Introduction aux valuations

Chapitre 1

Les nombres p-adiques

1.1 L'anneau des entiers p-adiques

Dans ce qui suit, la lettre p désignera toujours un nombre premier fixé.

XDéfinition 1.1.1. Un entier p-adique est une série formelle aipⁱ avec les ai des entiers

i=0

tels que

0 = ai = p-1 .

XGrace à cette définition, on peut identifier tout entier p-adique i=0

aip^iavec le suite

(ai)i=0 composée de ses coéfficients. Ainsi l'ensemble des entiers p-adiques peut être représnté comme le produit cartésien

I-IX = X_p = 0,1,...,p - 1 = 0,1,...,p - 1 ^N .

i=0

En particulier si a = P i=0aipi et b = i=0 bipⁱ (avec ai,bi ? {0,1,...,p - 1}), alors

a = b ? ai = bi pour tout i = 0.

Remarque 1.1.1. Tout nombre naturel admet une écriture en base p grâce à laquelle il existe une inclusion canonique de N dans l'ensemble des entiers p-adiques.

On définit la somme de deux entiers p-adiques a et b de la façon suivante : la première composante de la somme est a0 + b0 si elle est plus petite ou égale à p - 1, sinon a0 + b0 - p. Dans le deuxième cas on retient 1 que l'on va additionner à la composante de p et on continue l'addition ainsi, composante par composante. A la fin on obtient une somme dont toutes les composantes sont dans l'ensemble {0,1,...,p-1}.

5 A.Belkhadir

1.1. L'ANNEAU DES ENTIERS P-ADIQUES

EXEMPLE -- Soit

a = 1 = 1+0p+0p²+..., b = (p-1)+(p-1)p+(p-1)p²+...

La première composante vaut (1+ p -1) - p = 0 on retient 1 qu'on additionne à la deuxième qui s'annule également, on retient de nouveau 1 et ainsi de suite. A la fin toute les composantes vaudront 0 et on obtient 1+b = 0 , autrement dit b est l'inverse additif de a = 1 dans l'ensemble des entiers p-adiques, raison pour laquelle on écrira b = -1.

aipⁱ

XEn s'inspirant de l'exemple précédent on peut définir pour tout a =

i~0

Xb = ó(a) = (p - 1 - ai)pⁱ

i~0

tel que a+b+1 = 0 . En reformulant l'expresion on voit que ó(a)+1 = -a, autrement dit pour tout entier p-adique il existe un inverse additif et on peut en déduire facilement que X_p est un groupe abélien. En particulier on voit que l'inclusion _N~
· // X_p s'étend à un homomorphisme injectif Z~
· // X_p . Les entiers négatifs seront de la forme -m -1 = ó(m) ayant toutes leurs composantes égales à p -1 à l'exception d'un nombre fini d'entre eux.

Ayant vu que tous les entiers rationnels (i.e Z) sont des entiers p-adiques, on appèllera désormais Z_p le groupe des entiers p-adiques.

De manière similaire à l'addition, on définit la multiplication dans Z_p . Cette multiplication n'est rien d'autre que l'extension de la multiplication usuelle des entiers naturels (écrits en base p), en continuant tout simplement l'algorithme de multiplication jusqu'à la fin.

XEXEMPLE--Ona déja vu que -1 = (p-1)pⁱ . Quelques transformations algébriques i~0

simples donnent ensuite

_X X pi = 1

1 = (1 - p). pⁱ , 1 - p.

Il s'ensuit que 1 - p est inversible en tant qu'élément de Z_p et son inverse est donné par la série géométrique formelle de raison p . Comme

p. aipⁱ = a0p + a1p²,... ~ 1+ 0p + 0p² + ...,

6 A.Belkhadir

1.2. LA VALUATION P-ADIQUE

le nombre premier p n'a pas d'inverse multiplicatif dans Z_p .

Muni de l'addition et de la multiplication définies comme ci-dessus, Z_p est un anneau commutatif.