Memoire Online - Recalage d'images medicales multimodales par evolution differentielle adaptative

« Savoir où l'on veut aller, c'est très bien ; mais il faut encore montrer qu'on y va »

Le problème traité dans ce travail peut être formulé comme suit. Étant données deux image I1 et I2 obtenues de capteur identiques (recalage monomodale), ou différents (recalage multimodal), il s'agit de trouver la transformation géométrique T qui permet d'aligner correctement les deux images.

Les algorithmes proposés, basés sur l'évolution différentielle, permettent d'estimer la transformation géométrique T. Il s'agit d'une approche iconique puisque les deux algorithmes considèrent la totalité de l'information photométrique contenue dans les images.

Pour ce faire, on doit d'abord définir d'une représentation des solutions adoptée, d'une mesure de similarité qui permet une évaluation quantitative de la relation entre deux images lors de leur superposition, et d'une stratégie de recherche.

Formellement, les individus dans un Algorithme à Évolution Différentielle (AED) sont représentés par des vecteurs Narg-dimensionnels de valeurs réelles xi V i E [1, Np] , où: Narg est le nombre des paramètres à optimiser et Np est la taille de la population. La longueur de chaque individu dépend du type de la transformation recherchée.

Dans ce type de transformation qui est la composition d'une translation et d'une rotation, on a trois paramètres : dx, dy pour la translation et ? pour la rotation, la nouvelle position (?', ?') d'un point (?2, ?2) de la deuxième image est calcule comme suit :

Les paramètres dx et dy appartiennent à l'intervalle [-20, 20] tandis que ? appartient à l'intervalle [-50, 50] degré. Un individu encode les trois paramètres : dx, dy, ?. Donc il s'agit alors de chercher dans l'espace R³ les valeurs des paramètres donnant la meilleure superposition des deux images.

Cette transformation formée par la combinaison d'une translation, une rotation et un changement d'échelle S (agrandissement ou réduction), la nouvelle position de chaque pixel dans l'image résultante (?', ?') d'un point (?2, ?2) de l'image à recaler est calcule comme suit :

Le facteur d'échelle s appartient à l'intervalle [0, 2]. Un individu encode donc les quatre paramètres : dx, dy, ? et S. Donc il s'agit alors de chercher dans l'espace R⁴ les valeurs des paramètres donnant la meilleure superposition des deux images.

Pour la transformation affine, l'individu encode les six paramètres : ??, ??, ?11 , ?12, ?21, ?22 tel que chaque point dans l'image I2 est calculé à partir de sont correspondant dans I1 comme suit :

Pour l'évaluation d'une transformation, on a besoin d'une mesure de similarité. Il existe plusieurs mesures de similarité parmi lesquelles nous citons : le coefficient de corrélation, le critère quadratique, la corrélation croisée normalisée, etc. Ces mesures sont simples et facile à programmer mais ne sont pas adaptées au cas d'un recalage multi modale où les images ont des structures similaires mais des caractéristiques différentes. L'information mutuelle est l'une des mesures adaptée à la comparaison d'images multi sources. Elle est définie par l'expression :

Les entropies séparées H(I1) et H(I2) mesurent la complexité des images I1 et I2. L'entropie jointe H (I1, I2) mesure la quantité d'information que les images I1 et I2 apportent en même temps. Comme nous avons dit dans le premier chapitre, L'information mutuelle est maximale dans le cas d'une totale dépendance, et minimale dans le cas contraire.

L'information mutuelle est maximale dans le cas d'une parfaite superposition. Donc, l'idée est de définir une stratégie de recherche ayant pour objectif de maximiser cette mesure. Le problème revient donc à explorer l'ensemble des paramètres pour maximiser cette mesure.

L'algorithme à évolution différentiel de base, comme déjà mentionné dans le chapitre précédent, soufre du problème de convergence prématurée. Par exemple, la figure 4.3 montre l'évolution de l'information mutuelle équivalente au recalage des images de la figure 4.2. On peut bien voir que l'algorithme de base souffre du problème des minima locaux. Ceci est principalement causé par le fait qu'avec le temps, les individus deviennent égaux à cause de l'impact de l'opérateur de mutation et donc, la mutation différentielle sera incapable de créer la diversité au sein de la population.

Pour résoudre ce problème, on a proposé deux nouvelles extensions de l'AED. Ces deux variantes sont nommées respectivement : Evolution Différentielle Linéairement Adaptative (EDLA) et Evolution Différentielle Périodiquement Adaptative (EDPA). Dans ce qui suit, ces deux variantes seront expliquées.

Figure 4.3 Le meilleur global, le moyen et le minima locaux aux cours du recalage rigide des images de la figure 4.2

Dans cette variante, nous avons défini les deux facteurs de mutation (Fd) et de croisement (Fc), généralement donnés come des constantes dans la version de base, par les deux équations linéaires suivantes :

?? = ????? - ?????? - ????? ? * ??/???? = ????? + ?????? - ????? ? * ??/?? (4.1)

Où ?? ? ?????? , ????? ? = ?0.5,1? et ?? ? ?????? , ????? ? = ?0.5,1?. It : itération en cours et Ng : le nombre maximum de générations.

On voit bien de cette formule que Fd décroit avec le temps et Fc accroît avec le temps.

Dans la deuxième de nos contributions, le facteur de mutation Fd est contrôlé par l'équation sinusoïdale suivante :

Où : j E{1,...... Ng}; Ng : est le nombre maximal de génération ; et f est la fréquence. Le signe de facteur de mutation représente la direction de graph.

Dans cette contribution nous avons initialisé le facteur de croisement (Fc) à la valeur 0. Puisque l'équation périodique est capable de gérer l'équilibre entre l'exploration et l'exploitation.

Comme le montre la figure 4.4, le facteur Fd change sa direction d'évolution d'une façon périodique. Ce qui donne lieu à une bonne balance entre l'exploitation et l'exploration.

L'avantage principal de cette deuxième approche est qu'on a pu éliminer l'opérateur de croisement de l'algorithme. Donc, une complexité algorithmique réduite est associé à cette deuxième variante.

Le but de cette section est d'évaluer les performances des deux contributions à travers leur application sur des paires d'image de test. Des comparaisons statistiques sont fournies pour pouvoir comparer nos approches avec l'algorithme différentiel de base.

On présente ici quelques résultats numériques pour les trois types de transformations rigide, rigide avec zoom et affine. Pour chaque paire d'image, les algorithmes AED, EDLA et EDPA sont exécutés 30 fois pour les deux premiers types de recalage et 5 fois pour le cas du recalage affine (car plus de temps de calcul est nécessaire pour ce dernier). On donne la moyenne (moy), l'écart type (STD) et le médian (médian) de la valeur de l'information mutuelle sur l'ensemble des 30 exécutions ainsi que la meilleure (meilleurIM) et la mauvaise (mauvaisIM) valeur de l'information mutuelle. Ces résultats sont présentés dans le tableau 4.1.

Dans l'algorithme de base, Nous avons fixé le facteur de mutation Fd par la valeur 0.6301 et le facteur de croisement Fc par la valeur 0.7122. Ces valeurs sont tirées de la littérature, à base de travaux actant sur le réglage de paramètres de l'ED de base.

Nous avons utilisé une population (Np) de 20 individus, ces individus sont représentés par des vecteurs de 3, 4 et 6 variables réelles (pour différents types de transformation). Le nombre d'itérations a été choisi d'être 20, 50 et 100 pour le recalage rigide, la similitude et l'affine respectivement.

Les valeurs des paramètres propres aux contributions sont fixées empiriquement comme suit. Dans la première variante, EDLA, les bornes supérieures et inférieure des valeurs de Fd et de l'Fc sont égales à 0.9 et 0.4 respectivement. Dans la deuxième variante, la fréquence f de l'équation sinusoïdale est choisie d'être égale à 1/5.

Paire d'images	AED			EDLA			EDPA
	Moy	STD	Médian	Moy	STD	Médian	Moy	STD	Médian
			MeilleurIM			MeilleurIM			MeilleurIM
			MauvaiseIM			MauvaiseIM			MauvaiseIM
*PI1*	1.1174	0.1043	1.1530 1.2169 0.8621	1.2777	3.4510e-004	1.2777 1.2782 1.2771	1.2762	0.0012	1.2765 1.2777 1.2744
*PI2*	0.9031	0	0.9031 0.9031 0.9031	1.1474	0.1581	1.2235 1.2360 0.7873	0.9480	0.0516	0.9360 1.0897 0.8772
*PI3*	1.0142	0.0279	1.0140 1.0496 0.9718	0.5220	0.2614	0.3536 0.9807 0.4573	0.7054	0.0974	0.7160 0.8542 0.6108

Tableau 4. 1 : Résultats numériques des transformations : rigide et rigide avec zoom et affine.

Le tableau 4.1 montre bien que les deux nouveaux Algorithmes EDLA et EDPA ont presque la même performance et donnent dans la majorité des cas (transformations rigide et similitude) de meilleurs résultats par rapport à l'ED de base. Aussi, on a gagné un opérateur dans la deuxième variante, EDPA ; et donc moins de temps de calcul sera nécessaire avec des performances similaires ou meilleures que l'algorithme de base.

Dans cette section nous donnons quelques résultats qualitatifs des différentes approches.

Les figures 4.5 et 4.6 représentent respectivement, une paire d'images à être recalée et les résultats d'application des différentes variantes sur cette paire d'images dans le cas rigide.

Figure 4.6 Recalage rigide des images de la figure 4.5 par ADE (à gauche), (au milieu) EDLA et

D'une autre part, les graphes de la figure 4.7 présente à quel point les deux variantes proposées dans ce travail sont capable d'offrir un bon compromis entre exploration et exploitation. Il est claire des graphes de cette figure que la troisième approche est meilleure dans sa recherche des solutions : elle permet au même temps une bonne exploration de l'espace de recherche, et une préservation de la diversité de la population.

Figure 4.7 les graphes d'IM correspondant aux images de la figure 4.6 : EDA (à gauche au-dessus), EDLA (à droite au-dessus) et EDPL (milieu au-dessous)

Les figures 4.8 et 4.9 représentent respectivement, une paire d'images à être recalée et les résultats d'application des différentes variantes sur cette paire d'images dans le cas de similitude. Une autre fois, la figure 4.10 montre la supériorité de la deuxième variante en termes de garantie du bon équilibre entre exploitation et exploration.

Figure 4.8 : Paire d'image à recaler : à gauche IRM coloré et à droite Scanner.

Figure 4.10 les graphes d'IM correspondant aux images de la figure 4.9: EDB (à gauche au-dessus),
EDLA (à droite au-dessus) et EDPL (milieu au-dessous).

Une interface graphique permettant de faciliter la tâche de réglage de paramètres au médecin, qui n'est pas familier avec l'outil de développement (Matlab dans ce travail), a été développée. Cette interface permet : l'accès aux de images à être recalée, le réglage des paramètres et le lancement de la recherche de la meilleure transformation. Les figures 4.11 et 4.12 représente respectivement l'interface graphique de l'application avant et après exécution de l'algorithme en question.

Dans ce chapitre deux nouvelles variantes de l'algorithme à évolution différentielle pour le recalage d'images médicales multimodales ont été proposées. Dans la première variante, une adaptation linéaire du facteur de mutation et de la probabilité de croisement est adoptée. Dans la deuxième, on a utilisé une adaptation sinusoïdale du facteur de mutation, et on n'a pas appliqué le croisement, car la mutation par facteur d'amplification périodiquement adapté a permis d'assurer le bon équilibre entre exploitation et exploration. Ceci a donné lieu à une complexité algorithmique relativement réduite.

Dans l'ensemble, les résultats expérimentaux ont montré que les deux approches proposées sont meilleures ou au moins concurrentes à l'évolution différentielle de base dans le cas du recalage d'images médicales multimodales.

Recalage d'images medicales multimodales par evolution differentielle adaptative

Chapitre 4 :