Memoire Online - Enseignement apprentissage de la géometrie dans un environnement informatique

I. La notion de figure et de dessin en géométrie..........................................

II. Présentation du logiciel GeoGebra ......................................................

III. Les apports du logiciel GeoGebra dans l'appréhension de la notion de figure géométrique................................................................................

IV.Le rôle de la figure dans l'argumentation .............................................

B .PARTIE EXPERIMENTALE................................................

I. Méthodologie : .............................................................................

II. Description et analyse de la séquence.................................................

III. Analyse des résultats de l'expérimentation .........................................

IV.Synthèse des résultats....................................................................

V. Discussion.................................................................................

C. CONCLUSION........................................................................

ANNEXES.........................................................................................

L'informatique et les ordinateurs sont de plus en plus présents dans les différentes professions et interviennent dans tout un ensemble de pratiques sociales : optimisation et recherche opérationnelle, automatisation, consultation des bases de données, écritures d'articles ou de rapport etc.

Durant ces deux ans, nous entendons parler de T.I.C.E (Technologie de l'information et de la Communication pour l'Enseignement). Nous n'en avions pas entendu parler pendant nôtre passage à la faculté. Mais nous étions convaincu que l'utilisation de ces « nouvelles » technologies dans l'enseignement semble être un bon moyen de rendre attractif une séance, de comprendre une notion mathématique ou en encore de « varier » un enseignement.

La présence de salles d'informatique dans la plupart des lycées et l'intérêt que porte les élèves pour l'ordinateur sont venus renforcer nôtre motivation à vouloir intégrer les T.I.C (Technologie de l'Information et de la Communication) dans l'enseignement de mathématiques.

Nous avons découvert que l'ordinateur permet de rechercher et d'observer des lois expérimentales dans deux champs naturels d'application interne des mathématiques : les nombres et les figures du plan et de l'espace. Cette possibilité d'expérimenter, classiquement plus propre aux autres disciplines, doit ouvrir largement la dialectique entre l'observation et la démonstration, et, sans doute à terme, changer profondément la nature de l'enseignement.

Face à une telle importance accordée à l'intégration des T.I.C.E dans l'enseignement des mathématiques, l'analyse de la question suivante devient cruciale.

« Est-ce possible d'engager nos élèves dans une situation d'enseigement-apprentissage avec l'ordinateur ? »

Nous avons alors décidé de faire un travail de réflexion commune sur cette question. En étudiant précisément l'utilisation d'un logiciel de géométrie dynamique : GeoGebra. Pour cause, l'enseignement de la géométrie pause beaucoup de problème dû au statut de ses objets en environnement papier/crayon. De plus, les instructions officielles (programmes, savoir faire et découpage de programme) du Mali n'exigent pas un environnement de travail (papier/crayon ou ordinateur) pour l'enseignement/apprentissage de la géométrie en 10^ème Science.

L'apprentissage par l'enseignant de ces « nouvelles » technologies est une étape que nous avons trouvé indispensable, mais il nous semble important d'avoir une véritable réflexion sur ces outils : Quelles potentialités de ces outils utiliser en fonction des notions enseignées ? A quel moment de l'étude les utiliser ? Quels sont les apports de cette utilisation pour notre enseignement ? Pour nos élèves ?

Nous avons donc cherché des outils théoriques de la didactique des mathématiques. Ceux qui nous ont aidés à formuler nôtre problématique. Puis nous avons élaboré une séquence d'enseignement apprentissage que nous avons expérimentée et analysée.

- Une première partie qui comprend les outils théoriques qui ont servis à notre travail de réflexion ;

- Une deuxième partie, qui comprend la description de l'ensemble des séances que nous avons expérimentées et qui se termine par une analyse des résultats.

- Dans la troisième partie, nous donnons les conclusions de notre travail de réflexion ;

- La quatrième et dernière partie de ce mémoire regroupe les documents annexes dont la bibliographie utilisée dans notre travail.

La géométrie a pour objet la construction et l'étude raisonnée des figures .On peut naturellement se poser la question :

Dans les articles abordant ce sujet, peu d'auteurs se risquent à donner une définition de l'expression « figure géométrique » mais il est beaucoup question de la relation entre figure, dessin, représentation...

Platon évoquait déjà se sujet dans La République (Livre IV) : « ... tu sais aussi qu'ils se servent de figures visibles et qu'ils raisonnent sur ces figures, quoique ce ne soit point à elles qu'ils pensent, mais à d'autres auxquelles celles-ci ressemblent. Par exemple, c'est du carré en soi, de la diagonale en soi qu'ils raisonnent, et non de la diagonale telle qu'ils la tracent, et il faut en dire autant de toutes les autres figures. »

Cette phrase contient deux points essentiels : le fait qu'une figure sert à raisonner, et que le tracé visible n'est que le représentant d'un objet abstrait. On retrouve ces idées dans les textes actuels, avec cependant des nuances. Tous s'accordent pour dire qu'un dessin géométrique n'est pas une figure, bien que l'expression « tracer une figure » entretienne l'ambiguïté. Pour certains, le dessin devient figure dès qu'il est complété par l'énoncé de ses propriétés. Parzysz^1(*) (1989) pense que « la figure géométrique est l'objet géométrique décrit par le texte qui la définit, une idée, une création de l'esprit tandis que le dessin en est une représentation ».

Laborde et Capponi^2(*) précisent cette idée en définissant la figure géométrique comme « relation entre un objet géométrique et ses représentations possibles ».

Dans tous les cas, il y a bien, d'une part un objet idéal, dont on peut énoncer des propriétés et sur lequel porte le raisonnement, d'autre part des représentations de cet objet. Il semble que dans l'usage courant, le même mot, par exemple carré, serve à désigner à la fois l'objet idéal et les représentations de cet objet.

Comment un élève, au cours de sa scolarité, prend-il conscience de ce double statut de la figure géométrique ? Cette prise de conscience est-elle nécessaire ?

Dans l'article de Laborde et Capponi (1994) il est évoqué la complexité des rapports entre dessin et objets géométriques : le dessin géométrique n'est pas nécessairement interprété par son lecteur comme renvoyant à un objet géométrique. De plus un même dessin peut avoir de multiples interprétations (selon les connaissances du lecteur mais aussi selon la nature du dessin, le contexte). Parzysz (1986)^3(*) souligne aussi ce problème : « la représentation [d'une figure] se révèle par nature insuffisante, de l'ordre de la métaphore en quelque sorte, et l'interprétation nécessaire qu'en fait le récepteur pour lui donner un sens risque alors d'être abusive ». Pour lui l'interprétation peut se faire grâce à une certaine connivence entre l'auteur de la représentation et son lecteur (le récepteur). Cette connivence porte :

- sur la nature des êtres représentés (basés sur un certain nombre d'archétypes : point, segment, cercle, etc.) ;

- sur le fait que certaines figures ne sont pas représentables (droites, plans).

Un dessin peut rendre compte des propriétés d'un objet géométrique mais il ne peut pas définir complètement cet objet. La pratique de la géométrie nécessite donc, comme le dit Arsac (1992)4(*) « un aller retour constant entre le dessin et un texte, un énoncé ». Par exemple, c'est en revenant à l'énoncé que l'on décide de la validité d'une conjecture en prenant en compte ce qui est donné en hypothèse ou ce qui peut s'en déduire.

Par son caractère figé, on ne peut pas savoir exactement ce qui est propre à l'objet mathématique ou ce qui dépend seulement de la configuration. Par exemple, le fait que l'orthocentre se trouve à l'intérieur d'un triangle est une propriété qui pourrait sembler vraie sur un grand nombre de dessins (Arsac, 1992, page 174).

C'est pourquoi les possibilités de modifications interactives d'un dessin à l'aide d'un logiciel comme GeoGebra parait intéressantes.

Dans l'enseignement/apprentissage de la géométrie en papier/crayon les figures ne sont pas modifiables. La validation d'une construction devient très difficile voire même impossible.

Les instruments de l'environnement papier/crayon (crayon, équerre, règle, compas etc.) cachent des propriétés géométriques importantes dans l'appréhension d'une figure. Puisqu'ils ne mettent pas assez d'outils de validation à la disposition des élèves lors de la construction.

Cet environnement favorise aussidles évidences mathématiques implicites (par exemple l'intersection de deux objets géométriques) qui diminuent la rigueur dans la construction d'une figure géométrique.

Par contre, lors des situations problèmes, les élèves ont parfois besoin de se confronter au réel pour faire interagir les différents sens (vue, toucher...) et les associations mentales. Dans ces cas, la réalité virtuelle proposée par un logiciel pourrait tout à fait évacuer des entrées importantes pour l'élève (la représentation en trois dimension par exemple).

Ceci implique de ne pas omettre d'enseigner en classe l'utilisation des outils (crayon, équerre, règle, compas etc.) qui seraient absente dans le cas d'une utilisation systématique d'un logiciel de géométrie..

Le terme géométrie dynamique désigne à la fois l'environnement géométrique et l'ensemble des outils qui permettent d'explorer de façon interactive les propriétés des objets géométriques en effectuant des opérations de nature géométrique : tracé de courbe, transformation géométrique, projection, etc., tout en respectant les contraintes du milieu géométrique : parallélisme et orthogonalité en géométrie euclidienne, par exemple.

La plupart du temps, ce terme désigne les logiciels qui offrent un tel environnement de travail. Ils offrent une panoplie d'outils qui permettent d'explorer de façon étendue différentes propriétés géométriques.

GeoGebra est un logiciel de géométrie dynamique qui permet de manipuler des objets géométriques du plan (cercle, droite et angle, par exemple) et de voir immédiatement le résultat, de plus il admet un ensemble de fonctions algébriques.

Lorsqu'on compare les figures faites avec GeoGebra au tracé sur feuille de papier, son intérêt tient à ce qu'il soit possible d'établir des liens entre les différents objets (par exemple, parallélisme et bissectrice d'un angle) et le logiciel maintient ceux-ci après un « Déplacement ».

Il est principalement utilisé par des enseignants, mais toute personne souhaitant explorer de façon visuelle les transformations euclidiennes dans le plan en tirera profit.

Ce logiciel est en théorie, fonctionnel sur tout système d'exploitation : Windows, Linux, Mac OS, etc. Il suffit de le lancer via Internet, il vient généralement avec la distribution récente.

Une fois le logiciel lancé, l'utilisateur peut manipuler les différents objets géométriques de base dans un plan : cercle, droite, angle, etc. Il peut aussi s'exécuter depuis un poste d'ordinateur non connecté à Internet en le téléchargeant.(Voir le site officiel en annexe).

C'est un logiciel libre et gratuit. Il est distribué sous la licence GNU, c'est à dire tout le monde peut l'utiliser, l'étudier le modifier et le redistribuer. Dans tous les cas, certaines restrictions s'appliquent, mais aucune qui empêche de l'utiliser et de le répliquer autant que souhaité.

Il a été développé par Markus Hohenwarter, professeur autrichien travaillant à l'Université de Salzbourg, qui ne le maintient plus depuis l'été 2006. Le développement et la maintenance du logiciel sont effectués par une autre personne.

II.2. Quelques utilisations possibles du logiciel dans l'enseignement des maths au lycée :

Comme décrit précédemment, géométrie dynamique, algèbre et calculs s'associent pour former GeoGebra. C'est un logiciel, qui associe géométrie et algèbre comme des partenaires d'égale importance.

De la manière la plus simple, on peut faire des constructions contenant des points, des vecteurs, des segments, des droites, et des coniques aussi bien que des fonctions, qui peuvent être modifiées ensuite dynamiquement à la souris. D'une autre manière, la saisie telle que : g: 3x + 4y = 7 ou: c: (x - 2)2 + (y - 3)2 = 25 est possible, et une gamme de commandes contenant différentiation et intégration est à votre disposition.

La caractéristique la plus remarquable de GeoGebra est la double perception des objets : chaque expression de la « Fenêtre Algèbre » correspond à un objet dans « la Feuille de Travail » et vice versa (voir fenêtre de démarrage en annexe).

- Le professeur pourra l'utiliser dans le cadre de la préparation de ses cours pour produire certaines constructions de figure géométrique du plan difficilement réalisable en papier/ crayon (par exemple l'ellipse) ;

- L'utiliser autour d'un projecteur (ou dans une salle d'informatique) pour faire voir aux élèves les cas de figures possibles et les invariants d'une construction géométrique à l'aide du « déplacement » .

III. LES APPORTS DU LOGICIEL GEOGEBRA DANS L'APPRÉHENSION DE LA NOTION DE FIGURE GÉOMÉTRIQUE :

L'utilisation de GeoGebra peut aider les élèves à comprendre le rôle des propriétés géométriques dans la définition d'un objet. Il permet de construire soit des éléments de base (points, droites....) soit des objets définis par des relations aux éléments déjà tracés.

Pour obtenir, à partir de deux points A et B, un parallélogramme ABCD, un élève peut tracer « au jugé », des droites de base, c'est-à-dire qu'il se fie à sa perception visuelle : « ça à l'air d'un parallélogramme ». Bien qu'il n'ait nullement enregistré que les droites tracées sont parallèles, il pense avoir réalisé la tâche demandée. Si alors, on lui demande de déplacer le point A, le parallélogramme se déforme en un quadrilatère dont les côtés ne sont plus parallèles, ce qui invalide sa construction. Il peut alors mieux comprendre la nécessité d'utiliser les propriétés de la figure pour définir les éléments à construire. Ceci est particulièrement flagrant pour certaines constructions comme celle d'une tangente à un cercle passant par un point donné. En papier/crayon, les élèves ont tendance à procéder empiriquement en faisant tourner la règle autour du point, et il est très difficile de disqualifier leur procédé : pour eux, la droite tracée respecte bien la caractéristique d'une tangente. Avec un logiciel comme GeoGebra, un tel procédé au jugé sera immédiatement invalidé par un déplacement, mais alors, cette sanction ne sera pas perçue comme une contrainte arbitraire fixée par l'enseignant ; « le dispositif oblige à la distinction entre tracé et procédé de tracé . D'autre part, l'enseignant est absent du processus de communication au dispositif ».

De plus, la possibilité de modifier le dessin en déplaçant les points de base a le même effet que la construction en papier/crayon de plusieurs figures correspondant au même énoncé : elle met en évidence les invariants et est ainsi source de conjectures et de questionnements.

En effet un GeoGebra-dessin^5(*) possède en quelque sorte une mobilité intelligente qui offre à un objet géométrique une nouvelle représentation. Un dessin appartient à l'univers des représentations possibles d'un objet géométrique. A partir d'un GeoGebra-dessin on peut décrire une large partie de cet univers avec rapidité et simplicité. Ceci offre ainsi un formidable outil pour conjecturer.

Au second cycle de l'enseignement fondamentale et encore souvent au lycée, les élèves ont du mal à se convaincre du fait qu'un dessin ne suffit pas pour démontrer une propriété. Mais les élèves font-ils la différence entre démonstration et argumentation ? En effet, si pour eux démontrer signifie argumenter, alors un dessin est un bon argument pour convaincre ses pairs. C'est d'ailleurs un point développé par (Arsac 1992, page 175) : « On constate donc que la démonstration en géométrie présente des difficultés particulières à cause du statut de l'objet sur lequel elle porte. Ceci constitue une spécificité par rapport à la démonstration en arithmétique par exemple ».

Comme nous avons pu le constater dans le paragraphe précédent, l'interprétation d'un dessin pose problème aux élèves. Or ce dessin a un statut qui évolue tout au long du cursus de l'élève : jusqu'en cinquième (7^e au Mali), l'accent est mis sur la précision du tracé, la description, l'utilisation du matériel de géométrie ; par la suite, le statut de figure va évoluer et de nouvelles tâches apparaissent ou disparaissent (Arsac, 1992, page 167). Certains problèmes sont encore des problèmes de construction. Mais cette construction peut faire appel à une propriété et nécessite donc un raisonnement, voire même une démonstration. La tâche peut être aussi compliquée afin d'obliger l'élève à utiliser une propriété (par exemple le professeur peut décider d'interdire l'utilisation de la règle ou de l'équerre).

Avec l'apparition progressive de la démonstration (qui apparaît dès la 7^e sous la forme de « courtes séquences déductives »), le dessin est un outil, en ce sens qu'il peut aider l'élève à plusieurs niveaux :

1) Visualiser : passer du registre du langage naturel au registre graphique (au sens de Raymond Duval, 1993) aide à avoir une meilleure perception d'une situation. De plus l'illustration d'un théorème par un dessin permet de se construire une image mentale à laquelle on peut faire appel lors de la résolution d'un problème ;

2) Conjecturer : à partir de plusieurs dessins, on peut voir apparaître un invariant qui peut donner lieu à une propriété qu'il faudra démontrer ;

3) Démontrer : à partir d'un énoncé, faire un dessin codé comportant les données aide à reconnaître des configurations et donne une idée des propriétés à utiliser. Dans les exercices de géométrie, la tâche « faire un dessin » disparaît peu à peu. Cependant elle doit être un geste automatique pour l'élève ;

4) Se convaincre : un dessin peut servir à illustrer une propriété mais peut être aussi un contre-exemple.

Dans chacun de ces actes le dessin a un statut différent et l'élève ne s'y retrouve pas forcément. L'élève doit parfois constater des choses sur un dessin (lorsqu'il conjecture ou qu'il donne un contre-exemple) mais il n'aura pas le droit de le faire lorsqu'il s'agit de faire une démonstration. Ainsi, un élève peut être tout à fait convaincu d'une propriété alors que ce n'est encore qu'une conjecture. Par exemple en 8^e, les élèves doivent conjecturer le théorème suivant : « Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté, alors elle passe par le milieu du troisième côté ». Après avoir fait le dessin, la plupart des élèves sont persuadés que la droite passe par le milieu du troisième côté, c'est une évidence. Ce type de difficulté se retrouve encore en 10^e, certains élèves utilisant en début de démonstration des évidences visuelles comme si elles étaient des données de l'énoncé (droites parallèles, vecteurs et angles égaux).

Par contre, un dessin peut induire en erreur ou donner une fausse impression et c'est alors la démonstration qui convaincra. C'est d'ailleurs une des réponse à la question : « pourquoi démontrer ? ». La démonstration permet de convaincre mais aussi de comprendre (Arsac, 1992, page 6).

Il faut pourtant noter qu'il est courant et accepté de prendre certaines informations sur la figure sans justification. Un exemple simple : sur le segment [AB], placer les points E et F tels que AE = EF = FB. Tout le monde admettra qu'il y a une seule figure possible, mais ce n'est jamais démontré et pourtant ce n'est pas un théorème du cours. De même, pour calculer une mesure d'angle, on écrira cet angle comme somme d'angles de mesure connue, sans justifier cette décomposition. C'est la même chose pour un calcul d'aire. Ainsi, les propriétés d'ordre, de régionalement, dans certains cas d'intersection, peuvent être généralement admises directement de la constatation visuelle sur le dessin.

Dans cette partie expérimentale les activités sont définies à partir d'une séquence que nous nommons « sous séquence3 » (SS3). En fait, c'est lors de cette sous séquence que nous proposons aux élèves des activités de constructions géométriques dans l'environnement du logiciel GeoGebra.

Ainsi nous avons fait ressortir de l'analyse de la « sous séquence3 » les instructions du logiciel nécessaire à son exécution. Ce qui fera l'oeuvre d'une séquence d'enseignement que nous nommons « sous sequence2 » (SS2).

D'autre part, nous ferons ressortir les instructions du système d'exploitation de Microsoft Windows (qui est sur les machines dont nous disposons) et des techniques de manipulation de l'ordinateur nécessaire à l'exécution de la « sous séquence2 » par rapport à la « sous séquence3 ». Nous nommons l'enseignement de ces instructions du système d'exploitation « sous séquence1 » (SS1).

Les trois sous séquences définies ci-dessus sont exécutées en deux séances.

La première séance (Séance1) regroupe les « sous séquence1 » et « sous séquence2 ». Et la deuxième séance (Séance2) pour la « sous séquence3 ».

Par suite Nous analysons pour chaque sous séquence les comportements des élèves dans l'exécution des activités. Nous récupérons de plus des productions d'élèves (qui seront enregistré sur les machines) que nous analysons par rapport à nôtre problématique.

II. DESCRIPTION ET ANALYSE DE LA SÉQUENCE

Contexte d'étude :

Matériels de travail :

Logiciel : GeoGebra2.6b pour Windows (le système d'exploitation le plus fréquent dans les lycées est Windows)

Une fiche élève : La feuille sur laquelle figure les instructions de la situation.

Le Dossier « GeoGebra »: le dossier dans lequel se trouve les fichiers qui seront utilisés tout au long de la séquence.

II.1.SÉANCE1 :

Les élèves reçoivent régulièrement des cours d'informatique sous l'environnement Windows XP.

Tester si les élèves ont une maîtrise suffisante du Système d'Exploitation Windows par rapport à SS3.

Si le test est concluant nous passons à SS2 sinon nous faisons une mise en niveau pratique.

- Le fonctionnement de la souris (Pointer, cliquer, cliquer-glisser, double cliquer et le clic droit) : dans la manipulation de la barre d'outils de géométrie de GeoGebra les élèves feront presque toutes les manipulations avec la souris ; ils auront des dossiers à créer, de même utiliser le « déplacement ».

- Le clavier (majuscule, minuscule et chiffre) : d'une part les élèves auront à nommer les dossiers et fichiers qu'ils vont créer d'autre part ils vont renommer des points sous GeoGebra.

- Gestion de dossiers et Fichiers (création, ouverture, nomination et copie) : utilisation pratique de la souris et le clavier, les élèves auront à gérer un système de dossier pour enregistrer et ouvrir les fichiers dans les dossiers appropriés.

- La fenêtre de Windows (barre de titre : titre du document, réduire, maximiser, minimiser et fermer une fenêtre; et la barre des menus: surtout le menu fichier) : manipulation de la fenêtre et la gestion du menu fichier pour enregistrer et/ou ouvrir un fichier.

Phase1 : (5 mn)

Phase2 : (15 mn)

a. Objectif:: évaluer le niveau de maîtrise des élèves sur l'environnement Windows par rapport à la liste des instructions citées ci-dessus.

Tâches pour l'élève :

T2). Retrouver le dossier « GeoGebra » dans le sous dossier « Logiciel » du sous dossier « Expérimentation » dans le dossier « Mes documents » sur le Bureau.

T4).Créer un nouveau dossier sur le Bureau, donner lui votre prénom en mettant la première lettre du prénom en majuscule.

Les tâches seront exécutées les unes après les autres ie pour passer de la tâche T_i à la tâche T_i+1 il faut avoir les résultats de la tâche.

T1 : les élèves ne doivent pas avoir de difficulté dans l'exécution de cette tâche car les boutons d'allumage de l'ordinateur (ie de l'écran et de l'unité centrale) ne sont pas cachés et de plus ils sont marqués d'un symbole qui ne se trouve sur aucun autre bouton .

T2.1. La formulation de la question de cette tâche peut être source de difficulté pour les élèves. Dans les pratiques de classe, les élèves ont l'habitude de partir toujours de l'existant (ie ce qu'ils voient) puis chercher et retrouver ce qui est caché. Dans de tel cas, le professeur peut intervenir en reformulant la question de cette tâche de la manière suivante :

1. Ouvrir « Mes documents » sur le Bureau et chercher le dossier « Expérimentation »

2. Ouvrir le dossier » expérimentation » et retrouver le dossier « logiciel ».

T2.2. Retrouver un objet parmi plusieurs et de différents types peut être difficile si le nombre d'objets est très élevé.

Le professeur pourrait intervenir en guidant les élèves par des questions qui suivent :

Utiliser la barre de défilement (à l'extrême droit de la fenêtre) pour voir tous les dossiers.

T3 : Cette tâche peut avoir deux niveaux de blocage pour les élèves dans son exécution.

D'une part des élèves peuvent penser que « faire une copie » correspond à l'instruction « copier » du menu déroulant de la souris. D'autre part, « faire une copie sur le bureau » peut faire penser à une action qui doit se passer sur le Bureau.

Le passage de T2 à T3 peut être aussi difficile pour des élèves. En effet, en T2 il y a un ensemble de fenêtres ouvertes et l'élève peut vouloir aller directement au Bureau.

Dans les deux cas ci-dessus le professeur pourrait reformuler la question de la manière suivante :

T4 : Ici le fait de ne pas taper sur la touche « Entrer » du clavier à la fin de la saisie peut être une source de difficultés pour les élèves. Si l'élève touche par inadvertance une autre touche, le nom est aussitôt modifié. En lisant le mot saisi à l'écran l'élève pense exécuter la tâche demandée.

Le professeur pourrait les guider en leur demandant de taper sur la touche « Entrer » du clavier tout juste à la fin de la saisie.

T5 : Sur le bureau il n y a que 4 icônes ; donc les élèves ne doivent pas avoir de difficultés car ils connaissent le langage de la souris. Par contre Ouvrir le dossier « GeoGebra »peut ne pas être aussi facile car il n'est plus sur le Bureau (l'élève l'a déplacer dans le dossier qu'il vient de créer). Le professeur peut alors orienter les élèves avec les questions suivantes:

d. Rôle du professeur :

Le professeur se tient dans une position isolée. Si un élève se bloque le professeur intervient en donnant des instructions susceptibles de relancer l'activité (sans donner la réponse ni la méthode de l'atteindre mais plutôt des indices) de cet élève sans pour autant déranger ou arrêter les autres. Au niveau de « 6. »Le dossier « GeoGebra » est aussi accessible à partir du dossier Binôme (i) qu'à partir du dossier « Mes documents ».

Bilan 1.1

L'exécution correcte du test1 se vérifie en regardant le chemin d'accès du dossier « GeoGebra » dans la barre d'adresse de la fenêtre. Le professeur donne alors des indications sur le contenu de ce dossier.

Si on fait la copie d'un dossier, ce dossier devient accessible à partir de deux emplacements (i.e. l'emplacement d'origine et là où on a fait la copie).

Dans cette phase les élèves seront groupés en binômes. Cette réorganisation de la salle nous permettrait d'avoir des binômes de niveau « équilibré ». Ceci pour une régulation interne de la classe. Tous les groupes pourront ainsi avancer ensemble et le professeur gagne du temps puisque les élèves se comprennent mieux entre eux.

1) Retrouver et ouvrir un fichier à partir du menu « Fichier » du logiciel GeoGebra.

2) Lorsque GeoGebra est actif permettre aux élèves de découvrir la possibilité d'ouvrir plusieurs fichiers «. ggb » et les manipuler en terme de multi fenêtrage.

Tâches pour l'élève :

T1. Changer le Nom du dossier crée individuellement en « Binôme (i) » (où i est le numéro du binôme).

T2. Lancer le logiciel GeoGebra à partir de ce dossier et réduire cette fenêtre.

T4. Restaurer la fenêtre du logiciel puis enregistrer-le sous le nom « Essai » dans le dossier « Binôme (i) ».

T5. Ouvrir à partir de cette fenêtre le fichier « Activite1.ggb » se trouvant dans le dossier « TP1 » de GeoGebra

Consignes : l'exécution des tâches de ce test nécessite les résultats des tâches de test1.

T1: Cette tâche met en jeu la manipulation direct du menu déroulant qui est connu au préalable par les élèves, donc ils ne doivent pas avoir de difficulté dans l'exécution de cette tâche.

T2: Des élèves pourront s'arrêtés juste après avoir retrouver la feuille « GeoGebra » au lieu de l'ouvrir. En effet, lorsque l'élève retrouve le fichier « GeoGebra » à l'écran, il peut penser l'avoir ainsi ouvert.

T3: les élèves connaissent les différentes barres d'une fenêtre Windows et les manipulations qu'ils peuvent en faire, donc l'exécution de cette tâche ne doit pas poser de difficultés

T4: la feuille du logiciel étant réduite à la barre des tâches, ouvrir encore cette feuille peut faire penser à l'élève de passer dans le système de fichier pour le retrouver puisqu'il ne le voit à l'écran.

T5: Sous Windows l'exécution des instructions « ouvrir » et « enregistrer » du menu « Fichier » amène par défaut le dossier « parent » du fichier déjà ouvert. Ce pendant les fichiers « Essai.ggb » et « Activité1.ggb » ne se trouvent pas dans le même dossier, les élèves peuvent avoir des difficultés à retrouver le fichier « Activité1.ggb ».

Le professeur peut alors guider les élèves à remonter le système d'arborescence des répertoires jusqu'à retrouver le fichier « Activité1.ggb ».

d. Rôle du professeur :

Le professeur se tient dans une position isolée, si un binôme se bloque le professeur intervient en donnant des instructions susceptibles de relancer l'activité (sans donner la réponse ni la méthode de l'atteindre mais plutôt des indices) de ce binôme sans pour autant déranger ou arrêter les autres binômes.

Il existe d'autre moyen d'avoir le « 5. » i.e. on peut ouvrir le fichier « Activite1.ggb » à partir du dossier GeoGebra mais notre objectif ici est l'utilisation du menu « Fichier » de GeoGebra.

Bilan1.2

Vérifier les fichiers « Activité1.ggb » et « Essai.ggb » sur la barre des tâches.

« Si le logiciel est ouvert alors on peut ouvrir plusieurs fichiers « .ggb » qui vont s'afficher sur la barre des tâches. Le fichier actif est visible sur l'écran tandis que les autres sont réduites. »

Permettre aux élèves d'avoir une maîtrise suffisante du logiciel de géométrie dynamique GeoGebra par rapport aux tâches à exécuter en SS3.

1). « Nouveau point » : Dans le tracé effectif avec les instructions de GeoGebra, on définit d'abord les points.

3) « Droite passant par deux points » : Une droite est construite à partir de deux de ses points.

4) « Droite perpendiculaire » : Droite perpendiculaire à une autre et passant par un point quelconque.

6) « Cercle (centre-point) » : Cercle défini par son centre et passant par un point.

7) « Intersection entre deux objets » : le point d'intersection de deux objets géométriques est une instruction à part dans GeoGebra ce qui est ostensible en papier/crayon

8) « Effacer les objets » : supprime les figures géométriques avec leurs propriétés

9) « Déplacer » : déplace un objet (contrôle perceptif et dynamique en temps réel).

10 )« Afficher/Cacher l'objet » : rend visible/invisible certains objets géométriques tout en concernant les propriétés géométriques qui leur sons liées.

12).« Ouvrir », « Nouveau », « Enregistrer », « Enregistrer sous » : quelques instructions du menu « Fichier » de GeoGebra.

Phase1:(15 mn)

a. Objectif: découvrir les commandes de la barre d'outils de géométrie de GeoGebra par rapport à la liste des instructions citées ci-dessus.

Tâches pour élève

Écris devant chacune des instructions suivantes le numéro du menu dans le quel elle se trouve :

Cliquer sur la petite flèche située à l'extrême gauche et en bas des icônes pour voir les instructions que l'outil contient.

c. Élements d'analyse des tâches :

La technique de recherche étant déjà expliquée par le professeur, c'est seulement au niveau de « 11. » qu'il peut avoir de difficulté puisqu'il faut cette fois ci pointer sur les icônes pour lire contrairement. Par contre pour les autres icônes ,il faut cliquer sur la petite flèche au bout pour voir les instructions qui l'appartiennent.

Le professeur donne la consigne de recherche qui est de cliquer sur chaque outil pour voir les instructions qu'il contient et d'écrire devant chaque instruction le numéro de l'icône dans le quel elle se trouve.

Bilan2.1

Éléments d'évaluation :

Le professeur explique alors le rôle de chacune de ces instructions aux élèves.

Phase2 :(20 mn)

a. Objectif :

1). Construire des objets géométriques dans l'environnement de géométrie dynamique GeoGebra.

b. Activité2 :

Tâches pour élève :

Consignes:

Utiliser les résultats de l'activité précédemment faite sur la fiche élève pour faire l'activité suivante.

c. Élements d'analyse des tâches :

Les élèves ont à leur disposition le stock d'instructions nécessaire et de plus ils savent que le tracé effectif d'un objet géométrique est toujours défini à partir des points qui l'appartiennent.

Le logiciel affiche au niveau de chaque icône l'image de la dernière instruction utilisée. Ceci peut être source de blocage pour les élèves.

Le professeur interviendrais si nécessaire en demandant aux élèves de refaire une suite de construction et les dire de regarder à chaque fois l'icône qui s'affiche. Ils comprendront ainsi que c'est l'icône de la derrière instruction utilisée qui s'affiche.

d. Rôle du professeur

Le professeur dévient un observateur et quand tous les élèves auront terminé il identifie ceux qui n'ont pas pus faire ou qui ont mal fait. Il interroge un des binômes qui a pu faire pour qu'il explique sa procédure.

Bilan2.2 :

Éléments d'évaluation

En classe entière, contrôle de l'effectivité de la mise en oeuvre de la validation et institutionnalisation finale des acquis. Le professeur pose des questions, laisse les élèves discuter entre eux puis donne un cours de fin qui est en fait une synthèse des bilans.

Justification du choix de cette activité :

Lors de la séance2 les élèves travailleront en binômes. Cette activité engagerait donc en avance chaque élève à une recherche individuelle.

Ainsi au cours du travail en binôme, les élèves échangeront les connaissances sur leurs méthodes de construction. Par suite, ils se convaincront sur une méthode à présenter.

Avec l'objectif de guider les élèves à la « reconstitution » d'une construction géométrique, cette activité a sa place dans nôtre scénario.

FIN SÉANCE1

II.2. SÉANCE 2 : (sous séquence 3 : SS3) : Mise en oeuvre de la situation expérimentale.

Construction de l'image d'un point par rapport à une droite en papier/crayon. Rappelons que les élèves ont suivi des cours sur les transformations du plan.

Tester si les élèves sont capables de construire le symétrique d'un point par rapport à une droite en papier/crayon.

c. Bilan de l'étape1 :

Si le test est concluant, nous passons à l'étape2. Sinon nous ferons une rémédiation avec les instruments de géométrie au tableau en salle d'informatique.

Si les élèves savent construire en papier/crayon et savent utiliser les instructions du logiciel GeoGebra, sauront-ils reporter leur construction sous GeoGebra ?

a. Objectifs :

Construire le symétrique d'un point par rapport à une droite (D) sans utiliser l'instruction « Symétrie axiale (Objet-axe) » de GeoGebra.

Engager les élèves dans une justification pratique (sur GeoGebra) et théorique de cette construction (en papier/crayon).

b.Activité1 :

1) Construis le symétrique M' du point M par rapport à la droite (D) sans utiliser l'instruction « symétrie axiale » de la barre d'outils de géométrie de GeoGebra.

2) En faisant déplacer M ou la droite (D), est-ce que M' reste toujours le symétrique de M par rapport à la droite (D) ?

c.Activité2 :

Dites pourquoi vôtre construction est juste ? (En papier/crayon). Expliquez clairement.

II.2. 3.ANALYSE DES SITUATIONS DE LA SÉANCE 2 :

Rappelons que les élèves ont déjà vu des outils de GeoGebra leur permettant de construire le symétrique d'un point.

Dans la construction du symétrique d'un point par rapport à une droite (D) sans utiliser l'instruction « Symétrie axiale (Objet -axe) » ;

1) Construis le symétrique M' du point M par rapport à la droite (D) sans utiliser l'instruction « symétrie axiale » de la barre d'outils de géométrie de GeoGebra.

2) En faisant déplacer M ou la droite (D), est-ce que M' reste toujours le symétrique de M par rapport à la droite (D)

3) Vous devez expliquer vôtre méthode de construction à un camarade absent. Écrivez un texte pour expliquer à ce camarade vôtre méthode de construction étape par étape.

Inspirez-vous de vôtre construction faite avec les instruments de géométrie pour reporter la construction en environnement GeoGebra en utilisant les instructions appropriées.

Enregistrez ce fichier sous le nom « activite2 » dans le dossier « GeoGebra ».

La transposition des étapes de construction du papier/crayon aux instructions de GeoGebra.

Exemple : pour le report de longueur (utilisation du cercle avec GeoGebra au lieu d'un arc de cercle).

Le professeur pose des questions pour guider les élèves dans leur recherche jusqu'à ce qu'ils trouvent l'instruction appropriée sans leur donne

Permettre aux élèves de passer d'une construction effective à une justification théorique de la construction du symétrique d'un point par rapport à une droite.

Dites pourquoi vôtre construction est juste ? (En papier/crayon). Expliquez clairement.

La justification théorique d'une construction géométrique n'est pas habituelle dans les pratiques. Le professeur doit alors :

Si l'instruction « Symétrie axiale (objet-axe) » n'est pas exclue, les élèves n'utiliseront pas de connaissances géométriques dans la construction. En effet, cette instruction de GeoGebra permet de construire le symétrique d'un objet géométrique en de simples clics. Cette instruction cache donc aux élèves les connaissances géométriques liées à cette activité qui permettra de « reconstituer » une procédure de construction géométrique.

Les élèves utiliseront l'instruction « Déplacer » de GeoGebra pour la validation de leur construction. En effet, cette instruction de GeoGebra permet de déplacer certain point d'une construction tout en conservant ses propriétés géométriques.

En activité2 la justification théorique permet d'institutionnaliser des connaissances mathématiques sur la transformation symétrie orthogonale (les configurations qui accompagnent la construction). En effet, l'enseignement de la géométrie ne pourrait se limiter à de simples constructions qui se réduisent à des techniques. Les logiciels de géométrie dynamique constituent un moyen pour l'enseignement des mathématiques et non une fin.

- Le triangle MAM' est isocèle en A (car M et M' appartiennent à l'arc de cercle de centre A) AM=AM'

- Le triangle MBM' est isocèle en B (car M et M' appartiennent à l'arc de cercle de centre B ) BM=BM'

Les relations (1) et (2) la droite (AB) est la médiatrice de [MM'](comme ensemble des points équidistants de 2 points M et M').

Choisis le mode « Droite passant par deux points » ; clique dans la feuille de travail : A apparaît ; glisse la souris et clique : B apparaît et la droite (AB) est construite (GeoGebra le nomme a) ;

Choisis le mode « Nouveau point » ; clique dans la feuille de travail : un point C apparaît ;

Choisis le mode « Cercle (centre-point) » ; clique successivement sur A et C : un cercle de centre A passant par C apparaît( GeoGebra le nomme c) ; clique de même sur B puis sur C : un cercle de centre B passant par C apparaît ( GeoGebra le nomme d).

Choisis le mode « Intersection entre deux objets » ; clique alors sur la seconde intersection des deux cercles précédemment construis : un point D apparaît.

Le point D ainsi construit est l'image du point C par la symétrie orthogonale d'axe (AB).

Il suffit alors de nommer d en (D), C en M et D en M' pour se conformer aux notations de l'activité.

Choisis le mode « Symétrie axiale (objet-axe) ; clique successivement sur le point C puis sur (a) ie (AB) ;

Clique droit sur D : « Point D, Point E » s'affiche D=E ; choisis le pont E : GeoGebra décris alors le point E comme étant l'image du point C par la symétrie d'axe (a) ie (AB).

Choisis le mode « Déplacer » ; les propriétés de la figure ne changent pas quelque soit le déplacement de A, B ou C.

NB : D est un objet auxiliaire donc ne peut être déplacé de façon indépendante.

(Le cercle C de rayon [OM] coupe (D') en M') ([MM'] est un diamètre de C) O est le milieu de [MM'] (1).

(1) et (2) (D) est la médiatrice de [MM'] M' est l'image de M par la symétrie d'axe (D).

Choisis le mode « Nouveau point » ; clique dans la feuille de travail : un point C apparaît ;

Choisis le mode « Droite perpendiculaire » clique successivement sur C puis sur (AB) : une droite b apparaît perpendiculaire à (AB).

Choisis le mode « Intersection entre deux objets » ; clique alors sur l'intersection la droite (b) avec (AB) : un point D apparaît.

Choisis le mode « Cercle (centre-point) » ; clique successivement sur D et C : un cercle de centre D passant par C apparaît( GeoGebra le nomme c) ;

Choisis le mode « Intersection entre deux objets » ; clique alors sur la seconde intersection (b) et le cercle c : un point E apparaît.

Le point E ainsi construis est l'image du point C par la symétrie orthogonale d'axe (AB).

Il suffit alors de nommer d en (D), C en M et E en M' pour se conformer aux notations de l'activité.

Choisis le mode « Symétrie axiale (objet-axe) ; clique successivement sur C puis sur a ie (AB) ;

Clique droit sur D : « Point E, Point F » s'affiche E=F ; choisis le pont F : GeoGebra décris alors le point F comme étant l'image du point C par la symétrie d'axe (a) ie (AB).

Choisis le mode « Déplacer » ; les propriétés de la figure ne changent pas quelque soit le déplacement de A, B ou C.

NB : D, E et F sont des objets auxiliaires donc ne peuvent être déplacés de façon indépendante.

II.2. 3.6. Comparaison des programmes de construction en papier/crayon et avec GeoGebra :

Avec GeoGebra, pour construire une droite, les élèves construisent d'abord deux points par les quels passe la droite, contrairement aux pratiques des élèves en papier/crayon (ici les élèves tracent des droites sans penser aux points qui l'appartiennent).

En papier/crayon très généralement les élèves tracent le segment puis ses extrémités. Cette procédure est erronée sous GeoGebra (ici c'est les extrémités du segment qui sont d'abord construites).

Pour reporter des distances en papier/crayon, les élèves tracent des arcs de cercles. Sous GeoGebra, ils tracent des cercles entiers.

En papier/crayon, les intersections d'objets géométriques son nommées de façon naturelle par les élèves. Sous GeoGebra, les élèves sont contraints de construirent ces intersections d'objets comme tout autre objet géométrique.

Le mode « Déplacer » de GeoGebra permet aux élèves d'observer les différentes variantes d'une construction, de conjecturer des propriétés géométriques. Ce qui est difficile à réaliser en papier/crayon.

II.2. 3.7.Scénario de la séance :

Phase1 : (10 mn)

Mise en place des élèves dans la salle et récupération des tâches effectuées à la maison.

Phase2: (5 mn)

Explication orale du travail qui sera demandé aux binômes et distribution de la « fiche élève » (fiche des activités de la séance) ;

Phase3: (15 mn)

Travail de recherche des élèves: sur la question 1) de l'activité1. (Tâche 1)

Phase4: (15 mn)

Interroger les élèves pour les guider dans leur recherche jusqu'à se qu'ils trouvent l'instruction appropriée sans leur donner directement l'instruction.

Phase5 : (5 mn)

Phase6 : (10 mn)

Phase7: (15 mn)

Rôle du professeur : Neutre

Phase8 (15)

Rôle du professeur :

Phase9 : (15)

NB :

la fin de la séance le professeur organise une mise en commun et fait le bilan.

Pour mettre en oeuvre le scénario de classe, les fichiers utilisés sont placés dans un sous répertoire T.P. du répertoire GeoGebra (répertoire où se trouve le logiciel GeoGebra) sur le Bureau.

Nous décrivons pour chaque activité les productions des élèves. Nous regardons en particulier leurs erreurs et les raisons possibles. En suite nous faisons un commentaire de l'activité et des recommandations si nécessaires.

Nous rappelons que l'objectif de cette activité est d'évaluer le niveau des élèves sur la manipulation de l'environnement Windows par rapport à sous séquence2( SS2).

T1 : Cette tâche consistait à appuyer sur les boutons d'allumages de l'ordinateur.

T2 : Cette tâche consistait à ouvrir « Mes documents » sur le Bureau, retrouver et ouvrir le dossier « Expérimentation ». Dans le dossier « Expérimentation » ouvrir le dossier « Logiciel » et retrouver le dossier « GeoGebra » :

- Pour ouvrir le dossier « Mes documents » sur le Bureau, un seul élève n'y arrivait pas ; en effet cet élève avait des incapacités dans l'exécution du double clic (il prenait un temps assez long entre les deux clics). Mais elle est aidée par son voisin.

- Après avoir ouvert le dossier « Mes documents », certains élèves n'arrivaient pas à retrouver « expérimentation », car ils ne voyaient pas directement expérimentation à l'écran. Nous avions remarqué des réactions comme « Monsieur, je ne vois pas « Expérimentation » ». Le dossier « Mes documents » contenait beaucoup de dossiers et de fichiers. Ces élèves ne savaient pas qu'il faut utiliser la barre de défilement verticale pour voir le dossier « Expérimentation ».

T3 : Cette tâche consistait à faire une copie du dossier « GeoGebra » sur le Bureau :

- Un seul élève a pu exécuter correctement cette tâche. Certains élèves, en voyant le seul dossier « GeoGebra » à l'écran, croient qu'ils n'ont plus besoin de faire le clic droit sur le dossier pour le copier, ce qui explique le fait de faire le clic droit dans n'importe quel endroit de la fenêtre ouverte.

- D'autres élèves, après la copie du dossier, se trouvent dans l'incapacité de revenir sur le Bureau. Ceux-ci ne savaient pas qu'il faut réduire ou fermer la fenêtre en cours, on remarque une confusion entre le fait de « réduire » et « minimiser » une fenêtre chez certains élèves. Ceci peut être dû à la formulation de l'énoncé puisqu'il n'est pas clairement signaler dans l'énoncé de fermer ou réduire les fenêtres après la copie du dossier. Le professeur donne la parole à l'élève qui a pu exécuter pour qu'il explique sa technique, ainsi les autres ont pu exécuter correctement la tâche.

- Certains élèves avaient des incapacités dans l'exécution de cette tâche, ils ne connaissaient pas la technique. Après qu'ils aient eu la technique par leur camarade, l'exécution de la tâche n'a plus causée de problème.

Lors de la saisie au clavier du nom du dossier, nous n'avions remarqué aucune erreur. De même que dans les tâches « T5. » (Cette tâche consistait à déplacer le dossier « GeoGebra » dans le dossier qu'ils ont crée) et « T6 » (Cette tâche consistait à ouvrir le dossier « GeoGebra » pour voir son contenu).

Ce test nous a permis de savoir d'une part que certains élèves avaient des difficultés pour manipuler la souris (précisément le clic et le double clic), les barres de défilement et les barres d'une fenêtre Windows, d'autre part que les élèves n'ont pas des problèmes au niveau de la saisi du texte (dans le cadre des tâches citées ci-dessus) au clavier.

Lors de la dernière tâche, tous les élèves ont utilisé le cliquer glisser pour déplacer le dossier « GeoGebra ». Nous ne leurs avions pas montrés les instructions « couper » puis « coller » comme une autre technique pour déplacer un dossier. Puisque dans nôtre analyse à priori cette technique n'était pas nécessaire pour l'exécution des autres sous séquences qui suivront.

1. Retrouver et ouvrir un fichier à partir du menu fichier du logiciel GeoGebra

2. Lorsque GeoGebra est actif permettre aux élèves de découvrir la possibilité d'ouvrir plusieurs fichiers « .ggb » et les manipuler en terme de multi fenêtrage prévu dans la phase bilan.

T2 : Lancer le logiciel GeoGebra à partir de ce dossier puis réduire la fenêtre du logiciel.

T5 : Ouvrir le fichier «Activite1.ggb » à partir du menu fichier du logiciel.

Comme prévu dans nôtre analyse à priori, les échanges entres membres des binômes ont permis à certains binômes retardataires de rattraper les autres pour l'exécution des tâches prévues dans cette activité. Cependant, aucun binôme n'a pu exécuté la dernière tâche de cette activité c'est-à-dire ouvrir le fichier « Activité1.ggb » car après le choix de l'instruction ouvrir du menu « Fichier » le fichier « Activite1.ggb » n'apparaissent pas dans la boite de dialogue qui s'affiche. Ils ne savaient pas remonter le système de fichiers avec la boite de dialogue « Ouvrir » pour retrouver le fichier.

Cette incapacité peut s'expliquée par le fait qu'il n'est pas rappeler dans l'énoncé que le fichier « Activité1.ggb» se trouve dans le dossier « TP », puisque c'est ce dossier qu'ils verront dans la boite de dialogue qui s'affiche après l'exécution de l'instruction « ouvrir » du menu « Fichier ».

Après la reformulation (correction) de l'énoncé les élèves ont pu exécuter cette tâche. Elle a permis aussi de faire gérer le multi fenêtrage par les élèves dans la phase bilan.

Lors du lancement de la feuille « GeoGebra », deux binômes se sont trouvés avec plusieurs fenêtres ouvertes. En effet, le chargement du logiciel était très lent sur certaines machines. Il était important de faire cette remarque aux élèves pour éviter une telle situation.

Rappelons que l'objectif de cette activité est la découverte des commandes du logiciel par rapport à la sous séquence3 ( SS3).

Cette activité consistait à retrouver les menus dans les quelles se trouvent les instructions (ces instructions se trouvent sur la fiche élève) nécessaires à l'exécution de SS3.

- La manière dont le professeur à formuler l'énoncé a bloqué la plupart des binômes puisqu'ils pensaient que chaque instruction est propre à un seul menu. Les consignes données ne faisaient pas voir aux élèves qu'un menu peut contenir plusieurs instructions. Le professeur après avoir dit aux élèves que l'importance ici est d'écrire devant chaque instruction le menu dans lequel il se trouve ; peu importe le nombre d'instruction disponible dans ce menu. Ceci a permis aux élèves de continuer l'exécution de la tâche sans problème.

- D'autres n'arrivaient pas à ouvrir les icônes. La consigne était pourtant de cliquer sur la petite flèche à droite en bas des icônes.

Mais après un accompagnement oral du professeur sur l'énoncé et des consignes, les élèves ont continué sans d'autres questions.

Avant même la fin du temps donné aux élèves pour chercher cette activité, tous avaient fini et bien répondu.

Par inattention lors de la saisie de l'énoncé, nous avions mis « cercle (centre-objet) » au lieu de « cercle (centre-point) » et « effacer des objets » au lieu de « effacer les objets ». Un des binômes nous a signalé les erreurs et nous avions rectifié pour toute la classe.

Nous devons revoir la formulation de l'énoncé de cette activité pour nos séances à venir.

1. Construire des objets géométriques dans l'environnement de géométrie dynamique GeoGebra

Pendant l'exécution de cette activité, les élèves avaient toutes les instructions nécessaires à utiliser sur la fiche (Corrigée et redistribuée aux binômes) de l'activité1.

- Pour construire un objet, certains faisaient des doubles cliques. Ils étaient surpris de ne pas avoir le résultat attendu. Il fallait leur faire comprendre que chaque clic dans la feuille de travail est une commande qui dans GeoGebra exécute la dernière instruction choisie.

- Certains n'arrivaient pas facilement à pointer les objets sur la feuille de travail lors de leurs clics. Nous avions remarqué des réactions comme « Monsieur, ça ne marche pas », « Monsieur, ça ne fait rien »

- Incompréhension de certaines syntaxes de GeoGebra : « Cercle (Centre-point), « intersection entre les objets ».

Cette activité a permis de faire découvrir aux élèves, un environnement nouveau pour faire de la géométrie. Ils étaient tous enthousiastes de construire des points, des segments, des droites, des cercles..., en de simples clics et de pouvoir les modifier en toute autonomie.

Nous avions aussi remarqué une prompte acquisition des techniques à chaque fois que le mode opératoire des instructions était expliqué.

Rappelons que l'objectif de cette activité est de tester si les élèves sont capables de construire le symétrique d'un point par rapport à une droite en papier/crayon.

L'activité avait été donnée aux élèves à la fin de la première séance à faire dans l'environnement papier/crayon.

Dans la construction du point image, les élèves n'avaient pas eu de difficulté. Par contre, pour expliquer leur méthode de construction et pour justifier leur construction, nous avions remarqué beaucoup de difficultés. Seulement deux élèves ont pu donné une justification. Les autres avaient soient des difficultés dans la formulation des propriétés soient des problèmes de vocabulaire lors de la rédaction.

Nôtre analyse à priori a été vraiment concluant pour cette activité. En effet, après le dépouillement des productions d'élèves, il n'est ressorti que les deux méthodes de construction décrites dans nôtre analyse à priori (voir page ..).

Dans nos analyses de pratiques de classe, la justification d'une construction n'est pas une activité habituelle pour les élèves de 10^èmeSciences. Etant conscient de cette situation, nous dévions alors insister sur la justification lors de notre phase bilan, puisque l'enseignement de la géométrie ne doit pas se limiter à des techniques de construction.

En rappel, l'objectif de cette activité est de construire le symétrique d'un point par rapport à une droite (D) sans utiliser l'instruction « Symétrie axiale (Objet-axe) » de GeoGebra.

Les élèves travaillent en binômes. Dans cette réorganisation de la classe, les partenaires ont utilisés la même méthode de construction en papier/crayon.

Cette activité consistait à reprendre la construction effectuée à la maison dans l'environnement de géométrie dynamique GeoGebra.

- Un seul (Binôme1) des deux binômes (Binôme3 et Binôme1) qui avaient fait la première méthode de construction en papier/crayon avaient des incapacités dans l'exécution de l'instruction « Cercle (Centre-point) ». Ce binôme n'arrivait pas à bien utiliser l'instruction. Mais après plusieurs tentatives ils y sont parvenus.

- Les deux autres binômes (Binôme2 et Binôme4) avaient fait la seconde méthode de construction en papier/crayon. L'un (Binôme2) des binômes n'arrivait pas à faire le report de longueur. Ils n'y sont pas parvenus car ils utilisaient l'instruction « arc défini par 3 points ». Quand à l'autre binôme (Binôme4), l'un des élèves avait effacé leur construction par inadvertance avant nôtre passage pour la vérification.

Le Binôme2 ne pouvait pas utiliser l'instruction « arc de cercle (Centre-2points) » pour reporter la distance. En effet, sous GeoGebra, trois points définissent un arc de cercle lorsque l'un des trois points est sur la médiatrice des deux autres.

Après la phase de rémediation, la construction du Binôme4 (Voir Fig.4 et Fig.4' en annexe) était toujours au jugé donc fausse sous GeoGebra. On pouvait remarquer sur leur construction que le point image est fixé lorsqu'on déplace le point objet. Nous avions institutionnalisé l'instruction « Déplacer » de GeoGebra. Les autres binômes ont alors déplacé les points de leur construction pour vérifier si elle était correcte (Par exemple Fig.1 et Fig.1' voir annexe).

Lors de la phase bilan de cette activité, nous avions aussi utilisé la fenêtre algèbre de GeoGebra (Non prévu dans nôtre scénario). Ceci pour que les élèves puisse vérifier par des mesures que la droite de symétrie est bien la médiatrice du segment formé par le point objet et son image(résistance de la perpendicularité (ie l'angle 90°) et que le milieu reste toujours le milieu).

L'objectif de cette activité était d'engager les élèves dans une justification par déplacement (sur GeoGebra) et théorique (en papier/crayon) de cette construction.

Certains élèves n'arrivaient pas à caractériser les figures géométriques des constructions. Notamment, le triangle isocèle, le cercle, la médiatrice d'un segment.

La phase bilan de cette activité n'a pas été facile à mener. Elle a pris trop de temps que prévu (presque le double).

L'activité nous a permis de voir réellement que le logiciel pouvait faire écran aux connaissances mathématiques des élèves. En effet, sauf deux élèves, tous avaient donné comme justification la résistance des propriétés de la figure lors du déplacement.

- Les élèves sont beaucoup plus concentrés, et mettent plus d'énergie dans la résolution des tâches.

- Chacun peut progresser à son rythme, ce qui n'est pas possible durant une séance « traditionnelle » (en salle de classe).

- Le logiciel GeoGebra facilite un rôle actif de l'élève. On remarque également que la salle d'informatique permet un climat d'entraide au sein du groupe-élève, qui constitue un stimulant supplémentaire dans l'apprentissage.

- De plus l'acquisition des connaissances par les élèves est plus rapide. On pouvait entendre lors des phases bilan « Monsieur, c'est facile... ».

- Nous avons aussi noté que GeoGebra incite les élèves à être plus rigoureux dans leurs constructions que lors des séances classiques en papier/crayon. Les difficultés des élèves lors de l'utilisation des instructions comme « Intersection des objets », « Cercle (Centre-Point) », « Droites perpendiculaires » en sont des preuves.

- Les constructions sont également exécutées plus rapidement, et les élèves se corrigent eux-mêmes. Ils sont d'ailleurs assez fiers d'eux ! et insistent pour nous montrer leurs constructions.

Les séances en salle d'informatique nous ont toutefois causés beaucoup de problème mais elles nous ont permis d'en tirer beaucoup de « leçons » d'ordre pédagogique :

- Lors de nôtre première activité, deux machines sont tombées en panne. Nous étions obligés de réorganiser la classe (on avait prévu pour cette activité un élève par machine). De plus le jour de la seconde séance, nous avions eu une panne d'électricité. Nous pensons qu'il est nécessaire de bien connaître le fonctionnement de l'ordinateur et leur alimentation en électricité pour que les séances en environnement informatique se déroulent du mieux possible.

- Un second point à souligner est le changement de nos rôles dans cet environnement. En effet, au lieu de mener le jeu comme lors des séances « traditionnelles », en salle d'informatique nous faisons des suggestions et nous relançons l'activité.

- Nous avions eu beaucoup de difficultés à avoir l'attention des élèves lorsqu'on donne des consignes ou lors des phases bilan. Nous pensons qu'il serait utile de mettre les machines en mode veille pendant de telle phase.

- Beaucoup d'élèves se rattachent aux réponses du logiciel comme si elles avaient un statut de preuve. Nous pensons que cela explique le fait que peu d'élèves n'aient pas donné une justification. Pour eux, GeoGebra ne fait pas d'erreur (Voir leurs réactions en annexe par rapport à la séance). Nous pensons que cette impression peut être rectifiée après plusieurs séances sur ordinateurs.

- Nous avions remarqué aussi que les élèves construisaient des cas particuliers de figure (par exemple dans le tracé des figures la plus part des binômes tracent des segments (ou des droites) parallèles comme en papier/crayon ce qui explique la difficulté de détacher les élèves du papier/crayon.

On pourrait enrichir les compétences des élèves au niveau de certain pré requis :

- Un dossier copié reste accessible à partir de son nouvel emplacement qu'à partir de l'ancien.

- La copie d'un dossier ou fichier dans un autre dossier s'exécute de deux manières différentes : soit avec le clic glisser soit avec le « couper coller » ou le « copier coller » (si on veut garder une autre copie sur le bureau).

Aussi, une fois le logiciel GeoGebra lancé on peut ouvrir à partir de cette fenêtre les fichiers de type « .ggb » dans l'ordinateur ou dans un autre périphérique connecté à l'ordinateur.

De plus, on doit insister sur le fait que, dans l'environnement de géométrie dynamique, on peut toujours vérifier la validité d'une construction géométrique en faisant déplacer certains points de la figure à l'aide de la souris. Si la construction est juste les propriétés mises en jeu résistent au déplacement.

La géométrie ne peut se construire qu'en acte, à travers de multiples expériences personnelles qui vont permettre de dégager des invariants. En utilisant le mode « Déplacer » du logiciel sur les figures, l'élève percevra ce qui varie et ce qui subsiste. Il émettra ainsi des conjectures et, peu à peu, sentira la nécessité de faire appel à des méthodes abstraites pour prouver certaines propriétés plus subtiles dans des cas où un seul dessin ne suffit pas à emporter la conviction. Il pourra ainsi prouver plus de plaisir et de motivation chercher puis démontrer.

D'autre part il sera parfois intéressant de formuler les activités de telle sorte que l'élève en explorant la situation, en déformant la figure, en étudiant des cas particuliers, observe des configurations remarquables, des invariants. Il sera poussé à formuler des hypothèses, des questions et se trouvera dans une situation plus proche d'une situation de recherche que d'une situation scolaire.

L'élaboration de cette séquence d'enseignement nous a permis d'entamer un travail de réflexion sur l'utilisation de l'ordinateur dans nôtre enseignement de la géométrie, nous avons fait des choix et nous nous sommes confrontés à des difficultés.

Dans nos activités, nous n'avions exploité dans l'ensemble que les fonctionnalités de géométrie du logiciel GeoGebra. On pourra étudier les mêmes activités selon un point de vu analytique ou numérique en utilisant la fenêtre algèbre et les axes de la « feuille de travail » du logiciel. D'autre part, l'utilisation de GeoGebra demande à insister sur les consignes des énoncés puis qu'il ne permet pas d'avoir un menu contextuel sur les instructions. Mais ce logiciel reste quand même un bon logiciel de géométrie dynamique pour l'enseignement de la géométrie.

Nous pensons qu'il est bien possible et même plus intéressant d'engager des élèves de 10^èmeS dans la recherche d'un problème de géométrie dans un environnement de géométrie dynamique. Mais il faudrait que l'enseignant se pose ces questions : à qu'elle moment utiliser le logiciel ? Pour illustrer quelle notion ? De quelle manière ?

Les élèves ont beaucoup apprécié les séances sur ordinateur (voir des questionnaires remplis par les élèves en annexe). Mais, l'utilisation de l'ordinateur ne doit pas avoir pour objet de faire de l'élève un expert dans l'utilisation de tel ou tel logiciel. Qu'il sache reconnaître certaines questions susceptibles d'être illustrées ou résolues grâce à l'ordinateur et qu'il sache interpréter les réponses que l'ordinateur fournit ; l'élève doit apprendre à situer et intégrer l'usage des outils informatiques dans une démarche scientifique.

Quant à l'intégration effective des outils informatiques dans notre enseignement, beaucoup d'efforts devront être fournis. En effet, Il n'est pas toujours aisé pour l'enseignant d'avoir du matériel (Assez d'ordinateurs dans les salles) à sa disposition ou encore de bien connaître les logiciels (l'apprentissage des T.I.C.E n'est pas dans le programme de l'ENSup).

- Il faudrait des manuels avec des activités utilisant les T.I.C.E à la disposition des enseignants.

- Intégrer l'enseignement de ces logiciels dans les programmes et dans les évaluations. Puis que les élèves peuvent voir les T.I.C. comme un divertissement et non comme une aide à la compréhension.

On pourra alors se demander : S'il est possible d'intégrer le T.I.C dans l'enseignement des mathématiques au Mali. Faudrait-il changer les programmes des mathématiques ?

Disposition des ordinateurs dans la salle d'informatique

Annexe3 : Tableau synoptique de la sous séquence3

Phases	Objectifs	Environnement de travail	Rôle de l'élève	Rôle du professeur
1	Mise en place des élèves		S'installer et sortir ses effets.	- Veiller à l'installation du calme - Installer les binômes de travail
2	Explication des attentes du professeur		Écouter, Comprendre les consignes.	Expliquer les attentes ; s'assurer que tout le monde ait compris
3	Recherche d'activité	-Travail par binôme avec GeoGebra	Faire la construction de la question 1 (l'activité1 )	Stimuler le travail ; ou expliquer l'activité
4	Faire un bilan	Classe entière	- Suivre les explications du professeur ou d'un camarade. - Poser des questions si nécessaire	- Interroger les binômes ; - Donner des explications ; - Établir un bilan.
5	Recherche d'activité	-Travail par binôme avec GeoGebra	Rechercher la question 2 de l'activité1	Stimuler le travail ; ou expliquer l'activité
6	Faire un bilan	Classe entière	- Suivre les explications du professeur ou d'un camarade : - Poser des questions si nécessaire	- Interroger les élèves ; - Donner des explications ; - Établir un bilan.
7	Recherche d'activité	Travail par binôme sur feuille de papier	Rechercher l'activité2	Stimuler le travail ; ou expliquer l'activité
8	Faire un bilan	Classe entière	- Suivre les explications du professeur ou d'un camarade - Poser des questions si nécessaire.	- Interroger les binômes. - Donner des explications - Établir un bilan
9	Faire un bilan et institutionnaliser les acquis	Classe entière	- Suivre les explications du professeur ou d'un camarade - Poser des questions si nécessaire.	- Interroger les binômes. - Donner des explications - Institutionnaliser les acquis

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	Tout à fait d'accord	Plutôt d'accord	Plutôt pas d'accord	Pas d'accord du tout
Le logiciel GeoGebra aide à comprendre la géométrie.
Le logiciel GeoGebra ne fait jamais d'erreurs.
Si on constate une propriété avec le logiciel GeoGebra, alors on peut affirmer qu'elle est vraie.
Si on constate une propriété sur un dessin, alors on peut affirmer qu'elle est vraie.

* ¹ Bernard Parzysz, Représentations planes et enseignement de la géométrie de l'espace au lycée. Contribution à l'étude de la relation voir-savoir, Thèse, Université de Paris VII, 1989

* ² Colette Laborde et Bernard Capponi, Cabri-géomètre constituant d'un milieu pour l'apprentissage de la notion de figure géométrique, Recherche en didactique des mathématiques vol. 14/1-2, La pensée sauvage, 1994.

* ³ PARZYSZ Bernard. Voir et savoir, la représentation du « perçu » et du « su » dans les dessins de la géométrie dans l'espace. Bulletin de l'APMEP n° 364. 1986.

* ⁴ ARSAC Gilbert et al. Initiation au raisonnement déductif au collège. Presse universitaire de Lyon. 1992

Enseignement apprentissage de la géometrie dans un environnement informatique

ECOLE NORMALE SUPÉRIEURE DE BAMAKO

UNE SÉQUENCE D'ENSEIGNEMENT/APPRENTISSAGE DE LA GÉOMÉTRIE PLANE DANS L'ENVIRONNEMENT GEOGEBRA

Introduction................................................................

A. Partie théorique..................................................................

B .PARTIE EXPERIMENTALE................................................

C. CONCLUSION........................................................................

II. DESCRIPTION ET ANALYSE DE LA SÉQUENCE

Contexte d'étude :

Matériels de travail :

II.1.SÉANCE1 :

Phase1 : (5 mn)

Phase2 : (15 mn)

Tâches pour l'élève :

d. Rôle du professeur :

Bilan 1.1

Tâches pour l'élève :

d. Rôle du professeur :

Bilan1.2

Phase1:(15 mn)

Tâches pour élève

c. Élements d'analyse des tâches :

Bilan2.1

Éléments d'évaluation :

Phase2 :(20 mn)

a. Objectif :

b. Activité2 :

Tâches pour élève :

Consignes:

c. Élements d'analyse des tâches :

d. Rôle du professeur

Bilan2.2 :

Éléments d'évaluation

Justification du choix de cette activité :

FIN SÉANCE1

II.2. SÉANCE 2 : (sous séquence 3 : SS3) : Mise en oeuvre de la situation expérimentale.

c. Bilan de l'étape1 :

a. Objectifs :

b.Activité1 :

c.Activité2 :

II.2. 3.ANALYSE DES SITUATIONS DE LA SÉANCE 2 :

II.2. 3.7.Scénario de la séance :

Phase1 : (10 mn)

Phase2: (5 mn)

Phase3: (15 mn)

Phase4: (15 mn)

Phase5 : (5 mn)

Phase6 : (10 mn)

Phase7: (15 mn)

Rôle du professeur : Neutre

Phase8 (15)

Rôle du professeur :

Phase9 : (15)

NB :

Disposition des ordinateurs dans la salle d'informatique

Annexe3 : Tableau synoptique de la sous séquence3