques.

II.1.Description et historique du logiciel GeoGebra :

GeoGebra est un logiciel de géométrie dynamique qui permet de manipuler des objets géométriques du plan (cercle, droite et angle, par exemple) et de voir immédiatement le résultat, de plus il admet un ensemble de fonctions algébriques.

Lorsqu'on compare les figures faites avec GeoGebra au tracé sur feuille de papier, son intérêt tient à ce qu'il soit possible d'établir des liens entre les différents objets (par exemple, parallélisme et bissectrice d'un angle) et le logiciel maintient ceux-ci après un « Déplacement ».

Il est principalement utilisé par des enseignants, mais toute personne souhaitant explorer de façon visuelle les transformations euclidiennes dans le plan en tirera profit.

Ce logiciel est en théorie, fonctionnel sur tout système d'exploitation : Windows, Linux, Mac OS, etc.  Il suffit de le lancer via Internet, il vient généralement avec la distribution récente.

Une fois le logiciel lancé, l'utilisateur peut manipuler les différents objets géométriques de base dans un plan : cercle, droite, angle, etc. Il peut aussi s'exécuter depuis un poste d'ordinateur non connecté à Internet en le téléchargeant.(Voir le site officiel en annexe).

C'est un logiciel libre et gratuit. Il est distribué sous la licence GNU, c'est à dire tout le monde peut l'utiliser, l'étudier le modifier et le redistribuer. Dans tous les cas, certaines restrictions s'appliquent, mais aucune qui empêche de l'utiliser et de le répliquer autant que souhaité.

Il a été développé par Markus Hohenwarter, professeur autrichien travaillant à l'Université de Salzbourg, qui ne le maintient plus depuis l'été 2006. Le développement et la maintenance du logiciel sont effectués par une autre personne.

II.2. Quelques utilisations possibles du logiciel dans l'enseignement des maths au lycée :

Comme décrit précédemment, géométrie dynamique, algèbre et calculs s'associent pour former GeoGebra. C'est un logiciel, qui associe géométrie et algèbre comme des partenaires d'égale importance.

De la manière la plus simple, on peut faire des constructions contenant des points, des vecteurs, des segments, des droites, et des coniques aussi bien que des fonctions, qui peuvent être modifiées ensuite dynamiquement à la souris. D'une autre manière, la saisie telle que : g: 3x + 4y = 7 ou: c: (x - 2)2 + (y - 3)2 = 25 est possible, et une gamme de commandes contenant différentiation et intégration est à votre disposition.

La caractéristique la plus remarquable de GeoGebra est la double perception des objets : chaque expression de la « Fenêtre Algèbre » correspond à un objet dans « la Feuille de Travail » et vice versa (voir fenêtre de démarrage en annexe).

Les exploitations pédagogiques possibles sont :

- Le professeur pourra l'utiliser dans le cadre de la préparation de ses cours pour produire certaines constructions de figure géométrique du plan difficilement réalisable en papier/ crayon (par exemple l'ellipse) ;

- L'utiliser autour d'un projecteur (ou dans une salle d'informatique) pour faire voir aux élèves les cas de figures possibles et les invariants d'une construction géométrique à l'aide du « déplacement » .

III. LES APPORTS DU LOGICIEL GEOGEBRA DANS L'APPRÉHENSION DE LA NOTION DE FIGURE GÉOMÉTRIQUE :

L'utilisation de GeoGebra peut aider les élèves à comprendre le rôle des propriétés géométriques dans la définition d'un objet. Il permet de construire soit des éléments de base (points, droites....) soit des objets définis par des relations aux éléments déjà tracés.

Pour obtenir, à partir de deux points A et B, un parallélogramme ABCD, un élève peut tracer « au jugé », des droites de base, c'est-à-dire qu'il se fie à sa perception visuelle : « ça à l'air d'un parallélogramme ». Bien qu'il n'ait nullement enregistré que les droites tracées sont parallèles, il pense avoir réalisé la tâche demandée. Si alors, on lui demande de déplacer le point A, le parallélogramme se déforme en un quadrilatère dont les côtés ne sont plus parallèles, ce qui invalide sa construction. Il peut alors mieux comprendre la nécessité d'utiliser les propriétés de la figure pour définir les éléments à construire. Ceci est particulièrement flagrant pour certaines constructions comme celle d'une tangente à un cercle passant par un point donné. En papier/crayon, les élèves ont tendance à procéder empiriquement en faisant tourner la règle autour du point, et il est très difficile de disqualifier leur procédé : pour eux, la droite tracée respecte bien la caractéristique d'une tangente. Avec un logiciel comme GeoGebra, un tel procédé au jugé sera immédiatement invalidé par un déplacement, mais alors, cette sanction ne sera pas perçue comme une contrainte arbitraire fixée par l'enseignant ; « le dispositif oblige à la distinction entre tracé et procédé de tracé . D'autre part, l'enseignant est absent du processus de communication au dispositif ».

De plus, la possibilité de modifier le dessin en déplaçant les points de base a le même effet que la construction en papier/crayon de plusieurs figures correspondant au même énoncé : elle met en évidence les invariants et est ainsi source de conjectures et de questionnements.

En effet un GeoGebra-dessin^5(*) possède en quelque sorte une mobilité intelligente qui offre à un objet géométrique une nouvelle représentation. Un dessin appartient à l'univers des représentations possibles d'un objet géométrique. A partir d'un GeoGebra-dessin on peut décrire une large partie de cet univers avec rapidité et simplicité. Ceci offre ainsi un formidable outil pour conjecturer.

IV. LE RÔLE DE LA FIGURE DANS LA DEMONSTRATION :

Au second cycle de l'enseignement fondamentale et encore souvent au lycée, les élèves ont du mal à se convaincre du fait qu'un dessin ne suffit pas pour démontrer une propriété. Mais les élèves font-ils la différence entre démonstration et argumentation ? En effet, si pour eux démontrer signifie argumenter, alors un dessin est un bon argument pour convaincre ses pairs. C'est d'ailleurs un point développé par (Arsac 1992, page 175) : « On constate donc que la démonstration en géométrie présente des difficultés particulières à cause du statut de l'objet sur lequel elle porte. Ceci constitue une spécificité par rapport à la démonstration en arithmétique par exemple ».

Comme nous avons pu le constater dans le paragraphe précédent, l'interprétation d'un dessin pose problème aux élèves. Or ce dessin a un statut qui évolue tout au long du cursus de l'élève : jusqu'en cinquième (7^e au Mali), l'accent est mis sur la précision du tracé, la description, l'utilisation du matériel de géométrie ; par la suite, le statut de figure va évoluer et de nouvelles tâches apparaissent ou disparaissent (Arsac, 1992, page 167). Certains problèmes sont encore des problèmes de construction. Mais cette construction peut faire appel à une propriété et nécessite donc un raisonnement, voire même une démonstration. La tâche peut être aussi compliquée afin d'obliger l'élève à utiliser une propriété (par exemple le professeur peut décider d'interdire l'utilisation de la règle ou de l'équerre).

Avec l'apparition progressive de la démonstration (qui apparaît dès la 7^e sous la forme de « courtes séquences déductives »), le dessin est un outil, en ce sens qu'il peut aider l'élève à plusieurs niveaux :

1) Visualiser : passer du registre du langage naturel au registre graphique (au sens de Raymond Duval, 1993) aide à avoir une meilleure perception d'une situation. De plus l'illustration d'un théorème par un dessin permet de se construire une image mentale à laquelle on peut faire appel lors de la résolution d'un problème ;

2) Conjecturer : à partir de plusieurs dessins, on peut voir apparaître un invariant qui peut donner lieu à une propriété qu'il faudra démontrer ;

3) Démontrer : à partir d'un énoncé, faire un dessin codé comportant les données aide à reconnaître des configurations et donne une idée des propriétés à utiliser. Dans les exercices de géométrie, la tâche « faire un dessin » disparaît peu à peu. Cependant elle doit être un geste automatique pour l'élève ;

4) Se convaincre : un dessin peut servir à illustrer une propriété mais peut être aussi un contre-exemple.

Dans chacun de ces actes le dessin a un statut différent et l'élève ne s'y retrouve pas forcément. L'élève doit parfois constater des choses sur un dessin (lorsqu'il conjecture ou qu'il donne un contre-exemple) mais il n'aura pas le droit de le faire lorsqu'il s'agit de faire une démonstration. Ainsi, un élève peut être tout à fait convaincu d'une propriété alors que ce n'est encore qu'une conjecture. Par exemple en 8^e, les élèves doivent conjecturer le théorème suivant : « Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté ». Après avoir fait le dessin, la plupart des élèves sont persuadés que la droite passe par le milieu du troisième côté, c'est une évidence. Ce type de difficulté se retrouve encore en 10^e, certains élèves utilisant en début de démonstration des évidences visuelles comme si elles étaient des données de l'énoncé (droites parallèles, vecteurs et angles égaux).

Par contre, un dessin peut induire en erreur ou donner une fausse impression et c'est alors la démonstration qui convaincra. C'est d'ailleurs une des réponse à la question : « pourquoi démontrer ? ». La démonstration permet de convaincre mais aussi de comprendre (Arsac, 1992, page 6).

Il faut pourtant noter qu'il est courant et accepté de prendre certaines informations sur la figure sans justification. Un exemple simple : sur le segment [AB], placer les points E et F tels que AE = EF = FB. Tout le monde admettra qu'il y a une seule figure possible, mais ce n'est jamais démontré et pourtant ce n'est pas un théorème du cours. De même, pour calculer une mesure d'angle, on écrira cet angle comme somme d'angles de mesure connue, sans justifier cette décomposition. C'est la même chose pour un calcul d'aire. Ainsi, les propriétés d'ordre, de régionalement, dans certains cas d'intersection, peuvent être généralement admises directement de la constatation visuelle sur le dessin.

« Le dessin est donc soit superflu soit indispensable » ( Rolet, 1997)

B. PARTIE EXPÉRIMENTALE :

I. Méthodologie :

Dans cette partie expérimentale les activités sont définies à partir d'une séquence que nous nommons « sous séquence3 » (SS3). En fait, c'est lors de cette sous séquence que nous proposons aux élèves des activités de constructions géométriques dans l'environnement du logiciel GeoGebra.

Ainsi nous avons fait ressortir de l'analyse de la « sous séquence3 » les instructions du logiciel nécessaire à son exécution. Ce qui fera l'oeuvre d'une séquence d'enseignement que nous nommons « sous sequence2 » (SS2).

D'autre part, nous ferons ressortir les instructions du système d'exploitation de Microsoft Windows (qui est sur les machines dont nous disposons) et des techniques de manipulation de l'ordinateur nécessaire à l'exécution de la « sous séquence2 » par rapport à la « sous séquence3 ». Nous nommons l'enseignement de ces instructions du système d'exploitation « sous séquence1 » (SS1).

Les trois sous séquences définies ci-dessus sont exécutées en deux séances.

La première séance (Séance1) regroupe les « sous séquence1 » et « sous séquence2 ». Et la deuxième séance (Séance2) pour la « sous séquence3 ».

Par suite Nous analysons pour chaque sous séquence les comportements des élèves dans l'exécution des activités. Nous récupérons de plus des productions d'élèves (qui seront enregistré sur les machines) que nous analysons par rapport à nôtre problématique.

* ¹ Bernard Parzysz, Représentations planes et enseignement de la géométrie de l'espace au lycée. Contribution à l'étude de la relation voir-savoir, Thèse, Université de Paris VII, 1989

* ² Colette Laborde et Bernard Capponi, Cabri-géomètre constituant d'un milieu pour l'apprentissage de la notion de figure géométrique, Recherche en didactique des mathématiques vol. 14/1-2, La pensée sauvage, 1994.

* ³ PARZYSZ Bernard. Voir et savoir, la représentation du « perçu » et du « su » dans les dessins de la géométrie dans l'espace. Bulletin de l'APMEP n° 364. 1986.

* ⁴ ARSAC Gilbert et al. Initiation au raisonnement déductif au collège. Presse universitaire de Lyon. 1992

* ⁵ Représentation graphique sur l'écran de GeoGebra.