Une introduction aux systèmes de lois de conservation

COnClUSIOn

Le problème de Cauch_y pour l'é_quation aux dérivées partielles du premier ordre de lois de conservation possède, sous certaines conditions de ré_gularité sur ses données, une solution classi_que locale en temps. En considérant la condition initiale constante par morceaux. on a pu constaté _qu'en dehors du champs d'application des h_ypothèses mathémati_ques (la condition de Lipschitz, la convexité de la fonction flux) le comportement de la solution pouvait perdre son réalisme, ou plusieurs comportements de la solution étaient envisa_geables. Il a fallu alors au niveau du modèle mathémati_que, imposer une condition supplémentaire pour écarter les comportements irréalistes, une iné_galité d'entropie par exemple. En utilisant cette iné_galité, on a montré l'existence et l'unicité _globale de la solution faible entropi_que et bornée, ce _que la méthode des caractéristi_ques ne pouvait faire. Une forme explicite de la solution du problème de Riemann est donnée par la formule de Hopf-Lax, cette formulation caractérise bien une solution ph_ysi_quement acceptable. Mais, sans aucune condition sur les données, la solution _globale n'existerait pas.

Les applications des résultats de la modélisation des matériaux plus élasti_ques _que les _gaz ou l'eau sont nombreuses, depuis les similations des crashes ou d'accidents de voiture, pour des modèles utilisés en matière de sécurité, jus_qu'à des applications industrielles d'impacts. La prospection _géolo_gi_que ou minière exploite é_galement de tels modèles.

Dans ce mémoire, nous n'avons abordé le problème de Cauch_y de lois de conservation _que dans les cas où, la variable spatiale était dans R, la fonction flux f était localement Lipschitzienne et convexe_; ceci nous amène à nous poser plusieurs _questions à savoir : *Que se passerait-il si x ? R^m, m > 1?

*Que se passerait-il si la fonction flux devait être _quelcon_que?

Face à toutes ces in_quiétudes, nous vous promettons d'apporter _quel_ques éléments de réponses dans nos recherches futures.

Biblio_graphie

[1 A.Bressan_; H_yperbolic S_ystems of Conservation Laws in one Space Dimension, Universidat Complutense in Madrid, (1998)

[21 A.Y.Le Roux_; Modélisation et calcul scientifi_que (version provisoire), université de Bordeaux 1, ( 8 avril 2005)

[31 A.Y.Le Roux_; La Formule de HOPF et LAX, Cours de DEA, Bordeaux, (Octobre 1999)

[41 J.droniou et C.Imbert_; Solutions de Viscosité et Solutions Variationnelle pour E.D.P non-linéaires_; (pol_ycopiés de cours-DEA maths)_; UMR CNRS 5149, (Mai 2004) (http :// www-_gm3.univ-mrs.fr/cours/]tc)

[51 J.vovelle_; Prise en compte des conditions aux limites dans les é_quations h_yperboli_ques non-linéaires. Université d'Aix-Marseille 1, ( decembre 2002)

[61 L.C Evans_; Partial Differential E_quations_;
American Mathematical Societ_y, (1997)

[71 L.C Evans_; Entrop_y and Partial Differential E_quations_; Department of Mathematics, UC Berkele_y

[81 P.Lax_; H_yperbolic s_ystems of conservations laws and the mathematical theor_y of shock waves. Siam (1973)

J.M KENFACK

Département de Mathémati_ques, Université de _yaoundé I BP 812 _yaoundé, Cameroun

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