Introduction aux valuations

Université Chouaib Doukkali
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
et d'Informatique
El Jadida

Mémoire de fin d'études

Présenté par : Abdelhak BELKHADIR
Pour l'obtention du diplôme de Master
Option : Mathématiques Fondamentales

Titre :

Introduction aux Valuations

Jury : - Prof. Ahmed SERHIR , encadrant ;

- Prof. Mostafa ALAOUI ABDALLAOUI ; - Prof. Abdelfattah HAÏLY ; - Prof. Jaafar LAHRACHE .

10 Juillet 2013

Année universitaire : 2012/2013

Remerciements

Je tiens à exprimer mes remerciements et ma profonde gratitude à mon professeur encadrant, Mr. Ahmed Serhir, qui n'a épargné aucun effort pour que ce travail prenne forme. Je le remercie pour l'attention particulière qu'il a portée à ce travail et de la confiance qu'il m'a accordée tout au long de ce parcours.

Une partie de ma formation Mathématique doit aux Professeurs M. Abdallaoui Alaoui, A. Haïly et J. Lahrache. Etant honoré par leur intérêt à ce mémoire et leur participation à son jury; je saisis l'occasion pour leur adresser mes vifs remerciements.

Mes remerciements vont, également, au corps enseignant des mathématiques à la faculté des sciences d'El Jadida auprès duquel je n'ai jamais cessé d'apprendre. Enfin, je remercie mes collègues d'études, et mes collègues de travail pour leur soutien, et tous ceux qui, de près ou de loin, ont contribué à la réalisation de ce travail.

1

Table des matières

Introduction 1 Les nombres p-adiques			1 4
	1.1	L'anneau des entiers p-adiques	4
	1.2	La valuation p-adique	6
	1.3	Réduction mod p	7
	1.4	Le corps Qp des nombres p-adiques	9
2	Valuations sur les corps		12
	2.1	Anneaux de valuations	12
	2.2	Valuation	16
	2.3	Hauteur d'une valuation	20
	2.4	Prolongement d'une valuation	24
	2.5	Complété d'un corps pour une valuation	26
		2.5.1 Corps normés	26
		2.5.2 Normes ultramétriques et valuations	30
		2.5.3 Extensions de corps valués complets	32
3	Valuations sur les anneaux non commutatifs		34
	3.1	Anneau de valuation d'un anneau à division	34
	3.2	Valuation discrète (non commutative)	42
	3.3	Valuations sur les algèbres à division de dimensions finies	45
	3.4	Valuations sur les algèbres à involution	48
		3.4.1 Normes et jauges sur les espaces vectoriels	49
		3.4.2 Jauges spéciales	52
		3.4.3 Jauges sur les produits tensoriels	55

2

Introduction

La notion de place d'un corps K , notion qui est équivalente à la notion de valuation de K , a été introduite par Dedekind et Weber en 1882. Pour étudier les courbes algébriques planes et trouver une version algébrique des constructions de Riemann qui évite en particulier toute considération topologique, ils définissent les places de K.

A la suite des travaux de Dedekind et Weber, Hensel développe la théorie des nombres p-adiques qui permet d'associer à tout élément de K une «série p-adique». En 1913 Kürschak définit la notion de valeur absolue, et en particulier de valeur absolue ultramétrique, généralisant ainsi la valeur absolue p-adique. Et c'est Krull qui définit et étudie la notion générale de valuation en 1931.

Les premiers travaux sur les places, et par conséquent sur les valuations se trouvent ainsi dans le domaine de l'arithmétique (Ostrowski, Deuring).

Les valuations ont aussi joué un rôle très important en géométrie algébrique, en particulier avec les travaux de Zariski, puis d'Abhyankar. Leur étude était motivée par le problème de la résolution des singularités.

Il existe aussi un côté non commutatif du sujet, dans l'étude des valuations et des anneaux de valuations sur les algèbres à division. Cet aspect ne s'est épanouie que dans les vingt dernières années. Et il n'est pas aussi bien connu que sa contrepartie commutative. La première utilisation des valuations dans les anneaux à division non commutatifs était par Hasse en 1931. Dans les années 40 et 50 il y avait un peu plus de travail avec les valuations sur les algèbres à division sur des corps complets pour des valuations discrètes . Il y avait aussi des discussions sur les valuations dans les algèbres à division dans les travaux de Schilling, observant surtout, que quelques résultats sur les valuations restent valables sans supposer que l'anneau à

3 A.Belkhadir

TABLE DES MATIÈRES

division soit commutatif. On peut dire qu'il y avait peu de souci aux valuations sur les algèbres à division, il n'a pas été clair ce qu'il falait prendre comme définition pour une valuation sur un anneau à division, puisque les notions de valuation et d'anneau de valuation ne sont pas équivalentes dans le cas non commutatif.

Il a fallu attendre la fin des années 1970 et les années 1980 que la théorie des valuations sur les algèbres à division commença à se développer considérablement. Cela était dû en grande partie à la prise de conscience que certaines constructions principales de contre-exemples pourrait être mieux comprise en utilisant la théorie des valuations. On a commencé à reconnaitre que , tant que les valuations sur les algèbres à division pourraient être relativement rares, quand une valuation est présente, elle peut être souvent utilisée pour obtenir des informations arithmétiques plus détaillées sur un anneau à division que par d'autres moyens.

L'objectif de ce mémoire est de faire une synthèse des travaux sur les valuations en général, dans les limites imposées que ce soit par la durée consacrée à la préparation du travail ou par la rareté des références qui traitent le sujet.

Dans le premier chapitre nous avons présenté les nombres p-adiques qui étaient l'un des objets qui ont déclenché le développement de la théorie des valuations. Le deuxième chapitre est consacré aux valuations sur les corps commutatifs. Alors que dans le troisième chapitre, nous avons a essayé de présenter une des généralisations de la notion d'anneaux de valuation au cas non commutatif à savoir : les anneaux de valuation invariants, dans le sens qu'ils possèdent des propriétés analogues au cas commutatif. Certes, les valuations jouent un rôle primordial dans le développement des anneaux à divisions non commutatifs. Cependant, elles ne sont définies que sur les algèbres à division et non pas sur les algèbres simples centrales avec des diviseurs de zéro. Il a falu introduire un nouvel outil plus flexible appelé jauge [9, Intr.]. Les jauges sont des pseudo-valuations définies sur des algèbres semi-simples de dimensions finies sur un corps valué.

4

Chapitre 1

Les nombres p-adiques

1.1 L'anneau des entiers p-adiques

Dans ce qui suit, la lettre p désignera toujours un nombre premier fixé.

XDéfinition 1.1.1. Un entier p-adique est une série formelle aipⁱ avec les ai des entiers

i=0

tels que

0 = ai = p-1 .

XGrace à cette définition, on peut identifier tout entier p-adique i=0

aip^iavec le suite

(ai)i=0 composée de ses coéfficients. Ainsi l'ensemble des entiers p-adiques peut être représnté comme le produit cartésien

I-IX = X_p = 0,1,...,p - 1 = 0,1,...,p - 1 ^N .

i=0

En particulier si a = P i=0aipi et b = i=0 bipⁱ (avec ai,bi ? {0,1,...,p - 1}), alors

a = b ? ai = bi pour tout i = 0.

Remarque 1.1.1. Tout nombre naturel admet une écriture en base p grâce à laquelle il existe une inclusion canonique de N dans l'ensemble des entiers p-adiques.

On définit la somme de deux entiers p-adiques a et b de la façon suivante : la première composante de la somme est a0 + b0 si elle est plus petite ou égale à p - 1, sinon a0 + b0 - p. Dans le deuxième cas on retient 1 que l'on va additionner à la composante de p et on continue l'addition ainsi, composante par composante. A la fin on obtient une somme dont toutes les composantes sont dans l'ensemble {0,1,...,p-1}.

5 A.Belkhadir

1.1. L'ANNEAU DES ENTIERS P-ADIQUES

EXEMPLE -- Soit

a = 1 = 1+0p+0p²+..., b = (p-1)+(p-1)p+(p-1)p²+...

La première composante vaut (1+ p -1) - p = 0 on retient 1 qu'on additionne à la deuxième qui s'annule également, on retient de nouveau 1 et ainsi de suite. A la fin toute les composantes vaudront 0 et on obtient 1+b = 0 , autrement dit b est l'inverse additif de a = 1 dans l'ensemble des entiers p-adiques, raison pour laquelle on écrira b = -1.

aipⁱ

XEn s'inspirant de l'exemple précédent on peut définir pour tout a =

i~0

Xb = ó(a) = (p - 1 - ai)pⁱ

i~0

tel que a+b+1 = 0 . En reformulant l'expresion on voit que ó(a)+1 = -a, autrement dit pour tout entier p-adique il existe un inverse additif et on peut en déduire facilement que X_p est un groupe abélien. En particulier on voit que l'inclusion _N~
· // X_p s'étend à un homomorphisme injectif Z~
· // X_p . Les entiers négatifs seront de la forme -m -1 = ó(m) ayant toutes leurs composantes égales à p -1 à l'exception d'un nombre fini d'entre eux.

Ayant vu que tous les entiers rationnels (i.e Z) sont des entiers p-adiques, on appèllera désormais Z_p le groupe des entiers p-adiques.

De manière similaire à l'addition, on définit la multiplication dans Z_p . Cette multiplication n'est rien d'autre que l'extension de la multiplication usuelle des entiers naturels (écrits en base p), en continuant tout simplement l'algorithme de multiplication jusqu'à la fin.

XEXEMPLE--Ona déja vu que -1 = (p-1)pⁱ . Quelques transformations algébriques i~0

simples donnent ensuite

_X X pi = 1

1 = (1 - p). pⁱ , 1 - p.

Il s'ensuit que 1 - p est inversible en tant qu'élément de Z_p et son inverse est donné par la série géométrique formelle de raison p . Comme

p. aipⁱ = a0p + a1p²,... ~ 1+ 0p + 0p² + ...,

6 A.Belkhadir

1.2. LA VALUATION P-ADIQUE

le nombre premier p n'a pas d'inverse multiplicatif dans Z_p .

Muni de l'addition et de la multiplication définies comme ci-dessus, Z_p est un anneau commutatif.

1.2 La valuation p-adique

XSoit a = aipⁱ un entier p-adique. Si a * 0 alors il existe un plus petit indice

v = v_p(a) = 0 tel que a_v * 0 . Cet indice s'appelle la valuation p-adique de a . On obtient ainsi une application

v_p : Z_p r{0} ? N.

Proposition 1.2.1. -- L'anneau des entiers p-adique Z_p est intègre.
·

Démonstration. -- L'anneau Z_p est commutatif et non-trivial, il faut montrer qu'il

_{X X}

n'existe pas de diviseurs de zéro. Soient a = aipⁱ et b = bipⁱ deux éléments non

nuls de Z_p et soit v = v_p(a), w = v_p(b) . Alors a_v ( resp. b_w) est le plus petit coéfficient non nul de a (resp. b). Comme p ne divise ni a_v ni b_w il ne divisera pas _avbw non plus. Par la définition de la multiplication, le premier coéfficient non nul de ab est le coéfficient _cv+w de p^v+w et ce coéfficient est donné par

0 < cv+w < p, cv+w = avbw mod p.

Ainsi ab * 0 et Z_p est bien un anneau intègre.

Corollaire 1.2.1. -- La valuation p-adique v_p : Z_p r {0} ? N satisfait les propriétés suivantes :

1. v_p(ab) = v_p(a) + v_p(b);

2. v_p(a+b) = min(v_p(a),v_p(b)). si a,b et a +b sont tous non nuls.
·

On étend la valuation p-adique à Z_p tout entier en posant v_p(0) = 8 . Ainsi définie, l'application de valuation v_p : Z_p ? N satisfait les propriétés énoncées au corollaire.

1.3. RÉDUCTION MOD P

1.3 Réduction mod p

Soit F_p = Z/pZ le corps fini à p éléments. L'application

Ea = aipⁱ H a0 mod p

i>_0

définit un homomorphisme d'anneaux e : Z_p - F_p appelé réduction mod p . La réduction est clairement surjective et son noyau est

{ } kere = a E Zp|a0 = 0 =

{ E i>_1

aip^i

? ??? ???

=

{pE j>_0

aj+1p^j

? ???? ? ???

= pZp.

Ainsi on a

Z_p/pZ_p = F_p

Comme Z/pZ = F_p est un corps, pZ_p est un idéal maximal de l'anneau Z_p .

Proposition 1.3.1. -- Le groupe Z_p^x des éléments inversibles de l'anneau Z_p est formé des entiers p-adiques de valuation nulle, autrement dit

Zx p

{ } = a E Zp|vp(a) = 0 =

{ E i>_0

? ?? aip^i|a0 * 0 ? ? ??

.

Démonstration. -- Si un entier p-adique a est inversible alors e(a) doit l'être également

dans Fp , ce qui montre l'inclusion Zx p c

{ E i>_0

? ?? aip^i|a0 * 0 ? ???

. Réciproquement, montrons

7 A.Belkhadir

que tout entier p-adique a de valuation nulle est inversible. Dans ce cas sa réduction e(a) E F_p est non nulle et donc est inversible en tant qu'élément du corps F_p . Choisissons 0 < b0 < p tel que _a0b0 -1 mod p . Alors a0b0 = 1 + kp pour un k donné et en écrivant a = a0 + pá , nous obtenons

a.b0 = 1 + kp + páb0 = 1 + pk

pour un entier p-adique k donné. Il nous suffira donc de montrer que l'entier p-adique 1 + kp est inversible car nous savons que

a.b0(1 +kp)^-1 = 1, a^-1 = b0(1 +kp)^-1.

8 A.Belkhadir

1.3. RÉDUCTION MOD P

Autrement dit il suffit de traiter le cas a0 = 1,a = 1 + kp . Observons alors qu'on peut prendre

(1-kp)^-1 = 1-kp+(kp)²-...

qui est clairement un entier p-adique car en chaque degré il y a un nombre fini de

termes et on peut appliquer les règles usuelles d'addition et de multiplication. ci

Corollaire 1.3.1. -- L'anneau des entiers p-adique Z_p est local d'idéal maximal unique pZ_p = Z_p 'Z< _p , et on a

[ Zp ' {0} = k~0

pkZ< p . ·

Corollaire 1.3.2. -- Tout entier p-adique a € Z_p peut être représenté de manière canonique sous la forme a = p^vu, où v = v_p(a) est la valuation p-adique de a et u € Z< p est une unité p-adique.
·

Les propriétés de divisibilité des nombres entiers p-adiques s'expriment très simplement au moyen de la valuation. En particulier, on obtient facilement, à partir de la proposition précédente:

Corollaire 1.3.3. -- L'entier p-adique a est divisible par b si et seulement si v_p(a) ~ v_p(b). En particulier p est le seul élément premier de l'anneau Z_p ( à multiplication par un élément unité près).
·

Ainsi, l'arithmétique de l'anneauZ_p est très simple. Il y a un seul élément premier (à un élément associé près), c'est le nombre p. Tout élément de Z_p est caractérisé par sa valuation et son unité.

Corollaire 1.3.4. -- Un entier rationnel a € Z est inversible dans Z_p si et seulement s'il

a

n'est pas divisible par p . Un quotient d'entiers b € Q est un entier p-adique si et seulement si b n'est pas divisible par p .
·

Proposition 1.3.2. -- L'anneau Z_p est principal. Ses idéaux sont les idéaux principaux {0} et (p^k) avec k € N.
·

9 A.Belkhadir

1.4. LE CORPS QP DES NOMBRES P-ADIQUES

Démonstration. -- Soit I * {0} un idéal de Z_p et a * 0 un élément de valuation minimale, disons k = v_p(a) < 8 . Ecrivons a = p^ku avec u une unité p-adique. Ainsi pk = u-¹a ? I et (p^k) ? I . Réciproquement, soit b ? I et w = v_p(b) = k par la minimalité

de k . Ecrivons b = p^wu^' = p^k.p^w-^ku^' ? (p^k) , ce qui montre que I ? p^kZ_p .

Remarque 1.3.1. -- On a :

{ }

p^kZ_p = x ? Z_p | v_p(x) = k ;

nZp ? pZ_p ? ... ? p^kZ_p ? p^kZ_p = {0}.

k=0

1.4 Le corps Qp des nombres p-adiques

Nous avons déja vu que l'anneau Z_p des entiers p-adiques est intègre. Cela nous permet de définir le corps des nombres p-adiques comme le corps de fractions de Z_p ,

Q_p = Frac(Z_p).

Nous avons également démontré que tout entier p-adique x ? Z_p peut être écrit sous la forme x = p^mu avec u une unité de Z_p et m ? N la valuation p-adique de x . Il s'ensuit que l'inverse de x dans Q_p devra être 1/x = p-mu-1 , ce qui montre que Q_p est engendré par Z_p et les puissances négatives de p :

Q_p = Z_p[1/p].

la représentation des inverses sous la forme 1/x = p-mu-1 montre également que 1/x ? p-^mZ_p et

UQp = p^-mZ_p.

m=0

Nous pouvons encore remarquer que tout nombre p-adique non nul peut s'écrire de manière unique comme x = p^mu avec m ? Z et u une unité de Z_p . Ainsi

UQp = m?Z

m p Zp.

Nous pouvons étendre la valuation p-adique à Q_p tout entier en posant pour 0 * x = p^mu

v_p(x) = v_p(p^mu) = m ? Z.

10 A.Belkhadir

1.4. LE CORPS QP DES NOMBRES P-ADIQUES

Si x = a/b avec a E Z_p et 0 * b E Z_p , alors v_p(x) = v_p(a) - v_p(b) E Z et, comme nous l'avons déja démontré, nous avons la relation

v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y), pour tout x,y E Q_p. Il s'ensuit que la valution p-adique est un homomorphisme

v_p : Q^×_p - Z.

il est clair que le nombre p-adique x est un nombre entier p-adique si et seulement si v_p(x) >_ 0 .i.e.

Z_p = {x E Q_p | v_p(x) >_ 0}.

Il est clair aussi que si un élément x E Q_p n'appartient pas Z_p , alors x-¹ E Z_p .

EXEMPLE -- Tout nombre p-adique a possède une expression p-adique, i.e. on peut l'écrire dans la base p :

a = a0 +a1p+a2p² +...+a_rp^r (0 < ai < p). (1.1)

En termes de valuation v_p on peut penser à a comme s'il est obtenu par des approximations successives : a0,a0 + a1p,...,a . De manière similaire, un élément de Z_p peut être écrit comme des séries infinies

b = b0 + b1p + b2p² + ...; (1.2)

C'est la limite de la suite des entiers formés par les sommes partielles b0,b1p,... . Pour un élément c de Q_p on va écrire :

c = c-kp^-k + _c1-kp1-k + ... + c-1p^-1 + c0 + c1p + c2p² + ...; (1.3)
Par exemple, on sait que

-1 = _E1 (p - 1)p^k. k>_0

Pour p = 7 , on a :

-1 = 6+6.7+6.7²+.... (1.4)

Les nombres rationnels sont dans Z aussi longs que leur dénominateur est premier avec 7 . Ainsi, pour trouver le développement 7-adique de 1/2 on a : 1/2 = (-6+7)/2 = -3+¹₂.7=-3-3.7-3.7²-...,donc

1 8-7

2 = 2 = 4- ₂.7 = 4+3.7+3.7²+...;

1 (1.5)

11 A.Belkhadir

1.4. LE CORPS QP DES NOMBRES P-ADIQUES

A l'aide de ce développement on peut résoudre l'équation x² = 2 dans Z7 , en utilisant le théorème binomial. Précisement on a x² = 2 quand (2x)² = 8 = 1+7, donc 2x = (1+7)¹/² , et

x =

1 )

₂(1 + 7)¹/² = (1/2 .7n.

n

On utilisant (1.5), on peut voir que la dernière somme est un élément de Z7 .

12

Chapitre 2

Valuations sur les corps

Dans ce chapitre nous présentons des résultats élémentaires principaux sur les valuations . Ces résultats sont bien connus et se trouvent notamment dans les livres : [1] et [4].

Tous les anneaux considérés sont commutatifs.

2.1 Anneaux de valuations

Soient A et B deux anneaux locaux d'idéaux maximaux respectifs max(A) et max(B) , nous disons que B domine A si A c B et max(A) = Anmax(B) ; si nous supposons l'inclusion A c B alors la deuxième condition est équivalente à max(A) c max(B) . la relation "B domine A" que nous notons A < B , est une relation d'ordre sur l'ensemble des anneaux locaux. Si A < B, alors l'injection de A dans B définit un isomorphisme du corps résiduel k(A) = A/max(A) sur un sous-corps du corps résiduel k(B) = B/max(B) . En effet, soit ? : A - B/max(B), a 1-> a + max(B) , alors ?(a) = max(B) t=> a € A n max(B) t=> a € max(A), d'où ? induit une injection ?e : A/max(A) - B/max(B) .

A/max(A)C B/max(B)

Soient A et B deux anneaux intègres avec A c B , alors pour tout idéal premier Q de B l'anneau localisé BQ domine AP où P est l'idéal premier de A défini par P=AnQ.

13 A.Belkhadir

2.1. ANNEAUX DE VALUATIONS

Définition 2.1.1. -- Soit V un anneau contenu dans un corps K ; alors V est un anneau de valuation de K , si K est le corps des fractions de V et si V est un élément maximal de l'ensemble des sous-anneaux locaux de K ordonné par la relation de domination : i.e. V est un anneau local et si W est un sous-anneau local de K différent de K qui domine V , alors W = V .

- Soit V un anneau intègre, V est un anneau de valuation si V est un anneau de valuation de son corps des fractions.
·

Avant de donner les propriétés caractéristiques des anneaux de valuation, nous allons rappeler le théorème de Cohen-seidenberg et la notion d'anneau intégralement clos:

Soit A un sous-anneau d'un anneau commutatif intègre B. Un élément x ? B est dit entier sur A s'il est zéro d'un polynôme normalisé de A[X].

On dit que B est entier sur A, si tout élément de B est entier sur A. L'ensemble des éléments de B entiers sur A est appelé la fermeture intégrale de A dans B. On appelle clôture intégrale de A la fermeture intégrale de A dans son corps des fractions. A est dit intégralement clos (ou normal) s'il est égal à sa clôture intégrale.

Théorème de Cohen-seidenberg. -- Soient A et B deux anneaux avec A c B et B entier sur A , alors pour tout idéal premier P de A il existe un idéal premier Q de B au dessus de P, c'est à dire tel que P = A n Q.
·

Théorème 2.1.1. -- Soit V un anneau contenu dans un corps K , alors les conditions suivantes sont équivalentes:

a) V est un anneau de valuation de K ;

b) soit x un élément de K , si x n'appartient pas à l'anneau V alors son inverse x-¹ appartient à V ;

c) K est le corps des fractions de V et l'ensemble des idéaux de V est totalement ordonné par la relation d'inclusion;

d) K est le corps des fractions de V et l'ensemble des idéaux principaux de V est totalement ordonné par la relation d'inclusion. Nous déduisons en particulier que tout idéal de type fini de V est un idéal principal.
·

14 A.Belkhadir

2.1. ANNEAUX DE VALUATIONS

Démonstration. -- a) b) : soit x un élément non nul du corps K , nous allons montrer que x où x-¹ appartient à V . Si x est entier sur V , nous considérons l'anneau W = V[x]. D'après le théorème de Cohen-seidenberg , il existe un idéal premier Q de W au dessus de l'idéal maximal de V . L'anneau local WQ domine alors l'anneau V , d'où W c WQ = V , et x appartient à V . Si x n'est pas entier sur V , nous considérons l'anneau W = V[x-¹]. Comme x n'est pas entier sur V x-¹ n'est pas un élément inversible de l'anneau W , en effet toute relation de la forme x-¹.w = 1 avec w ? W = V[x-¹], i.e. w = ,ajx-j , donnerait une relation de dépendance intégrale de

x sur V . Par conséquent il existe un idéal maximal Q de W contenant x-¹ et soit V' le localisé V^' = WQ . Comme x-¹ appartient à l'idéal Q, le morphisme composé V ? W = V[x-¹] ? k = W/Q est surjectif, et son noyau Vn Q est l'idéal maximal de V . Nous en déduisons que V est un sous-anneau de K qui domine V , par conséquent V' = V et x-¹ appartient à V .

b) c) soient I et J deux idéaux de V et supposons que J n'est pas inclus dans I. Alors il existe un élément x de J n'appartenant pas à I et pour tout élément y non nul appartenant à I, nous avons x (y)V ; par conséquent x/y est un élément de K n'appartenant pas à V et nous en déduisons que y/x appartient à V , c'est à dire

y ? (x)V , d'où y ? J . Nous avons ainsi montré que I est inclus dans J et il est clair aussi que K est le corps des fractions de V .

c) a) comme l'ensemble des idéaux de V est totalement ordonné par l'inclusion V possède un seul idéal maximal max(V). Soit W un sous-anneau local de K qui domine V et soit x appartenant à W , nous allons montrer que x appartient aussi à V ; nous pouvons écrire x = a/b avec a ? V et b ? V . Si l'idéal (a)V est inclus dans (b)V alors x appartient à V . Si l'idéal (b)V est inclu dans (a)V alors x-¹ ? V , nous en déduisons que x et x-¹ appartiennent tout les deux à W d'où x-¹ max(W) et x-¹ max(V) car W domine V . L'élément x-¹ de K vérifie alors x-¹ ? V et x-¹ max(V) par conséquent, comme V est local, x appartient à V .

d) ? c) l'implication directe est évidente. Montrons la réciproque; soient I et J deux idéaux de V et supposons que J n'est pas inclus dans I. Alors il existe un élément x de J n'appartenant pas à I et pour tout élément y non nul appartenant à

I, nous avons x (y)V , d'où (y)V c (x)V c J , ainsi on a I c J . ci

15 A.Belkhadir

2.1. ANNEAUX DE VALUATIONS

Remarque 2.1.1. En «a) b)» nous avons montré que tout anneau de valuation est intégralement clos.

Nous allons maintenant montrer l'existence d'anneaux de valuations.

Proposition 2.1.1. -- Soit A un sous-anneau d'un corps K et soit h un morphisme de A dans un corps algébriquement clos L, alors il existe un anneau de valuation V de K contenant A et un morphisme h^' de V dans L tel que h^' prolonge h et max(V) = h^'-¹(0).

/- _V
·

_h'

/- K

A	· ~
	OOOOOOOOOh OOO'O'

L alg.clos

Démonstration. -- Nous considérons l'ensemble 1-( formés des couples (B, f) où B est un sous-anneau de K et f est un homomorphisme de B dans L ; nous définissons sur cet ensemble la relation d'ordre (B,F) ~ (C, g) par B c C et g prolonge f . L'ensemble 1-( muni de cette relation d'ordre est un ensemble inductif, i.e. toute partie totalement ordonnée admet une borne supérieure - si nous avons la partie ((B_á, f_á)) il suffit de prendre pour borne supérieure le couple (B, f) où B est l'union des B_á et où f est défini par les restrictions f_á - D'après le lemme de Zorn nous en déduisons que l'ensemble 1-( admet un élément maximal (W, g). Si nous appelons P le noyau du

morphisme g : W - L, l'anneau V cherché est le localisé V = WP . El

Corollaire 2.1.1. -- Tout sous-anneau local A d'un corps K est dominé par au moins un anneau de valuation de K.
·

Démonstration. -- Il suffit d'appliquer la proposition précédente à h : A - L, où L est

une clôture algébrique du corps résiduel A/max(A). El

Remarque 2.1.2. Le plus souvent nous nous donnerons un corps de base k et nous considérons uniquement des corps K extensions de k et les sous-anneaux A qui sont des k-algèbres. Nous trouvons comme précédemment le résultat d'existence suivant:

16 A.Belkhadir

2.2. VALUATION

Soit A une sous k-algèbre de K et soi h un k-morphisme de A dans un corps algébriquement clos L , il existe alors un anneau de valuation V de K qui est une k-algèbre et un morphisme h' de V dans L tel que V contienne A, h^' prolonge h et max(V) = h^'-¹(0) .

2.2 Valuation

Dans la suite r est un groupe commutatif totalement ordonné, en particulier r est un groupe sans torsion. Nous notons r⁺ le sous-ensemble des éléments "positifs" et nous avons :

r = r⁺ ?r-, r⁺ nr^- = {0} et á = â ? á-â ? r⁺.

Nous adjoignons au groupe r un élément +8 et nous appelons r₈ l'ensemble ainsi obtenu : r₈ = r ? {+8}. Nous munissons cet ensemble d'une relation d'ordre total en posant pour tout á dans r, á < +8 et nous posons aussi :

pour tout á ? r, (+8)+á = (+8) + (+8) = +8.

Définition 2.2.1. -- Soient A un anneau, nous appelons valuation de A à valeurs dans r une application v : A ? r₈ vérifiant les conditions suivantes :

1. v(x.y) = v(x) + v(y) pour tout x, y ? A;

2. v(x + y) = inf(v(x),v(y)) ;

3. v(1) = 0 et v(0) = +8 .
·

Remarque 2.2.1. Si nous supposons que l'application v vérifie les conditions 1) et 2) et ne prend pas uniquement la valeur +8, alors nous avons obligatoirement v(1) = 0 . Plus généralement pour tout élément z de A vérifiant zⁿ = 1 avec n ? N^* , nous avons encore v(z) = 0 car le groupe r est sans torsion, en particulier v(-1) = 0 .

Définition 2.2.2. -- La valuation v de A vérifiant v(x) = 0 pour tout x appartenant à A* est appelée valuation impropre où triviale de A .
·

17 A.Belkhadir

2.2. VALUATION

Proposition 2.2.1. -- Soient v une valuation d'un anneau A , pour toute famille finie (x1,x2,...,x_n) d'éléments de A nous avons l'inégalité :

v(

n

E

i=1

xi) = inf (v(xi)). 1=i=n

De plus s'il existe un indice k tel que pour tout i * k nous ayons l'inégalté stricte v(xi) > v(xk) , alors nous avons l'égalité :

n v(E i=1

xi) = inf (v(xi)) = v(xk). · 1=i=n

Démonstration. -- la première partie se démontre par récurrence sur n en utilisant l'axiome 2) de la définition d'une valuation. Pour la deuxième partie nous pouvons nous ramener grâce à ce qui précède au cas n = 2 . Si x et y sont deux éléments de A avec v(x) < v(y) , nous déduisons de la définition les deux inégalités v(x + y) = v(x) et v(x) = inf(v(x + y),v(-y)), et comme nous avons v(-y) = v(y) > v(x) nous trouvons

l'égalité cherchée.

Remarque 2.2.2. Si v est une valuation de A à valeurs dans t et si f : B ? A est un morphisme d'anneaux. L'application composé v ? f : B ? t₈ définit une valuation de B à valeurs dans t .

Remarque 2.2.3. Pour toute valuation v d'un anneau A à valeurs dans t , l'image réciproque v-¹(+8) est un idéal premier P de A . L'application v : A/P ? t₈ déduite de v par passage au quotient définit une valuation de l'anneau intègre A/P telle que l'image réciproque de +8 est réduite à 0.

Proposition 2.2.2. -- Soient A un anneau intègre de corps des fractions K et v une valuation de A à valeurs dans t telle que pour tout x * 0 nous ayons v(x) * +8 . Alors il existe une valuation u de K et une seule qui prolonge v. De plus u(K^*) est le sous-groupe de t engendé par v(A^*) .
·

18 A.Belkhadir

2.2. VALUATION

Démonstration. -- Pour tout x dans K^* il existe y et z appartenant à A^* tels que x = y/z, il suffit alors de poser ii(x) = v(y) - v(z). Nous vérifions immédiatement que ii(x) ne dépend pas des éléments y et z choisi et que l'application ii ainsi définie est une valuation de K qui prolonge v , et quelle est unique. Par construction il est clair que

ii(K^*) est le sous-groupe de F engendré par le semi-groupe v(A^*). ~

La proposition suivante montre la relation qui existe entre les valuations d'un corps K et les anneaux de valuations de ce corps.

Proposition 2.2.3. -- Soit v une valuation d'un corps K à valeurs dans un groupe F. Alors l'ensemble A des éléments x véri~ant v(x) = 0 est un anneau de valuation de K , dont l'idéal maximal max(A) est l'ensemble des x véri~ant v(x) > 0.

Réciproquement, si V est un anneau de valuation de K nous pouvons lui associer une valuation v de K à valeurs dans un groupe F_v telle que l'anneau V soit l'image réciproque v-1(F+ _v ). u

Démonstration. -- Nous déduisons des axiomes d'une valuation que l'ensemble des éléments x de K vérifiant l'inégalité v(x) = 0 est un sous-anneau de K et nous déduisons de la condition b) du théorème 2.1.1 que c'est un anneau de valuation de K . De plus, comme A est local, un élément x de K vérifie v(x) = 0 si et seulement si x et x-1 appartiennent à A , c'est à dire si et seulement si x appartient à A . max(A).

Pour la réciproque, plus généralement nous considérons un anneau intègre C de corps de fractions K ; l'ensemble U(C) des éléments inversibles de C est un sous-groupe du groupe multiplicatif K^* et nous notons FC le groupe quotient. La relation de divisibilité x/y ? y ? (x)C , définit une structure de groupe ordonné sur FC . Plus précisément, si nous notons respectivement x et y les classes des éléments x et y de K* dans le groupe quotient FC = K^*/U(C), alors la relation est définie par x = y ? ?z ? C tel que y = zx ? yx-¹ ? C . «=» est bien définie sur l'espace quotient K^*/U(C), en effet, x = y ne dépend pas des représentants x et y choisis. «=» est une relation d'ordre sur FC , compatible avec la structure de groupe. Le groupe FC est totalement ordonné; en effet, supposons que xy-¹ C , nous déduisons de l'axiome b) du théorème 2.1.1 que yx-¹ ? C car C est un anneau de valuation. L'application canonique

19 A.Belkhadir

2.2. VALUATION

v : K^* ? FC = K^*/U(C) est alors une valuation de K telle que l'anneau C est égal à

l'anneau de valuation associé {x ? K/v(x) = 0}. ~

Définition 2.2.3. -- L'anneau de valuation V de K associé à la valuation v est appelé l'anneau de la valuation v et le corps k(V) = V/max(V) est appelé le corps résiduel de la valuation. Le sous-groupe v(K^*) est appelé groupe des ordres ou groupe des valeurs de v . Il est isomorphe au groupe quotient F_v = K^*/U(V), où U(V) est le sous-groupe de K^* constitué des éléments inversibles de V .
·

Places.

Le vocabulaire des places est un autre point de vue sur les corps valués. Une place P d'un corps K vers k est une application P : K ? k ? {8}, qui vérifie les propriétés suivantes:

- P(x+ y) = P(x)+P(y) ;

- P(xy) = P(x)P(y), pour P(x),P(y) ~ 8 ; - Pour x ~ 0 , P(x) = 8 ? P(x-¹) = 0.

Alors P-¹(k) est un anneau de valuation de K , d'idéal maximal P-¹({0}) et de corps résiduel k.

Inversement, étant donné un corps valué, l'application quotient de son anneau de valuation V vers V/max(V) est une place ( on pose P(x) = 8 pour x V).

Pour toute valuation v d'un corps K , nous noterons O_v son anneau de valuation, k_v son corps résiduel et F_v son groupe des ordres.

Définition 2.2.4. -- Nous disons que deux valuations v et v^' de K sont équivalentes si elles ont même anneau.
·

Proposition 2.2.4. -- Deux valuations vet v^' d'un corps K sont équivalentes si et seulement si il existe un isomorphisme de groupes ordonnés A de v(K^*) dans v^'(K^*) tel que v^' = A ? v .

·

20 A.Belkhadir

2.3. HAUTEUR D'UNE VALUATION

Démonstration. -- En effet il suffit de remarquer que par définition la valuation détermine l'anneau V et réciproquement l'anneau V de la valuation détermine le groupe des ordres : t = K^*/U(V) , ainsi que le sous-ensemble des éléments «positifs» :

t+ = V^*/U(V).

EXEMPLE : Les valuations sur Q. -- Soient v une valuation sur Q . Alors O_v contient Z, et M_v n Z est un idéal premier de Z, donc nul où de la forme pZ pour un nombre premier p .

Si M_v n Z = {0} , cela veut dire que tout les éléments de Z sont inversibles dans O_v , et donc que O_v = Q, i.e.la valuation v est triviale sur Q .

Supposons maintenant que M_v n Z = pZ . Cela entraine que si a est un entier, alors v(a) égale l'exposant de la plus grande puissance de p divisant a . Cela nous donne que si a E Q s'écrit pⁿr où n E Z, et r est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers à p, nous avons v(a) = n . Le groupe de valeurs de v est donc isomorphe à Z, son corps résiduel à F_p . La valuation v est la valuation p-adique sur Q .

2.3 Hauteur d'une valuation

Nous supposons toujours que t est un groupe totalement ordonné.

Définition 2.3.1. -- Soit t un groupe totalement ordonné, une partie A de t est appelée un segment si pour tout élément á appartenant à A , tout élément â de t compris entre á et -á, i.e. â vérifiant soit -á < â < á soit á < â < -á , appartient à A . Un sous-groupe t^' de t est appelé un sous-groupe isolé si t^' est à la fois un sous-groupe propre de t et un segment.
·

Proposition 2.3.1. -- Le noyau d'un homomorphisme croissant de t dans un groupe ordonné est un sous-groupe isolé de t.

Réciproquement si t^' est un sous-groupe isolé de t, le groupe quotient t/t^' possède une stucture naturelle de groupe ordonné telle que t - t/t^' soit un homomorphisme croissant.

Nous considérons une valuation v d'un corps K à valeurs dans le groupe t, avec t égal au groupe des ordres, i.e. Nous supposons que v est surjevtive, et soit V l'anneau

21 A.Belkhadir

2.3. HAUTEUR D'UNE VALUATION

de valuation associé à v . Pour toute partie A de V contenant 0 nous définissons le sous-ensemble ÄA de comme le complémentaire dans ₈ de (v(A)) ? (-v(A)).

Théorème 2.3.1. -- Si I est un idéal propre de V le sous-ensemble ÄI est un segment de . L'application I 7? ÄI est une bijection de l'enemble des idéaux de V sur l'ensemble des segments de , et nous avons l'équivalence:

I ? J ? ÄJ ? ÄI .

Le segment ÄI est un sous-groupe isolé de si et seulement si I est un idéal premier de V .

Démonstration. -- Soit b un élément de ⁺ n'appartenant pas au sous-ensemble ÄI , il suffit de montrer que pour tout a dans nous avons : a = b = a ÄI . Par hypothèse sur b il existe un élément x de l'idéal I tel que b = v(x), comme l'application v est surjective nous déduisons de l'inégalité a = b l'existence d'un élément y de l'anneau V tel que v(y) = a - b. Alors xy appartient à l'idéal I de V et a = v(xy) n'appartient pas à ÄI .

Réciproquement si Ä est un segment de , il faut montrer que le sous-ensemble {x ? V/v(x) Ä} est un idéal de V :

x ? I et y ? V v(x) Ä,v(x) et v(y) = 0

v(x)+v(y) Ä

xy ? I;

x et y ? I v(x) et v(y) Ä

v(x+ y) Ä car v(x+ y) = inf(v(x),v(y)),

x+ y ? I.

La relation I ? J ? ÄJ ? ÄI est évidente, d'où la bijection car l'ensemble des idéaux de V et l'ensemble des segments de sont totalement ordonnés par l'inclu-sion. L'idéal I de V est un idéal premier si et seulement si le complémentaire V . I est stable par multiplication, c'est à dire si et seulement si son image v(V . I) est stable par addition, ce qui est bien équivalent à la condition ÄI est un sous-groupe

de . ci

22 A.Belkhadir

2.3. HAUTEUR D'UNE VALUATION

Définition 2.3.2. -- Le rang "rang(F)" d'un groupe totalement ordonné F est égal au nombre de ses sous-groupes isolés si ceux-ci sont en nombre fini, et est infini sinon. La hauteur ou le rang de la valuation v d'un corps K est le rang du groupe des valeurs F, et nous le notons ht(v) ou rang(v).
·

Corollaire 2.3.1. -- La hauteur de la valuation v est égale à la dimension de l'anneau de valuation associé à V .
·

Démonstration. -- En effet la hauteur de la valuation v est égal au nombre de sous-groupes isolés de F, donc au nombre d'idéaux premiers propres de l'anneau V . Comme l'ensemble de ces idéaux est totalement ordonné par l'inclusion ce nombre,

s'il est fini, est la dimension de l'anneau V . El

Proposition 2.3.2. -- Soient K un corps et V un anneau de valuation de K .

a) Tout anneau local R vérifiant V ? R ? K est un anneau de valuation de K . L'idéal maximal max(R) de R est contenu dans l'anneau V et est un idéal premier de V .

b) L'application P 7? VP est une bijection décroissante de l'ensemble des idéaux premiers P de V dans l'ensemble des anneaux locaux R tels que V ? R ? K . La bijection réciproque est définie par R 7? max(R).
·

Démonstration. -- a) De la condition b) du théorème 2.1.1 nous déduisons que l'anneau R est un anneau de valuation et que son idéal maximal max(R) est inclus dans V . Comme max(R) est un idéal premier de R, c'est aussi un idéal premier de V .

b) Pour tout idéal premier P de V , l'anneau localisé VP vérifie bien V ? VP ? K , et l'application P ? VP est strictement décroissante. De plus nous vérifions que l'idéal

maximal PVP du localisé est égal à l'idéal premier P de V . El

Nous voyons ainsi que l'étude des idéaux premiers P de V , c.à.d. L'étude des sous-groupes isolés du groupe des ordres F, se ramène à l'étude des anneaux R vérifiant V ? R ? K .

EXEMPLE:

23 A.Belkhadir

2.3. HAUTEUR D'UNE VALUATION

1. La valuation impropre de K , c'est à dire la valuation v définie par v(x) = 0 pour tout x ? K^* , est l'unique valuation de hauteur nulle.

2. La valuation v de K est de hauteur 1 si et seulement si le groupe des ordres F de v est isomorphe à un sous-groupe de (R,+) . C'est équivalent à dire que le groupe F est archimidien, c'est à dire que pour tout á, dans F avec > 0, il existe un entier n tel que n = á. L'anneau de valuation V associé à v est de dimension 1, et nous déduisons de la proposition précédente que l'anneau V est maximal parmi les sous-anneaux propres de K .

3. La valuation v est une valuation discrète de K si son groupe des ordres F est un groupe discret de rang fini, i.e. isomorphe à un sous-groupe de Zⁿ . En particulier nous disons que la valuation v est discrète de rang 1 si son groupe des ordres est isomorphe à un sous-groupe de Z, et nous pouvons toujours supposer qu'il est égal à Z ; nous disons que l'anneau associé V est un anneau de valuation discrète de rang 1.

Proposition 2.3.3. -- . Soit A un anneau local intègre distinct de son corps des fractions K . Alors les conditions suivantes sont équivalentes:

1. A est un anneau de valuation discrète de rang 1;

2. A est un anneau principal;

3. l'idéal maximal max(A) est principal et l'anneau A est noethérien;

4. A est un anneau de valuation noethérien.
·

Démonstration. -- 1) 2) : par hypothèse le groupe des ordres est isomorphe à Z, les seuls segments sont alors de la forme [-n,n] , pour n ? N . Par conséquent tout idéal I de A est un idéal du type P_n et est engendré par tout élément x de l'anneau A vérifiant v(x) = n où n = v(I) = inf{v(y)/y ? I}.

2) 3) : évident.

3) 4 :) nous allons définir une valuation v sur A appelée la valuation M-adique, où M est l'idéal maximal max(A) de A. Comme A est noethérien on a fl n=0 Mn = 0, par conséquent pour tout élément non nul x de A nous pouvons définir v(x) comme le plus grand entier n tel que x appartienne à Mⁿ , c'est à dire v(x) = 0 ? x ? Mⁿ .

24 A.Belkhadir

2.4. PROLONGEMENT D'UNE VALUATION

Si nous appelons u un générateur de l'idéal maximal M de A , tout élément x ? A s'écrit sous la forme x = yuⁿ où n = v(x) et où y est un élément inversible de A. Tout élément z de K s'écrit alors z = yuⁿ avec n ? Z et y élément inversible de A, nous en déduisons que v est bien une valuation discrète de rang 1 de K et que A est l'anneau associé.

4) 1) : si A est noethérien, toute suite croissante d'idéaux de A est stationnaire, par conséquent toute suite décroissante d'éléments de F⁺ doit aussi être stationnaire.

Alors le groupe F est isomorphe à Z. ~

Remarque 2.3.1. Si v est une valuation discrète de rang 1, nous supposons que son groupe des ordres F est égal à Z, c.à.d. que la valuation v est bien la valuation M-adique définie précédemment, où M est l'idéal maximal de l'anneau de valuation A . Alors tout élément u ? K vérifiant v(u) = 1 est un générateur de l'idéal maximal M de A . Un tel élélment u est appelé une uniformisante. De plus les seuls idéaux de A sont les idéaux (uⁿ)A.

EXEMPLE -- La valuation p-adique sur Q.

2.4 Prolongement d'une valuation

Soit K un corps et L une extension de K . Si ii est une valuation de L, la restriction de ii à K est une valuation v de K dont le groupe des ordres F_v est un sous-groupe du groupe des ordres Fii de ii. De plus l'anneau de valuation V de v est égal à W n K , où W est l'anneau de valuation de ii, et W domine V .

Définition 2.4.1. -- Dans la situation précédente nous disons que la valuation ii de L prolonge la valuation v de K où que la valuation ii est un prolongement de v.
·

Si V et W sont deux anneaux de valuation respectivement de K et de L, où L est une extension de K , W domine V si et seulement si V = W n K .

Remarque 2.4.1. -- Pour toute valuation v de K , il existe au moins une valuation ii de L qui prolonge v.

25 A.Belkhadir

2.4. PROLONGEMENT D'UNE VALUATION

Les résultats suivants traitent les extensions r_u et k_u respectivement du groupe des valeurs r_v et du corps résiduel k_v d'une valuation v de K , correspondant à un prolongement u de v à une extension L de K donnée.

Définition 2.4.2. -- L'indice de ramification de u par rapport à v est égal à l'indice du groupe des ordres r_v dans r_u :

e(u/v) = [r_u : r_v].

Le degré résiduel de u par rapport à v est égal au degré de l'extension du corps résiduel k_v dans le corps k_u :

f (u/v) = [k_u : k_v].

l'indice de ramification e(u/v) et le degré résiduel f(u/v) sont des éléments de N = NU{oo} .

Si L^' est une extension de L et si u' est une valuation de L^' qui prolonge u, alors

'

uprolonge v et nous avons les égalités :

e(u^'/v) = e(u^'/u)e(u/v) et f (u^'/v) = f (u^'/u)f(u/v).

En particulier e(u^'/v), (resp. f (u^'/v) ) est fini si et seulement si e(u^'/u) et e(u/v) , (resp. f(u^'/u) et f(u/v) ) sont finis.

Proposition 2.4.1. -- Si L est une extension finie de K de degré n nous avons l'inégalité :

e(u/v) f(u/v) < n.

En particulier l'indice de ramification e(u/v) et le degré résiduel f(u/v) sont finis.
·

Démonstration. -- Soient r et s deux entiers tels que r < e(u/v) et s < f (u/v) ; il suffit de montrer que rs < n . Par hypothèse il existe r éléments x1,x2,...,x_r de L tels que pour tout i * j, 1 < i, j < r , on a u(xi) u(xj) mod r_v . De même il existe s éléments y1, y2,..., y_s de W dont les images y1, y2,..., y_s dans k_u sont linéairement indépendants sur k_v . Il suffit de montrer que les rs éléments _xiyk , 1 < i < r et 1 < k < s , sont indépendants sur K . Supposons que ce n'est pas le cas et qu'il existe une relation linéaire non triviale entre eux : (*),ai,kxiyk = 0 , avec _ai,k E K .

26 A.Belkhadir

2.5. COMPLÉTÉ D'UN CORPS POUR UNE VALUATION

Choisissons un indice (j,m) tel que pour tout (i,k) nous avons l'inégalité u(aj,mxjym) = u(ai,kxiyk) ; en particulier aj,m ~ 0. Pour i ~ j, nous avons l'inégalité u(aj,mxjym) ~ u(ai,kxiyk) ; en effet, si nous avions égalité, u(xj) -u(xi) serait égal à v(ai,k) - v(aj,m) car u(yk) est nul pour tout yk vérifiant yk ~ 0 et car u prolonge v, et nous aurions alors u(xj) = u(xi) mod _v , ce qui est impossible pour i ~ j. En multipliant la relation (*) ci-dessus par _(aj,mxj)-1 , nous obtenons alors une relation: ,bkyk +z = 0, avec bk = aj,k/aj,m ? W nK et z ? max(W) . Nous obtenons ainsi dans le corps k_u = W/max(W) la relation , bk yk = 0, avec b_m = 1. C'est une relation non triviale de dépendance li-

néaire sur k_v des yk , ce qui est impossible par hypothèse sur les yk . D

2.5 Complété d'un corps pour une valuation

2.5.1 Corps normés

Définition 2.5.1. Soit K un corps. Une norme sur K est une application x 7? |x| de K dans R₊ vérifiant les trois propriétés suivantes:

(i) |x| = 0 ? x = 0 ;

(ii) |xy| = |x||y|;

(iii) |x+ y| = |x|+|y|.

Une norme sur K est dite non-archimédienne ou ultramétrique si l'on peut remplacer la troisième condition par la condition plus forte

(iii') |x + y| = max(|x|,|y|).
·.

Proposition 2.5.1. -- Si | | est une norme sur un corps K , alors les conditions suivantes sont équivalentes:

(i) | | est ultramétrique;

(ii) | | est bornée sur l'image de Z dans K ;

(iii) |x| = 1 quel que soit x ? Z .
·

2.5. COMPLÉTÉ D'UN CORPS POUR UNE VALUATION

Démonstration. -- On a (i) - (iii) - (ii) de manière évidente; il suffit donc de prouver que (ii) - (i) . Si on suppose que |m| < M quel que soit m E Z et si x, y E K et n E N, alors

|x+ y|^n= |(x+ y)^n| =

~~~~~~~

Xn i=0

C^inx^iy^n^-i

~~~~~~~

< (n+ 1)Msup(|x|,|y|^n.

27 A.Belkhadir

On en déduit le résultat en prenant la racine n^ime des deux membres et en passant à

la limite.

Corollaire 2.5.1. -- Si K est un corps de caractéristique p , alors toute norme sur K est ultramétrique.
·

Si K est un corps muni d'une norme | |, et x, y E K , on pose d(x, y) = |x - y| , les propriétés (i) et (iii) des normes assurent que d est une distance sur K et donc définit une topologie sur K .

Lemme 2.5.1. -- Si I I est ultramétrique et |x| |y| , alors |x + y| = sup(|x|,|y| .
·

Démonstration. -- Quitte à permuter x et y , on peut supposer |x| > |y| . On alors

|x+ y| < |x| = |(x + y) - y| < sup(|x + y|,|y|

de la deuxième inégalité on déduit que sup(|x + y|,|y| = |x + y| (sinon on aurait |y| >-

|x|), d'où |x + y| = |x| = sup(|x|,|y| .

EXEMPLES -- (i) On peut munir n'importe quel corps K de la norme triviale définie par |x| = 1 si x 0 . La topologie associée est alors la topologie discrète sur K .

(ii) Norme induite.-- Si K est un sous-corps d'un corps normé L, on peut munir K de la norme obtenue par restricion de celle sur L .

(iii) Normes sur Q . -- Comme Q est un sous-corps de C, on peut le munir de la norme | |oo usuelle. Par ailleurs, si p est un nombre premier, on peut munir Q de la norme p-adique | |_p définie par Ip = pvp(b)-vp(a) , où, si n E Z {0} , v_p(n) est le plus grand entier v tel que p^v divise n (autrement dit, c'est l'exposant de p dans la décomposition de n en produit de facteurs premiers). La norme | |_p est clairement multiplicative et

28 A.Belkhadir

2.5. COMPLÉTÉ D'UN CORPS POUR UNE VALUATION

vérifie l'inégalité ultramétrique car |z| < 1 pour tout z E Z et la condition (iii) de la proposition 2.5.1 permet de conclure.

Le résultat suivant est une conséquence immédiate de l'unicité de la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.

Théorème 2.5.1(Formule du produit). -- Si x E Q^* alors

Y|x|_oe. |x|_p = 1.

p premier

Si K est un corps normé, on note ^K l'ensemble des suites de Cauchy à valeurs dans K . Soit I c ^K l'ensemble des suites convergentes vers 0.

Lemme 2.5.2. -- (i) Si _(an)nEN E K, alors la suite de terme général |a_n| converge dans R₊.

(ii) Si on suppose de plus que | | est ultramétrique et que a I , alors la suite de terme général |a_n| est constante à partir d'un certain rang.

(iii) Si a = (an)nEN et b = (bn)nEN sont deux éléments de ^K différant par un élément de I ,

alors lim n?+oe

|an| = lim n?+oe

|bn|.

Démonstration. -- L'inégalité triangulaire implique que l'on a ||an+1|-|an|| < |an+p -a_n| quels que soient n et p, et donc que la suite de terme général |a_n| est de Cauchy. On en déduit le (i).

D'autre part, si a = (an)nEN E K I, il existe b > 0 tel que ait |a_n| >_ b pour une infinité de n et la limite de la suite |a_n| est donc supérieure où égale à b . Il existe donc N E N tel que si n >_ N , alors |a_n| > ²₃b et |an+1-an| < 2b quel que soit p EN . Ceci implique |an+1 - a_n| < |a_n| et donc, comme | | est supposé ultramétrique, |an+p| = |a_n| quel que soit p E N ; d'où le (ii).

On a ||a_n|-|b_n|| < |a_n -b_n| et l'hypothèse implique que cette dernière suite tend vers

0, d'où le (iii).

Lemme 2.5.3. -- K est un anneau et I est un idéal maximal de ^K .
·

29 A.Belkhadir

2.5. COMPLÉTÉ D'UN CORPS POUR UNE VALUATION

Démonstration. -- Le fait que K est un anneau et I un idéal est immédiat. L'élément unité de Kest la suite constante 1 dont tous les termes sont égaux à 1. Si a = (an)n?N ? K rI, d'après ce qui précède, il existe ô > 0 et N ? N tels que l'on ait |a_n| = ô si n = N . La suite a = (an)n?N définie par b_n = 0 si n < N et b_n = a-1 n si n = N est de Cauchy et ab-1 est un élément de I, ce qui montre que a est inversible dans K/I et permet de

conclure au fait que I est maximal. ~

Il résulte du lemme précédent queKà = K/I est un corps.

Nous allons identifier tout a ? K avec la classe de la suite {a,a,a,...} ? Kà et écrire K ? Kàainsi que a au lieu de {a,a,a,...}. De plus on étend la norme | | à Kàen écrivant

|a| = lim n?8

|an|. Cette limite existe et unique d'après le lemme 2.5.2.

Proposition 2.5.2. -- || est une norme sur ^Kà , et ^Kà est complet pour cette norme et contient K comme sous-corps dense.

Démonstration. -- La multiplicativité de la norme et l'inégalité triangulaire (resp. ultramétrique) passent à la limite. D'autre part, |a| = 0 ? lim

|a_n| = 0 ? a ? I,

n?8

donc | | est une norme sur ^Kà qui est ultramétrique si | | l'est sur K .

Maintenant, si a = (an)n?N ? Kà, alors |a - a_n| = sup |an+p - a_n| tend vers 0 quand n

p=1

tend vers +8 puisqe la suite a = (an)n?N est de Cauchy. On a donc a = lim n?+8

an dans

K àet donc que K est dense dans Kà.

Finalement, si a = (an)n?N est une suite de Cauchy dans ^Kà , comme K est dense dans Kà, on peut trouver pour chaque n un élément b_n de K tel que l'on ait |a_n - b_n| = 2-ⁿ et la suite b_n est de Cauchy dans K donc converge dans ^Kà vers une limite qui est aussi

celle de la suite (an)n?N ; ce qui prouve que ^Kà est complet. ci

Définition 2.5.2. -- Le corps ^Kà (muni de la norme | |) s'appelle le complété de K pour la norme | |.

Proposition 2.5.3. -- Soit K un corps normé complet et V un espace vectoriel de dimension finie sur K , alors toute les normes sur V (compatibles avec la norme sur K , i.e. Vérifiant ||Ax|| = |A|.||x|| si A ? K et x ? V) sont équivalentes et V est complet pour n'importe laquelle d'entrre elles.

30 A.Belkhadir

2.5. COMPLÉTÉ D'UN CORPS POUR UNE VALUATION

Démonstration. -- Il suffit de prouver qu'elles sont toutes équivalentes à la norme du sup., ce qui se fait par récurrence sur la dimension de V . Si cette dimension est 1, il n'y a rien à faire. Sinon, soit (e1,e2,...,e_n) une base de V ; on a :

||x1e1 _+x2e2 +...+x_ne_n|| = (||e1||+...+||e_n||)sup(|x1|,...,|x_n|),

d'où l'une des deux inégalités à vérifier. Pour démontrer l'autre, raisonons par l'absurde, supposons qu'il existe une suite ||x(k) ₁ e1||+...+||x(k)

n e_n|| qui tende vers 0 pour

la norme || || mais pas pour la norme du sup. Il existe alors C > 0, i ? {1,2,..,n} et une sous-suite infinie telle que l'on ait |x^(k)

i | = C et donc la suite de terme général

vk =

_x(k)

nx(k) e_n tende vers 0 pour || ||. On en déduit le fait que ei est dans

i

_x(k)

1

x(k) e1 + ... +

i

l'adhérence de W = Vect(e1,...,ei-1,ei+1,...,en) qui est complet d'après l'hypothèse de récurrence, ce qui implique ei ? W et est absurde puisque les ei forment une base de

V .

2.5.2 Normes ultramétriques et valuations

Si K est un corps muni d'une norme ultramétrique | | et si A < 0, alors v : K ? IR+ ? {+8} définie par v(x) = Alog|x| est une valuation sur K .

Réciproquement, si v est une valuation sur K et 0 < a < 1 , alors |x| = av(x) est une norme ultramétrique sur K .

Il est équivalent de raisonner en termes de norme ultramétrique ou en termes de valuation, et on définit de manière évidente le complété K d'un corps K muni d'une valuation v . Il faut toutefois faire attention au fait que les inégalités se trouvent renversées. Les formules étant en général nettement plus agréables en termes de valuations que de normes. Par exemple, pour toute suite { _n} = { 0, 1,..., _n,...} d'élé-ments de K on a :

lim n?+8

n= ? lim n?+8

v( n - ) = +8.

Remarque 2.5.1. -- (i) -- si K est un corps muni d'une valuation v, il résulte de (ii) du lemme 2.5.2 que v( K*) = v(K^*) .

31 A.Belkhadir

2.5. COMPLÉTÉ D'UN CORPS POUR UNE VALUATION

(ii) -- Une suite d'éléments de K est de Cauchy si et seulement si lim n?+8			v(un+1 -un) = +8.	Donc si K est complet, une suite converge si et seulement si lim n?+8
v(un+1 - un) = +8. De

même, une série converge si et seulement si la valuation de son terme général tend vers +8.

(iii) -- Si | |_v est la norme ultramétrique associée à la valuation v, alors:

1. R_v = {x ? K | v(x) = 0} = {x ? K, |x|_v = 1} est l'anneau de valuation de K pour v , on l'appelle aussi l'anneau des entiers de K pour la valuation v ;

2. M_v = {x ? K | v(x) > 0} = {x ? K, |x|_v < 1} est l'idéal maximal de K pour la valuation v.

EXEMPLE -- Soit Q_p le complété de Q pour la valuation p-adique v_p . On note Z_p l'anneau de ses entiers. Son idéal maximal M_v est pZ_p , en effet, d'après (i) de la remarque 2.5.1 on a : v(Q^*_p) = v(Q^*) = Z, et donc, si v_p(x) > 0 , alors v_p(x) = 1 , d'où M_v ? pZ_p . L'inclusion réciproque est évidente.

Lemme 2.5.4. -- Pour tout n ? N on a :

Z/pⁿZ Z_p/pⁿZ_p .

Démonstration. -- Soit p : Z ? Z_p/pⁿZ_p l'application qui à x fait correspondre p(x) = x + pⁿZ_p . On a pⁿZ ? pⁿZ_p d'où pⁿZ ? kerp. Si, maintenant x ? kerp , alors x ? ZnpⁿZ_p , d'où v_p(x) = n, ce qui signifie que x est divisible par pⁿ dans Z. i.e.x ? pⁿZ. Ainsi on a : kerp = pⁿZ. Prouvons la surjectivité de p . Soit x ? Z_p/pⁿZ_p et x ? Z_p ayant pour image x modulo p. Comme Q est dense dans Q_p , il existe r ? Q vérifiant

( )

v_p(x - r) = n , donc x-r = pⁿy avec v_p(y) = 0 , et v_p(r) = v_p(x-pⁿy) = inf v_p(x),v_p(pⁿy) ;

en particulier v_p(r) = 0. Écrivons r sous la forme a b , avec a,b ? Z. Comme v_p(r) = 0, on a v_p(b) = v_p(a) et quitte à tout diviser par v_p(b), on peut supposer pgcd(b,p) = 1. Soit c l'inverse de b dans Z/pⁿZ et c ? Z dont la réduction modulo pⁿ est c. On a alors v_p(r-ac) = v_p(a)+v_p(1-bc) = n et donc v_p(x - ac) = v_p((x-r)+(r-ac)) =

( )

inf v_p(x - r),v_p(r - ac)= n, ce qui prouve que ac a pour image x dans Z_p/pⁿZ_p , d'où la surjectivité de p . Le premier théorème d'isomorphisme permet enfin de conclure

que Z/pⁿZ Z_p/pⁿZ_p. ci

Corollaire 2.5.2. -- Le corps résiduel de Q_p est F_p = Z/pZ . .

32 A.Belkhadir

2.5. COMPLÉTÉ D'UN CORPS POUR UNE VALUATION

2.5.3 Extensions de corps valués complets

Soit L/K une extension séparable finie de degré n et ó1,...,ó_n les K-isomorphismes distincts de L dans une clôture algébrique Q de K . On rappelle que la norme de x ? L relativement à K est définie par

n

NL/K(x) = n ói(x) ? K.

i=1

Si de plus f(X) = X^m + a1X^m-¹ + ... + _am-1X + a_m est le polyn àme minimal de x sur K , alors :

NL/K(x) = ((-1)^ma_m)^n/m , m = [K(x) : K].

1 ~ ~

w(x) = [L : K]v NL/K(x) .

Théorème 2.5.2. -- Soit K un corps complet pour une valuation v, et soit L une extension finie de K . Alors, il existe une unique manière de prolonger v en une valuation w de L . De plus, si x ? L, alors

Démonstration. -- On peut voir L comme un espace vectoriel de dimension finie [L : K] . Si _v1,v2 sont deux valuations sur L prolongeant v , alors v1 et v2 définissent la même topologie sur L d'après la proposition 2.5.3, cette proposition montre alors qu'il existe s ? R^*₊ tel que l'on ait v2(x) = s.v1(x) quel que soit x ? L , et comme v2(x) = v1(x) si x ? K , alors s = 1, d'où l'unicité d'une extension de v à L .

Il reste à monter que w définit bien une valuation sur L, il suffit de montrer que w(x+ y) = inf((w(x),w(y)) . Les autres conditions sont immédiates. Montrons d'abord que, si x ? L vérifie v(NL/K(x)) = 0 , alors _v(NL/K(1 + x)) = 0 .

Soit f(X) = X^d + ... + a0 , le polynôme minimal de x sur K . Ceci implique que d divise [L :K] et NL/K(x) = ((-1)^da0)^[L:K]

d et donc v(NL/K(x)) = 0 implique a0 ? OK et l'irréductibilité de f implique que ses coéfficients sont dans OK d'après la proposition ?? . D'autre part, le polynôme minimal de 1 + x est f(X - 1) et donc _NL/K(1 + x) = ((-1)^df(-1))^[L:K]

d ? OK , ce qui permet de conclure.

Maintenant, si x = 0 ou y = 0, rien à démontrer. Si x et y sont non nuls tous les deux, quitte à remplacer x par y, on peut supposer que w(x) = w(y) . On a :

2.5. COMPLÉTÉ D'UN CORPS POUR UNE VALUATION

x ! ! NL/K(1 + x w = w(x) - w(y) ~ 0 , ce qui est équivalent à v NL/K(^x~ 0 v y) y y

!)~

1 + x !

0 ? w = 0 .

y 1 + x ! + w(y) , alors, w(x + y) ~ w(y) = inf(w(x),w(y)) .

Or, w(x + y) = w ci

y

Corollaire 2.5.3. -- Si K est une clôture algébrique de K , il existe une unique manière de prolonger v à K ; de plus Aut(K/K) agit sur K par des isométries.
·

Démonstration. -- L'unicité du prolongement est une conséquence directe du théorème précédent. Le reste de l'énoncé suit de ce que, si x € K , et si a € Aut(K/K), alors

NK/K(x) = NK(a(x))/K (a(x)).

Corollaire 2.5.4. -- Si P € K[X] est irréductible, alors toutes ses racines dans K ont la même valuation.
·

Démonstration. -- les racines d'un polynôme irréductible sont permutées transitive-

ment par Aut(K/K) , et le corollaire précédent permet de conclure. ci

33 A.Belkhadir

34

Chapitre 3

Valuations sur les anneaux non

commutatifs

Les valuations peuvent être définies sur les anneaux à divisions comme dans le cas commutatif, mais il y a peu d'applications jusqu'à présent. C'est sans doute en raison des difficultés inhérentes à la manipulation des valuations générales. Cependant, elles deviennent plus dociles dans des cas particuliers, et offrent la perspective d'un moyen d'obtenir des informations sur les anneaux à divisions. Nous présentons ici une partie de la théorie générale qui est parallèle au cas commutatif.

3.1 Anneau de valuation d'un anneau à division

La notion de base qui joue le rôle principal dans la théorie des valuations est celle de groupe totalement ordonné :

Définition 3.1.1. -- On dit qu'un groupe (G,+), non nécéssairement commutatif, est totalement ordonné (ou linéairement ordonné) s'il est muni d'une relation d'ordre binaire >_ qui satisfait les axiomes suivants pour tout á, 3, y E G

i) á >_ 3 ou 3 >_ á ;

ii) si á >_ 3 et 3 >_ á alors á = 3 ;

iii) si á >_ 3 et 3 >_ y alors á >_ y ;

iv) si á >_ 3 alors y+á >_ y+3 et á+y >_ 3+y.
·

Si >_ est une relation d'ordre dans un groupe G on écrit á > 3 si á >_ 3 et á * 3 , on écrit aussi á <_ 3 si 3 >_ á et á < 3 si 3 > á,.

35 A.Belkhadir

3.1. ANNEAU DE VALUATION D'UN ANNEAU À DIVISION

Ils existent dans le cas non commutatif, des généralisations différentes d'anneau de valuation. Nous considérons la généralisation qui a été proposé pour la première fois en 1945 par Schilling [6], qui a étendu la notion de valuation sur les corps(commutatifs) à celle sur les anneaux à divisions.

Définition 3.1.2. [6]-- Soient (G,+,>_) un groupe totalement ordonné, oo un symbol spécial tel que x + oo = oo + x = oo pour tout x E G et D un anneau à division. Une valuation sur D est une application surjective v : D - G U {oo} qui satisfait les conditions suivantes pour tout x, y dans G :

1. v(x) < oo;

2. v(x) = oo si et seulement six = 0;

3. v(xy) = v(x) +v(y);

4. v(x + y) >_ min(v(x),v(y)) .
·

Remarquons que si D est un corps (commutatif), alors il découle de 3) de la définition 3.1.2 que D n'admet que les valuations dont le groupe G est abélien.

Remarque 3.1.1. -- Soit v une valuation sur un anneau à division D et D^* le groupe multiplicatif. Notons U = {u E D^* : v(u) = 0} . Si _u1,u2 E U alors v(u1u2) = v(u1) + v(u2) = 0 et v(u2u1) = v(u2) + v(u1) = 0, i.e. _u1u2,u2u1 E U . Soit 1 l'identité de D . Alors v(1) = v(1²) = v(1) + v(1) ce qui entraine que 1 E U . Si u E U alors 0 = v(1) = v(uu^-1) = v(u) + v(u^-1) = v(u^-1) , i.e. u^-1 E U . Par conséquent U est un sous-groupe de D^* . On l'appelle le groupe des unités de valuation. Soit x E D*, alors v(xux-¹) = v(x) + v(u) + v(x¹) = v(x) + v(x-¹) = v(xx-¹) = 0 pour tout x E U . Donc U est un sous-groupe distingué de D* qui est égal à ker(v) . D'où,

D^*/U = G

Proposition 3.1.1. -- Soient (G,+,>_) un groupe totalement ordonné, et v : D - G U {oo} une valuation d'un anneau à division D . Alors A = {x E D : v(x) >_ 0} est un sous-anneau de D.
·

36 A.Belkhadir

3.1. ANNEAU DE VALUATION D'UN ANNEAU À DIVISION

Démonstration. --Soient x, y E A, alors v(x),v(y) >_ 0. D'où v(xy) = v(x)+v(y) >_ 0 et v(x+ y) >_ min(v(x),v(y)) >_ 0, par conséquent xy E A et x+ y E A . En outre, v(-x) = v((-1)x) =

v(-1) + v(x) = v(x) >_ 0, pour tout x E A .

Définition 3.1.3. -- Un sous-anneau A d'un anneau à division D est appelé anneau de valuation invariant (ou simplement anneau de valuation) de D s'il existe un groupe totalement ordonné G et une valuation v : D - GU{oo} telle que A = {x E D : v(x) >_ 0}.

Lemme 3.1.1. -- Soit A un anneau de valuation d'un anneau à division D relativement à une valuation v . Alors U = U(A) où U(A) est le groupe des unités de A, et U = {x E D : v(x) = 0}.

Démonstration. -- On suppose que u E U(A) , alors il existe un élément w E U(A) tel que uw = 1. D'où 0 = v(uw) = v(u)+v(w), et donc v(u) = v(w) = 0 (car v(u) >_ 0 et v(w) >_ 0) . Inversement, supposons que u E D et v(u) = 0, alors u-¹ E D^* et v(u-¹) = v(u) =

0. Ainsi on a u,u-¹ E A, ce qui prouve que u E U(A) .

Pour tout anneau de valuation invariant A associé à la valuation v on note M = {x E D : v(x) > 0} = A \ U l'ensemble des éléments non inversibles de A.

Lemme 3.1.2. -- Un anneau de valuation invariant A est un anneau local d'idéal maximal unique M .

Démonstration. -- soit x, y E M et a E A . Alors :

1) v(x + y) >_ min(v(x),v(y)) > 0, d'où x + y E M ;

2) v(xa) = v(x)+v(a) > 0 et v(ax) = v(a)+v(x) > 0, d'où ax,xa E M . M est donc un idéal de A . Montrons que M est maximal dans A . Supposons que I est un idéal de A tel que MÇIÇA.Ilexiste u E I\M c A\M = U . On a donc, 1 = u-¹u = uu-¹ E I. D'où, I = A, i.e. M est un idéal maximal de A . Comme M = A \ U est l'ensemble de tout les éléments non inversibles de A , alors A est un anneau local d'idéal maximal unique

M.

37 A.Belkhadir

3.1. ANNEAU DE VALUATION D'UN ANNEAU À DIVISION

Lemme 3.1.3. [6] -- Si A est un anneau de valuation d'un anneau à division D relativement à une valuation v, alors A et M sont des sous-ensembles invariants de D, et on a dAd-¹ = A et dMd-¹ = M pour tout d ? D^* .
·

Démonstration. -- Supposons que dAd-¹ Z A pour un d ? D^* . Alors il existe un élément x = dyd-¹ ? dAd-¹ avec y ? A et x A . D'où v(x) < 0 et v(y) = 0 . Et comme y = d-¹xd et G est totalement ordonné, alors v(y) = v(d-¹)+v(x)+v(d) < v(d-¹)+v(d) = v(1) = 0 . Cette contradiction montre que dAd-¹ ? A pour tout d ? D^* . D'autre part si x ? A , on a pour tout d ? D^*,x = d(d-¹xd)d-¹ ? dAd-¹ . Ainsi ona A ? dAd-¹ .

Supposons que dMd-¹ Z M pour un élément x ? D^* . Alors il existe x = dyd-¹ ? dMd-¹ avec y ? M et x M . Comme dMd-¹ ? dAd-¹ = A et A = M ? U, alors x ? U . De la remarque 3.1.1, U est un sous groupe invariant de D^* , et donc y = d-¹xd ? U . D'où y ? MnU = Ø . Cette contradiction montre que M est un sous-ensemble invariant

de D^* .

Le théorème suivant donne une définition équivalente d'un anneau de valuation, similaire aux domaines de valuation des corps(commutatifs).

Théorème 3.1.1. (O.F.G. Schilling [6]) -- Soit A un sous-anneau d'un anneau à division D . Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. A est un anneau de valuation relativement à une valuation v sur D ;

2. A est un sous-anneau invariant de D , et pour tout x ? D^* on a : x ? A ou x-¹ ? A .
·

Démonstration. -- 1) 2) . A est un sous anneau invariant découle du lemme 3.1.3. On suppose que x ? D^* et x A, on a v(x) < 0 et 0 = v(1) = v(xx-¹) = v(x)+v(x-¹), d'où v(x-¹) = -v(x) = 0 .i.e x-¹ ? A .

2) 1) . Supposons que A est un sous-anneau invariant d'un anneau à division D, avec groupe des unités U(A) . Soit u ? U(A) et d ? D^* . Alors x = dud-¹ et x-¹ = du-¹d ? A. D'où x,x-¹ ? U(A) .i.e. U(A) est un sous-groupe distingué de D^* .

Posons M = A \ U(A) , et montrons que M est aussi invariant dans D^* . Soit d ? D^* , supposons dMd-¹ * M . Il existe alors un élément x = dyd-¹ ? dMd-¹ avec y ? M et x M . Notons que x ? A puisque A est un sous-groupe distingué (invariant par

38 A.Belkhadir

3.1. ANNEAU DE VALUATION D'UN ANNEAU À DIVISION

hypothèse) de D* . D'où x E U(A) et y = d-¹xd E U(A), car A est invariant dans D* . On a alors y E M n U(A) = 0 . Cette contradiction prouve que M est invariant dans D* .

Comme U(a) est un sous-groupe distingué de D* , on peut considérer le groupe facteur G = D*/U(A) comme un groupe additif et définir l'application naturelle v : D - GU{oo} telle que v(d) = dU(A) = U(A)d pour tout d E D^* et v(0) = oo . Abusivement, v(du) = v(ud) pour tout u E U(A). v est alors une application surjective avec Ker(v) = U(A). On introduit l'ordre total dans G en supposant que v(x) < oo pour tout x E D . Soient a,b D^* . On a par hypothèse a-¹b E A où b-¹a E A. Supposons que a-¹b E A, alors a(a-¹b)a-¹ = ba-¹ E A, puisque A est un anneau invariant dans D^* . On utilise ce fait pour ordonner le groupe G . On pose v(a) >_ v(b) si ab-¹ E A (et ba-¹ E A). On vérifie aisément que G muni de cette relation est un groupe totalement ordonné. Montrons que v est une valuation de D d'anneau de valuation A . On a :

1) v(x) < o o;

2) v(x) = oo si et seulement si x = 0 ;

3) v est surjective;

4) v(d) = 0 si et seulement si d E U(A) ;

5) v(ab) = v(a)v(b) ;

6) soient a,b E D^* tels que a+b * 0 . Supposons que v(a) >_ v(b) dans G . Alors ab-¹ E M où ab-¹ E U(A) . Dans les deux cas ab-¹ +1 E A . Comme (a+b)b-¹ = ab-¹ +1 E A , alors v(a + b) >_ v(b) = min(v(a),v(b)) . Si a + b = 0, alors v(a + b) = oo et nous avons aussi

v(a + b) >_ v(b) = min(v(a),v(b)) .

Ce théorème permet d'introduire d'autres approches de généralisations de la notion d'anneau de valuation dans un anneau à division.

Définition 3.1.4. -- Un sous-anneau A d'un anneau à division D est dit anneau de valuation total si pour tout x E D* on a : x E A ou x-¹ E A .
·

Le théorème 3.1.1 montre que tout anneau de valuation invariant est un anneau de valuation total ; la réciproque n'est pas vrai en général. Un contre exemple est donné dans [8, § 9], nous ne l'introduisons pas ici sous prétexte de manque d'outils mathématiques nécéssaires pour le traiter.

39 A.Belkhadir

3.1. ANNEAU DE VALUATION D'UN ANNEAU À DIVISION

Lemme 3.1.4. (O. F. G. Schilling [6] ) -- Soient A un anneau de valuation d'un anneau à division D pour une valuation v et a,b E A . Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. a = bc1 , où c1 E A ;

2. a=c2b,oùc2 E A ;

3. v(a) >_ v(b) .
·

Démonstration. -- 1),2) 3) . Supposons que a = bc1 = c2b, avec _c1c2 E A . Alors, par application de la condition iv) de la définition 3.1.1 on a : v(a) = v(b)+v(c1) = c2 +v(b) >_ v(b) .

3) 1),2) . Supposons que v(a) >_ v(b) et b * 0 , alors v(ab-¹) >_ 0 et v(b-¹a) >_ 0, d'où ab-¹ E A et b-¹a E A . Ainsi on a, a = b(b-¹a) = (ab-¹)b . Supposons que v(a) >_ v(b) et b = 0 , alors v(a) >_ v(b) = oo et a = 0. D'où a est un multiple à gauche et à droite de

B.

Rappels sur les anneaux de fractions.

Dans la théorie des anneaux commutatifs, tout anneau intègre possède un corps de fractions. Ce résultat est généralisé en construisant l'anneau de fractions d'un anneau commutatif quelconque. Il en va autrement dans le cas non commutatif ; certaines conditions doivent être ajoutées pour assurer l'existence de l'anneau de fractions. Nous rappelons ici la définition et des conditions générales d'existence de l'anneau de fractions 1.

Soit R un anneau, S un sous-monoide de (R,.) (on dit aussi partie multiplicative de R). On appelle anneau de fractions à gauche de R relativement à S , la donné d'un anneau A et d'un morphisme d'anneaux ne : R - A , tels que :

1. bx E S, ne(x) est inversible dans A ;

2. bx E A , il existe a E R, s E S : x = ne(s)-¹ne(a) ;

3. Kerne={aER/ 3 s E S : sa = 0}.

On dit aussi que S est un dénominateur à gauche pour R .

Le théorème suivant donne les conditions d'existence de l'anneau de fractions.

1. Théorie des modules et structure des anneaux , cours de Master Mathématiques Fondamentales 2010/2012 Par A. Ha^·ily.

40 A.Belkhadir

3.1. ANNEAU DE VALUATION D'UN ANNEAU À DIVISION

Théorème 3.1.2. -- Soit R un anneau et S une partie multiplicative de R . Alors l'anneau de fractions à gauche de A existe, si et seulement si, Va ? R, Vs ? S, on a :

(i) - Sa n Rs ~ Ø ; (Condition d'Ore).

(ii)- as = 0 It ? S : ta = 0. De plus, si l'anneau de fractions à gauche relativement à S existe, alors il est unique à un isomorphisme près. On le note S-¹R.
·

L'anneau de fraction à droite RS-¹ est définit de la même manière. Notons que l'existence de S-¹R n'implique pas celle de RS-¹ . Mais lorsque les deux anneaux existent, ils sont alors isomorphes.

Si S-¹R existe et tout élément de S est régulier, le morphisme canonique q : R ? S-¹R est injectif. Donc R est isomorphe à un sous anneau de S-¹R. En particulier si S est l'ensemble de tout les éléments réguliers de R, S-¹R est appelé l'anneau total de fractions à gauche de R. On dit alors que R est un ordre à gauche dans S-¹R.

On appelle domaine d'Ore à gauche, tout anneau sans diviseur de zéro (domaine) tel que Va,b ? R^*, RanRb ~ {0}.

Proposition 3.1.2. -- Soit R un anneau. Alors R est un anneau d'Ore à gauche, si et seulement si, R est un ordre à gauche dans un anneau Q. Dans ce cas, Q S-¹R sur R. Si, en plus, R est un domaine, alors Q est un anneau à division.
·

De manière analogue on définit un domaine d'Ore à droite. Un domaine d'Ore, est un domaine d'Ore à gauche et à droite . Pour plus de détails sur les anneaux d'Ore voir ([2], chapitre 4, §10).

Les propriétés de base d'anneaux de valuation invariants sont données dans la proposition suivante:

Proposition 3.1.3. . Soit A un anneau de valuation invariant d'un anneau à division pour une valuation v. Alors:

1. aA ç bA où bA ç aA pour tout a,b ? A ;

2. Tout idéal de A est bilatère.

3. A est un domaine d'Ore à gauche et à droite. D'où il possède un anneau de fractions classique à gauche et à droite qui est un anneau à division isomorphe à D.

41 A.Belkhadir

3.1. ANNEAU DE VALUATION D'UN ANNEAU À DIVISION

4. Tout idéal de A de type fini (engendré par un nombre fini d'éléments) est principal ( on dit que A est un anneau de Bézout).
·

Démonstration. -- 1. Découle immédiatement du lemme 3.1.4 .

2. Soit I un idéal à gauche de A, alors AI c I . On a AI = I car 1 E A . Soit x = Eⁿi=1 yiai un élément de l'ensemble IA , où yi E I et ai E A . Alors v(yiai) = v(yi) + v(ai) >_ v(yi) . Du lemme 3.1.4 on déduit que yiai = biyi pour des bi E A . D'où x = En i=1 biyi E AI = I , doù IA S I et I est donc un idéal à droite.

3. Soit I = xA, comme I est un idéal bilatère on a AI = AxA = xA . De même, Ax = AxA . D'où Ax = xA . A satisfait donc les conditions d'Ore à gauche et à droite. Comme A est un domaine , il possède un anneau de fractions classique à gauche et à droite qui est un anneau à division.

4. Soit I = a1A + a2A + ... + a_nA où ai E A pour tout 0 < i < n . A est un anneau de valuation, donc on peut choisir parmi les ai un élément de valeur minimale. Sans perdre la généralité, on peut considérer que v(ai) >_ v(a1) pour tout i . Du lemme 3.1.4

on déduit que aiA c a1A pour tout i >_ 0 . D'où I = a1A .

Le théorème suivant donne des définitions équivalentes d'un anneau de valuation invariant (non commutatif).

Théorème 3.1.3. -- Soit A un anneau. D un anneau à division de fractions de A . On suppose que A est invariant dans D . Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. A est un anneau de valuation invariant pour une valuation v sur D ;

2. L'ensemble des idéaux principaux à gauche ( à droite) de A est linéairement ordonné par inclusion;

3. L'ensemble de tout les idéaux de A est linéairement ordonné par inclusion.
·

Démonstration. -- 1) 2) . Soient a,b E A tels que v(a) >_ v(b) . Du lemme 3.1.4 on déduit que a E bA et a E Ab,. D'où aA S bA et Aa c Ab .

2) 3) . Soient I et J deux idéaux à droite de A . Supposons que I n'est pas contenu dans J , et soit x un élément non nul de I\J . Soit y un élément quelconque de J . Comme x J , x yA. Donc xA Z yA . D'où, yA c xA g I . Il s'ensuit que JgI.

42 A.Belkhadir

3.2. VALUATION DISCRÈTE (NON COMMUTATIVE)

3) = 1) . A est un domaine dont l'anneau à division de fractions est D . Soit x E D^* , alors x = ab-¹ pour a,b E A . A est un anneau unisérial, donc Aa S Ab ou Ab S Aa ; si Aa S Ab alors a = rb pour un r E A . D'où x = ab-¹ = rbb-¹ = r E A . Si Ab S Aa alors b = sa avec s E A . Donc x-¹ = ba-¹ = saa-¹ = s E A . Comme A est invariant dans D par

hypothèse, on déduit du théorème 3.1.1 que A est un anneau de valuation.

3.2 Valuation discrète (non commutative)

Par analogie au cas commutatif, on peut introduire la notion d'anneau de valuation discrète d'un anneau à division.

Définition 3.2.1. -- Un sous-anneau A d'un anneau à division D est dit anneau de valuation discrète (non commutatif) si il existe une valuation (discrète) v : D - Z de D telle que A={xED:v(x)>_0}.
·

Les propriétés de bases d'un anneau de valuation discrète sont données dans la proposition suivante :

Proposition 3.2.1. -- Soient A un anneau de valuation discrète d'un anneau à division D relativement à une valuation v, t un élément de A tel que v(t) = 1 . Alors :

1. A est un domaine local d'idéal maximal unique non nul M = {x E A : v(x) > 0} ;

2. Tout élément non nul x E A s'écrit de manière unique sous la forme x = tⁿu = wtⁿ , pour u,w E U(A) , et n E Z⁺ . Si D est un anneau de fractions de A , alors tout élément y E D* s'écrit de manière unique sous la forme y = tⁿu = wtⁿ , pour u,w E U(A) et n E Z .

3. Tout idéal unilatère I de A est un idéal bilatère et s'écrit sous la forme I = tⁿA = Atⁿ pour un n E Z⁺ , i.e. A est un anneau principal ( tout idéal unilatère de A est principal). En particulier, M = tA = At, et I = Mⁿ = tⁿA = Atⁿ .

4.

00

n

i=1

Mi = 0, où M est l'unique idéal maximal de A .

5. A est un anneau noethérien.
·

3.2. VALUATION DISCRÈTE (NON COMMUTATIVE)

Démonstration. -- 1. Cette assertion découle directement du lemme 3.1.2, puisque l'anneau de valuation discrète est un cas particulier d'anneaux de valuation.

2. Soit t un élément fixé de A tel que v(t) = 1, et x E A tel que v(x) = n . Alors t E M, et v(xt-ⁿ) = v(x) - n = 0 = v(t-ⁿx) . Il découle du lemme 3.1.1 que xt-ⁿ = u E U(A) et t-ⁿx = u1 E U(A) . D'où x = utⁿ = tⁿu1 .

Soit y E D^*, Comme D est un anneau à division de fractions de A , y s'écrit sous la forme y = ab-¹ avec a,b E A . Soit a = tⁿu et b = t^mw avec u,w E U(A) et n,m E Z⁺ . Alors (tⁿu)(t^mw)-¹ = tⁿ-^mu1w1 = u2w2tⁿ-^m où _u1w1,u2w2 E U(A) et n - m E Z .

3. comme A est unneau de valuation, tout idéal de A unilatère est bilatère. Soit I un idéal de A . Choisissons dans I un élément x de valeur v(x) = n minimale. Alors x = tⁿu = wtⁿ avec u,w E U(A) . D'où tⁿA S I et Atⁿ S I . Soit y E I , alors y = t^mw avec m >_ n . V(t-ⁿy) >_ 0, d'où t-ⁿy E A et y E tⁿA . Par conséquent I = tⁿA . De la même manière, on montre que I = Atⁿ ; en particulier, comme t E M , M = tA = At , et Mn = tⁿA = Atⁿ = I .

4. Supposons que N = n00i=0Mi # 0. Soit x un élément non nul de N tel que v(x) = n >_ 0 . Alors x = tⁿu E Mⁿ avec u E U(A). Comme x E N , x E Mⁿ⁺¹ . D'où x = tⁿ⁺¹w avec w E U(A) . On a tⁿu = tⁿ⁺¹w . Comme A est un domaine, u = tw E M . Contradiction, d'où N = 0.

5. Découle immédiatement de 3) et du théorème 3.1.3.

Proposition 3.2.2. -- Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. A est un domaine de valuation discrète(non commutatif);

2. A est un anneau local d'idéal maximal non nul M de la forme M = tA = At, où t E A

est un élément non nilpotent, et

00 n i=1

Mi = 0 .

43 A.Belkhadir

Démonstration. -- 1) = 2) . Il découle de la proposition 3.2.1 que A est un anneau local d'idéal maximal non nul M de la forme M = tA = At, où t E M tel que v(t) = 1. Comme A est un domaine, t est un élément non nilpotent.

2) = 1) . Comme M = tA = At, il est facile de montrer directement que Mⁿ = tⁿA = Atⁿ . Montrons que tout élément non nul x E A a une représentation unique sous la forme x = tⁿu = wtⁿ , où u,w E U(A) et n E Z⁺ . Soit x U(A) , alors x E M . Comme

3.2. VALUATION DISCRÈTE (NON COMMUTATIVE)

fl8 i=1 Mi = 0, il existe un entier n = 1 tel que x ? Mⁿ mais x Mⁿ⁺¹ . Alors x = tⁿu, où u M. D'où u ? U(A). De manière analogue on montre que x = wtⁿ .

L'anneau A est un domaine. En effet, supposons qu'ils existent x, y ? A tels que xy = 0. Soient x = tⁿu,y = t^mw et ut^m = t^mu1 avec u,w,u1 ? U(A). Alors xy = t^n+mu1w = 0, et parsuite t^n+m = 0, qui n'est pas le cas, puisque t n'est pas nilpotent. Contradiction.

Montrons que A est un domaine d'Ore à gauche et à droite. Soient x, y des éléments non nuls de A. Supposons que x = tⁿu,y = t^mw et ut^m = t^mu1 et wtⁿ = tⁿw1 avec u,w,u1,w1 ? U(A). Alors xy = tⁿut^mw = tⁿt^mu1w = t^mtⁿu1w = t^mww-¹tⁿu1w = yx1 où x1 = w-¹tⁿu1w ? A . De même, yx = xy1 , où y1 = u-¹t^mw1u . Ceci montre que A satisfait les conditions d'Ore à gauche et à droite, parsuite A admet un un anneau à division de fractions D . Tout élément d de D^* s'écrit sous la forme d = ab-¹ où a,b ? A . Si a = tⁿu et b = t^mw avec u,w ? U(A) et m,n ? Z⁺ ; alors d = tⁿ-^mE, où n - m ? Z et E ? U(A). Si on pose v(d) = v(tⁿ-^mE) = n - m ? Z, on obtient une valuation de D d'anneau de

valuation discrète A . ~

Proposition 3.2.3. -- Les assertios suivantes sont équivalentes pour un anneau A :

1. A est un domaine de valuation discrète;

2. A est un domaine principal local qui n'est pas un anneau à division;

3. A est un anneau local noetherien d'idéal maximal non nul qui est bilatère et principal;

4. A est un anneau local noetherien à droite (à gauche) d'idéal maximal non nul M qui s'écrit sous la forme M = tA = At où t ? A est un élément non nilpotent.
·

Démonstration. -- Les implications 1) 2),3),4) sont prouvées au-dessus. Les implications 2) 3), 3) 4) sont triviales.

4) 1). Soit A un anneau local noethérien d'idéal maximal M ~ 0 , et M = tA = At. Notons que Mⁿ ~ Mⁿ⁺¹ pour tout n ? Z⁺ . Sinon, le lemme de Nakayama entaine que Mn = 0 , et tⁿ = 0, ce qui n'est pas le cas puisque t est un élément non nilpotent.

Montrons que

\8 i=1

Mi = 0 . Sinon, il existe un élément x ?

\8 i=1

Mi . x = a0 = a1t =

44 A.Belkhadir

a2t² = ... = a_ntⁿ = ..., pour des ai ? A.

ai U(A) pour tout i = 0. Sinon, ai - ai+1t ? U(A), et comme aitⁱ = ai+1tⁱ⁺¹ , on aura ti = 0, contradiction. On a alors une chaine accendente d'idéaux principaux à droite

3.3. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À DIVISION DE DIMENSIONS FINIES

a1A ? a2A ? ... qui est stationnaire car A est noethérien, i.e. il existe un entier n > 0 tel que a_nA = an+1A . D'où, an+1 = a_nb et a_n = an+1c pour b,c ? A,. Ainsi on a, an+1 = a_nb = an+1cb, ^et _an+1(1 -cb) = 0 . Comme 1 -cb ? U(A), an+1 = 0. D'où, x = 0. Cette

contradiction montre que

\8 i=1

Mi = 0. On peut maintenant appliquer la proposition

45 A.Belkhadir

3.2.2. El

Proposition 3.2.4. -- Les assertions suivantes sont équivalentes pour un anneau:

1. A est un domaine de valuation discrète;

2. A est un anneau de valuation noetherien.
·

Démonstration. -- L'implication 1) 2) est prouvée dans la proposition 3.2.1.

2) 1). Soit A un anneau de valuation noethérien. Alors tout idéal de A est de type fini, et il est principal par application de la proposition 3.1.3. Par conséquent, A est un domaine principal local qui n'est pas un anneau à division. On peut enfin appliquer

la proposition 3.2.3. El

3.3 Valuations sur les algèbres à division de dimensions finies

Soient D un anneau à division, v : D^* ? G ? {8} une valuation sur D avec G un groupe totalement ordonné non nécéssairement abélien.

Si E est un sous-anneau de D, la restriction de v à E est une valuation. Dans ce cas on dit que (D,v) est une extension de (E,v).

Dans la théorie des valuations commutatives, , si F ? K est une extension de corps commutatifs, alors toute valuation sur F possède au moins une extention sur K . Par contre, si on remplace les corps F et K par des anneaux à division, cettre propriété d'extension n'a pas toujours lieu. Cette défaillance est un obstacle majeur dans la théorie des valuation non commutatives.

Rappelons qu'une algèbre simple centrale A est dite déployée si A M_n(K), pour un certain n ? N . Une extension L de K contenue dans A est appelée corps de

46 A.Belkhadir

3.3. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À DIVISION DE DIMENSIONS FINIES

déploiement de A si A?K L M_n(L) pour un certain n ? N. Si A est à division et L est maximale de A alors L est un corps de déploiement de A. En plus dimKL = vdimKA.

Soit maintenant A une algèbre simple centrale sur F et soit K un corps de déploiement de A , considérons un isomorphisme i : A?K ? M_n(K). Le morphisme

? :A ? i(A)

a 7? a?1K ? M_n(K).

est injectif, et identifie A à i(A).

Pour tout a ? A , on définit le polynôme caractéristique de a ?1 par:

P(X,a) =det(XI_n - (a?1))

=Xⁿ _+bn-1Xn-1 +...+b1X+b0.

où bi ? K, 0 = i = n -1 .

P(X,a) ? F[X] , et ne dépend pas du choix du corps de déploiement de A. Il est appelé le polynôme caractéristique de a. Le coéfficient (-1)ⁿb0 est la norme réduite de a, on écrit Nrd(a) = (-1)ⁿb0 . Cette norme est multiplicative 2.

Le théorème suivant donne un critère précis pour qu'une valuation possède une extension à une F-algèbre centrale à division.

Théorème 3.3.1. -- Soit D une algèbre à division de dimension finie sur son centre F, et soit v une valuation sur F. Si v possède une unique extension à tout corps K tel que F ? K ? D, alors v s'étend en une valuation sur D.
·

Démonstration. -- Soit FF = v(F^*) le groupe des valeurs de v ,qui est un groupe abélien sans torsion. Soit A la clôture divisible de FF (A FF ?Z Q) . L'ordre total de FF s'étend de manière unique à A, et pour tout corps L algébrique sur F et toute extension w de v à L on peut voir w(L^*) comme un sous-groupe de A .

On suppose que v s'étend de manière unique à tout corps K , F ? K ? D . Définissons la fonction w : D^* ? A par:

1 w(a) = n

v(Nrd(a)), (3.1)

2. Ces rappels sont pris du cours de Master sur les algèbres simples centrales enseigné par le Prof. A. Serhir .

47 A.Belkhadir

3.3. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À DIVISION DE DIMENSIONS FINIES

',,/où n = dimF(D) ? N. Il est clair que la restriction w|F de w à F coincide avec v. Nous devons montrer que w est une valuation sur D. D'abord on vérifie que pour tout sous-corps maximal K de D, w|K est la valuation sur K qui étend v. Soit M la clôture normale de K sur F, et soit u : M^* ? A une valuation quelconque sur M prolongeant v sur F. Pour tout b ? K^* Nrd(b) = NK/F(b) = b1...b_n , où tout bi ? M est le conjugué de b sur F. Pour tout i il existe un F-automorphisme ai de M tel que ai(b) = bi . Comme u|K et (u?ai)|K sont toutes les deux des valuations sur K prolongeant v , elles sont égales d'après l'hypothèse du théorème. Donc, u(bi) = u(ai(b)) = u(b) . Par conséquent,

1 w(b) =n

1 v(Nrd(b)) = n

v(b1...bn)

1

=(u(b1) + ... + u(b_n)) n

=u(b).

Ainsi, w|K = u|K , qui est une valuation sur K prolongeant v.

Pour voir si w est une valuation sur D tout entier, prenons a,b ? D^* . Puisque Nrd est multiplicative on a, w(ab) = (a) + w(b). Supposons b = -a, et soit K un sous-

corps quelconque de D contenant a-¹b. Comme w|K est une valuation, w(1 + a-¹b) =

( )

min w(1),w(a^-1b) . En utilisant la propriété multiplicative de w on aura:

( )

w(a + b) =w(a) + w(1 + a^-1b) = w(a) + min w(1),w(a^-1b)

=min(w(a),w(b)).

Remarque 3.3.1. -- La réciproque de ce théorème est vraie aussi, on peut consulter [7] pour une démonstration.

Un autre critère fondamental a été prouvé par Morandi [3] :

Une valuation v sur F s'étend en une valuation sur D si et seulement si D reste une algèbre à division après l'extension des scalaires à la Henselisation Fh de F pour v.

rappelons que la Henselisation Fh de F pour v est la petite extension algébrique de (F,v) qui vérifie le lemme de Hensel.

Soit V un anneau de valuation de D pour une valuation v , Comme dans le cas commutatif, on dit que x ? D est entier sur V s'il existent _{a0,a1,...,an-1} dans V tels

48 A.Belkhadir

3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À INVOLUTION

que xn +an-1x^n-1 +...+a0 = 0 . Comme tout idéal de V est bilatère, cette définition est équivalente à xⁿ + _xn-1bn-1 + ... +b0 = 0 pour _b0,...,bn-1 E V .

V est dit intégralement clos si tout les éléments de D qui sont entiers sur V appartiennent à V .

Proposition 3.3.1 ([5]). -- les anneaux de valuations invariants sont intégralement clos.

3.4 Valuations sur les algèbres à involution

Soient D un anneau à division de dimension finie sur son centre Z(D) = F, F un groupe abélien totalement ordonné divisible.

Soit w : D ? F U {oo} une valuation sur D . On associe à la valuation w :

- Son groupe de valeurs FD = w(D^x) où D^x = D ' {0} est le groupe des unités de D ;

- Son anneau de valuation VD ;

- L'unique idéal maximal à gauche( et à droite), MD de VD. ;

- L'anneau à division résiduel, D = VD/MD.

Une autre structure clé est l'anneau gradué associé. Pour ã E F on pose,

D''-ã = {d E D, w(d) ''- ã} et D^>ã = {d E D, w(d) > ã}.

®

D>ã est un sous groupe de ^D''-ã. Soit D_ã = D''-ã/D^>ã , et posons gr_w(D) = ãEF Dã Soient ã et ä dans F , la multiplicaton dans D induit une multiplication bien définie de D_ã x Dä dans _Dã+ä par : (c + D^>ã).(d + D^>ä) = cd +D^>ã^+ä. En effet, soient c' E ^D''-ã _et d^' E ^D''-ä tels que c^' + D^>ã = c + D^>ã , d^' + D^>ä = d + D^>ä , c c^' et d d^'. Comme w(c - c^') > ã , w(d - d^') > ä ; alors, w(cd - c^'d^') = w(c(d - d^') + (c - c^')d^') ''-min{w(c(d - d^')),w((c - c^')d^')}.

Or, w(c(d - d^')) = w(c) + w(d - d^') > ã + ä, et w((c - c^')d^') = w(c - c^') + w(d^') > ã + ä ; alors w(cd - c^'d^') > ã + ä.

D'où cd +D>ã+ä = c'd' +D>ã+ä .i.e. cd +D>ã+ä ne dépend pas du choix de c et d.

Cette multiplication peut être prolongée bi-additivement à gr_w(D) tout entier, et permet d'y définir une structure d'anneau gradué.

49 A.Belkhadir

3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À INVOLUTION

®

gr_w(D) = ã?r D_ã est appelé l'anneau gradué associé à D relativement à la valuation w. On écrit aussi gr(D) pour désigner gr_w(D) s'il n'y a pas de confusion à craindre.

rgr(D) = {ã ? r, D_ã # 0} est le groupe des grades de gr(D).

Remarque 3.4.1. :

1. rgr(D) = rD.

2. D0 , la composante de gr(D) de degré 0, est D0 = D=⁰/D^>0 = VD/MD = D l'anneau de division résiduel.

3. On note d l'image de d dans gr(D) .i.e. d = d + D>w(d) ? Dw(d). Les éléments homogènes de gr(D) sont les éléments de Uã?r Dã.

4. gr(D) est un anneau à division gradué, i.e. tout élément homogène non nul de gr(D) est inversible. En effet,

si d ? D_ã , avec d * 0, alors w(d) = ã (sinon w(d) > ã .i.e. d = 0).

w(d) = ã entraine que d * 0 . D'où (d + D^>ã).(d-¹ + D^>-ã) = (d-¹ + D^>-ã).(d + D^>ã) = 1+D^>0 = 1+MD = 1? D0.

De même si D = F est un corps (commutatif) , gr(F) est dit corps gradué (i.e., tout élément homogène non nul est inversible).

3.4.1 Normes et jauges sur les espaces vectoriels

D est un anneau à division et v une valuation sur D.

Définition 3.4.1. Soit M un espace vectoriel à droite de dimension finie sur D. Une application á : M ? r ? {8} est dite fonction de valeur( relativement à v sur D) si pour tout m, n ? M et d ? D, on a :

á(m) = 8 ssi m = 0; (3.2)

á(md) = á(m) + v(d). (3.3)

á(m + n) = min(á(m),á(n)).
· (3.4)

Remarque 3.4.2. :

50 A.Belkhadir

3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À INVOLUTION

· á(-m) = á(m);

· á(m + n) = á(m - n) = min(á(m),á(n)) si á(m) * á(n) ;

· rM = {á(m)|m E M,m * 0} g r.

Pour tout y E r, on définit les groupes abéliens M'-y et M^>y et M_y de la même façon que pour D :

M'-y = {m E M|á(m) '- 0}, M^>y = {m E M|á(m) > 0}, M_y = M'-y/M^>y.

®

On définit gr(M) = yEr M_y. Quand on veut spécifier la fonction de valeur, on écrit gr_á(M).

L'action de module de D sur M induit une action M_y X Ds -p _My+s de gr(D) sur gr(M) donnée par : (m + M^>y).(d + D^>s) = md + My^+s et qui définit sur gr(M) une structure de gr(D)-module gradué à droite . On sait que tout module gradué sur un anneau à division gradué est un module libre qui possède une base homogène, et deux bases quelconques ont le même cardinal, ce qui justifie la terminologie «espace vectoriel gradué» pour un module gradué sur un anneau à division gradué. Pour tout m E M , on écrit m pour l'image m + ^M>á(m) de m dans _Má(m). On écrit Ô_M = 0 dans gr(M) . Il est clair que pour tout m E M et d E D ,

^fmd = m d.

On a pour tout m, n E M : m+n=

{

msi á(m) < á(n) n si á(m) > á(n) m + n si á(m) = á(n) et m + n * 0.

(3.5)

gr(M) est dit l'espace vectoriel gradué associé de( á sur) M. On écrit dimgr(D)(gr(M)) pour le cardinal de toute base de gr(D) - module de gr(M).

®

Si N = yEr N_y est un autre gr(D)-espace vectoriel à droite, on dit que M et N sont gradués isomorphes et on écrit M -_g N , s'il existe un isomorphisme de gr(D)-espaces vectoriels f : M -p N tel que f (M_y) = N_y pour tout y E r.

On peut construire une fonction de valeur sur M de la manière suivante : considérons une base {m1,m2,...,mk} de M comme D-espace vectoriel, et y1,y2,...,yk E r

3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À INVOLUTION

arbitraires; définissons ensuite á : M - U{00} par : á

? ??????

k E i=1

? ?? midi ?? ??

= min (yi + v(di)). 1<i<k

On a alors á(mi) = yi et,

k á(L i=1

midi) = min (á(mi) +v(di)) pour tout d1,d2,...,dK E D. (3.6) 1<i<k

On peut montrer facilement que á vérifie les axiomes d'une fonction de valeur sur M.

Définition 3.4.2. Soit á une fonction de valeur sur M. Une base {m1,m2,...,mk} de M pour laquelle la formule (3.6) est satisfaite, est dite base de décomposition (splitting base) de á. On dit que la fonction de valeur á est une norme sur M(relativement à la valuation v) si M admet une base de décomposition pour á. á est dite aussi D-norme ou á-norme.
·

Une v-fonction de valeur á est dite surmultiplicative sur A si á(1) = 0 et á(xy) >_ á(x) + á(y) pour tout x, y E A .

Si maintenant, á est une fonction de valeur surmultiplicative sur une F-algèbre A, avec (F,v) un corps valué, alors gr_á(A) est une algèbre sur gr(F) où la multiplication est définie pour tout a et b dans A par :

ab = ab + A>á(a)+á(b) =

{

ab si á(ab) = á(a) + á(b); (3.7) 0 si á(ab) > á(a) +á(b).

51 A.Belkhadir

On peut appliquer suffisemment de restrictions sur á pour pouvoir relier la structure de gr(A) à celle de A.

Si K est un corps gradué alors :

4 Une K-algèbre graduée B de dimension finie est dite graduée simple si B ne contient aucun idéal bilatère homogène autre que B et {0}.

4 On dit que B est graduée semi-simple si B est un produit direct d'un nombre fini de K-algèbres graduées simples. Cette définition est équivalente à : B ne contient aucun idéal homogène , nilpotent et non nul .

52 A.Belkhadir

3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À INVOLUTION

? Si B est une algèbre (resp. Algèbre graduée) sur un corps (resp. Corps gradué) K , on écrit [B : K] pour dimK(B) .

Dans tout ce qui suit, toutes les algèbres semi-simples (resp. Graduées semi-simples) sont supposées de dimensions finies.

Définition 3.4.3. soient (F,v) un corps valué, a une fonction de valeur surmultiplicative sur une F-algèbre A. On dit que a est une F-jauge ( ou v-jauge) sur A si les deux conditions suivantes sont satisfaites :

t) a est une F-norme sur A (i.e., [gr(A) : gr(F)] = [A : F]) ; tt) gr(A) est une gr(F)-algèbre graduée semi-simple.
·

Remarque 3.4.3. -- Si A possède une F-jauge, alors A devrait être semi-simple. En effet, si A contient un idéal N non nul tel que N² = {0}, alors gr(N) sera un idéal non nul de gr(A) tel que gr(N)² = {0}.

Définition 3.4.4. On dit qu'une F-jauge a sur une F-algèbre A semi-simple de dimension finie est plate si Z(gr(A)) = gr(Z(A)) et Z(gr(A)) est séparable sur gr(F).
·

3.4.2 Jauges spéciales

Soient (F,v) un corps valué, A une F-algèbre. Une involution F-linéaire sur A est une application F-linéaire a : A -p A telle que :

- a(x + y) = a(x) + a(y) pour x, y E A ;

- a(xy) = a(y)a(x) pour x, y E A ;

- a²(x) = x pour x E A .

La F-linéarité implique que a | F = idF.

Une v-fonction de valeur surmultiplicative çp : A -p U {0} est dite invariante par a si :

çp(a(x)) = çp(x), V x E A. (3.8)

53 A.Belkhadir

3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À INVOLUTION

Si l'équation (3.8) est satisfaite, alors l'involution ó préserve la filtration définie par ? dans A , et elle induit sur gr_?(A) une involution ó telle que:

ó(x) = ó(x), V x € A; (3.9)

ó est bien définie; en effet, soient x et y deux éléments homogènes de gr_?(A) tels que

x=

y;

On a : ?(x) = ?(y) = ?(ó(x)) = ?(ó(y)), en outre,

?(x - y) > ?(x) implique ?(ó(x) - ó(y)) = ?(ó(x - y)) > ?(ó(x)) Par conséquent:

^gó(x) =

ó(y).

On déduit directement du fait que ó est une involution que ó l'est. u

? On dit que l'involution ó est non isotrope (ou anisotrope) s'il n'existe aucun élément non nul x € A tel que ó(x)x = 0. De même, ó est dite non isotrope s'il n'existe aucun élément homogène non nul î € gr_?(A) tel que ó(î)î = 0.

Il est clair que si ó est non isotrope, alors ó est non isotrope.

Proposition 3.4.1. Soit ? une v-fonction de valeur surmultiplicative et ó une involution F-linéaire sur A. Les conditions suivantes sont équivalentes:

a) ?(ó(x)x) = 2?(x)

b) ? est invariante par ó, et ó est anisotrope.

Ces conditions montrent que si x et y sont deux éléments de A tels que : ó(x)y = 0 ou xó(y) = 0, alors,

?(x+ y) = min(?(x),?(y)); (3.10)

En plus, si ces conditions équivalentes sont satisfaites, alors ó est non isotrope et la gr(F)-algèbre gr_?(A) ne contient aucun nilidéal à gauche ou à droite, homogène et non nul. .

Démonstration. -- a) b) : Si ó(x)x = 0, alors la condition (a) montre que ?(x) = oo et x = 0, ainsi ó est non isotrope.

Par surmultiplicativité de ? on a :

?(ó(x)x) ~ ?(ó(x)) + ?(x), pour tout x € A;

3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À INVOLUTION

d'où (a) implique ?(x) > ?(ó(x)), pour tout x E A.

En remplaçant x par ó(x) dans cette inégalité on obtient : ?(ó(x)) > ?(x), pour tout x E A. Parsuite, ?(ó(x)) = ?(x), pour tout x E A, et ? est invariante par ó.

La condition (a) peut être reformulée comme suit : ?(ó(x)x) = ?(x)+?(x) = ?(ó(x))+ ?(x) , on a ainsi, ?(ó(x)x) = ?(ó(x))+ ?(x) , et par définition de la multiplication dans gr_?(A) on obtient :

e

ó(x)x = (ó(x)x) pour tout x E A

e

Si : 6(x)x = 0 , alors ó(x)x = 0. i.e : (ó(x)x) = 0, d'où ó(x)x = 0, et comme ó est non isotrope, alors x = 0.

b) a) : Pour tout x E A on a :

eó(x)x =

{

e (ó(x)x) si ?(ó(x)x) = ?(ó(x)) + ?(x), (3.11) 0 si ?(ó(x)x) > ?(ó(x)) + ?(x).

Vérifions que le premier cas de (3.11) a toujours lieu : En effet, ó étant non isotrope d'après la condition (b) de la proposition, on a, ó(x) = 0 ssi x = 0 ssi x = 0. Dans ce

e

. Parsuite, 6(x)x = (ó(x)x)

cas on a aussi : 6(Ô)Ô= (ó(0)0)^e

pour tout x E A

54 A.Belkhadir

Ainsi, : pour tout x E A on a : ?(ó(x)x) = ?(ó(x)) + ?(x) = ?(x) + ?(x) = 2?(x) d'après (3.11)

Pour le reste de la preuve, on suppose que les assertions (a) et (b) sont satisfaites.Il est clair que ó est non isotrope (car ó l'est).

D'autre part, ona : ?(ó(x).(x + y)) > ?(ó(x)) + ?(x + y); car ? est surmultiplicative. Or ? est invariante par ó alors,

?(ó(x).(x + y)) > ?(x) + ?(x + y). (3.12)

Si ó(x)y = 0 , alors :

?(ó(x).(x + y)) = ?(ó(x)x) = 2?(x). (3.13)

En combinant (3.12) et (3.13) on obtient : ?(x) > ?(x+ y). De même, en échangeant x et y on trouve : ?(y) > ?(x+ y). D'où

min(?(x),?(y)) > ?(x+ y).

Or ?(x+ y) > min(?(x),?(y))), par définition d'une fonction de valeur, alors :

?(x+ y) = min(?(x),?(y)). (3.14)

55 A.Belkhadir

3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À INVOLUTION

On a prouvé (3.10) quand ó(x)y = 0. Si xó(y) = 0, alors l'égalité (3.14) sera vérifiée pour ó(x) et ó(y) (car ó(ó(x))ó(y) = xó(y) = 0). Remplaçons alors x par ó(x) et y par ó(y) dans (3.14) et utilisons l'invariance de ? par ó,alors :

?(ó(x) + ó(y)) = min(?(ó(x)),?(ó(y))); ?(ó(x + y)) = min(?(x),?(y));

?(x + y) = min(?(x),?(y)).

Pour compléter la preuve, on suppose que I c gr_?(A) est un nilidéal à gauche (resp. à droite) homogène, et î E A est un élément homogène non nul. Soit ç = ó(î)î (resp. ç = îó(î)).Alors, ó(ç) = ó(ó(î)î) = ó(î)ó²(î) = ó(î)î = ç. D'où ç est ó-symétrique. ç est non nul car ó est non isotrope d'après l'assertion (b) de la proposition.

ç est homogène. En effet, î est un élément homogène non nul, donc î = x avec x E A non nul. Or, d'après (b) on a : ?(ó(x)x) = 2?(x) = ?(ó(x)) +ó(x); alors,

ç= ó(î)î = ó(x)x = ó(x)x = (ó(x)x) .

Comme I est un nilidéal, il existe un entier k >_ 1 tel que ç^k 0 et ç^k+1 = 0. Pour æ = ç^k,

on a :

ó(æ)æ = ó(ç^k)æ = (ó(ç))^k.æ

= ó(ó(î)î)^k.æ

= (ó(î)î)^k.æ

=ç^k.æ = æ² = ç2k

= 0.

Or ó est non isotrope, alors æ = 0. Contradiction.

Définition 3.4.5. -- Une v-fonction de valeur surmultiplicative ? sur une algèbre simple centrale A à involution ó est dite ó-spéciale si elle vérifie les assertions (a) et (b) de la proposition (3.4.1).

3.4.3 Jauges sur les produits tensoriels

On rappelle que si P et Q sont deux espaces vectoriels gradués sur un corps gradué K, alors la graduation sur P OK Q est donnée par :

X (POK Q)ã = ãE

Pä OK0 Qã-ä.

3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À INVOLUTION

Proposition 3.4.2. soient (F,v) un corps valué, M et N deux F-espaces vectoriels. Soient á une F-norme sur M et j3 une F-fonction de valeur sur N. Il existe sur M?F N une unique F-fonction de valeur notée á ?j3 telle que l'application:

Q : grá?j3(M ?F N) ? grá(M) ?gr(F) grj3(N) m ] ? n 7? m? n pour tout m ? M et n ? N, soit un isomorphisme de gr(F)-espaces vectoriels. Ainsi, (á? j3)(m?n) = á(m) + j3(n). Si de plus j3 est une F-norme, alors á ? j3 est aussi une F-norme.

(3.15)

Pour une démonstration on peut consulter [9, Prop. 1.23]. Remarque 3.4.4. :

? L'isomorphisme d'espaces vectoriels gradués _grá?j3(M?F ^N) _{grá(M)?gr(F)} grj3(N) peut être vu comme une identification.

? La fonction de valeur á? j3 peut être définie comme suit : soit (ei)n _i=1 une base de décomposition pour á dans M. Alors

(á? j3)(

Xn i=1

ei ? y) = min (á(ei) + j3(yi)) , pour tout y1, y2,..., yn ? N; 1=i=n

56 A.Belkhadir

et (á? j3)(x? y) = á(x) + j3(y) , pour tout x ? M et y ? N. (3.16)

En plus, par analogie à [9, cor 1.26], si (w,j3) est un corps valué extension de (F,v) alors á ? j3 est une j3-norme sur M ?F W et, _grá?j3(M ?F W) gr_á(M) ?gr(F) grj3(W) est un grj3(W)-isomorphisme d'espaces vectoriels.

Proposition 3.4.3. [10] -- Soient ó et T deux involutions F-linéaires sur les F-algèbres A et B respectivement. Soit á (resp. j3) une fonction de valeur surmultiplicative sur A (resp. B) invariante par ó (resp. T ). On suppose que A est de dimension finie et que á est une v-norme. Alors á ? j3 est une fonction de valeur surmultiplicative sur A ?F B, invariante

3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À INVOLUTION

par l'involution ó ? ô, et l'isomorphisme canonique Ù de (3.15) est un gr(F)-isomorphisme d'algèbres graduées à involutions :

? ~ ~ ??O grá?â(A?F B), ó] ? ô = ?????grá(A) gr(F)

grâ(B), 6?z

.

Démonstration. -- Soient _(ei)ni=1 une base de décomposition de A pour á. Pour x, y ? A?gr(F)B on peut écrire x = Eⁿi=1 ei?xi et y = Enj=1 ej? yj pour x1,x2,...,x_n, y1, y2,..., y_n ? B. Alors :

· á ? â est surmultiplicative ; en effet :

(á ?â)(x ? y) = (á ?â)

((n i=1

ei ?xi)

E . n ???? ? j=1

ej ? yj

11

57 A.Belkhadir

= (á ?â)

?? ??? ?X ? ???? eiej ?xiyj ?? ??? i,j

₁min ((á ?â)(eiej ?xiyj)) = ₁min (á(eiej)+â(xiyj)). (définition de fonction de valeur)

Comme á et â sont surmultiplicatives, alors á(eiej) = á(ei) + á(ej) et â(xiyj) = â(xi) + â(yj). Parsuite,

(á ? â)(x ? y) = min

(á(ei) + á(ej) + â(xi) + â(yj))

4j

= m

in(á(ei) + â(xi)) + min (á(ej) + â(yj))

= (á? â)(x)+(á? â)(y)

En outre, on a (á?â)(1?1) = á(1)+â(1) = 0.

· Soit

Ù : grá?â(M ?F N) ? gr_á(M) ?gr(F) grâ(N)

m^]?n 7? m? n

l'isomorphisme d'espaces vectoriels gradués qui détermine á ? â. Pour monter que Ù est un isomorphisme d'anneaux, on le cherche pour Ù-¹. Considérons les homo-morphismes canoniques de F-algèbres

iA : A -? A?F B iB : B -? A?F B

a 7-? a?1 b 7-? 1?b

3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À INVOLUTION

On a : (á?â)(a?1) = á(a)+â(1) = á(a) et (á?â)(1?b) = á(1)+â(b) pour tout a ? A et b ? B. autrement dit iA et iB préservent les valeurs. Donc ils induisent des homomorphismes de gr(F)-algèbres graduées :

iA : gr_á(A) -? grá?â(A?F B) iB : grâ(B) -? grá?â(A?F B)

a 7-?

a?1

b7-?

1?b

iA(a) = iA(a)

iB(

b) =

^giB(b).

D'après (3.16) on a, pour tout a ? A et b ? B,

(á ? â)((a ? 1).(1 ?b)) = (á ? â)(a ?b) = á(a) + â(b)

= (á ? â)(a ?1) + (á ?â)(1? b).

D'où,

e e

a?1. 1?b = [(a?1).(1?b)] = a?b = [(1?b).(a?1)] = 1?b. a ?1.

Ainsi,

iA(a).

iB(

b) =

iB(

b).iA(a) pour tout a ? A et b ? B. Il existe alors un homo-

58 A.Belkhadir

morphisme de gr(F)-algèbres induit :

gr_á(A) ?gr(F) grâ(B) -? grá?â(A ?F B) ea ?^eb 7-? a?1. 1?b = a?b.

Cet homomorphisme d'algèbres est exactement Q-¹. D'où Q est un isomorphisme de gr(F)-algèbres.

· Pour montrer que á ?â est invariante par ó ? ô on vérifie d'abord que (ó(ei))ⁿi₌1 est aussi une base de décomposition de A pour á. Soient c1,c2,...,c_n ? F , comme á est invariante par ó et les ci sont centrals dans A fixés par ó (ó|F = idF), alors :

á

n ?X??? ? i=1

= á

? ??????

ó

In i=1

il)

= á

? ??????

Xn i=1

(ei))

?

??

ó(ei)ei ?? ??

= á

In i=1

? ?? ciei ?? ??

= á

In i=1

? ?? eici ?? ??

= min (á(ei) + v(ci)) 1=i=n

= min (á(ó(ei)) + v(ci)). 1=i=n

3.4. VALUATIONS SUR LES ALGÈBRES À INVOLUTION

D'où _(ó(ei))ni=1 est une base de décomposition pour á. Parsuite,

(á®â)((ó®ô)(x)) =(á®â)((ó ® ô)(óei ®xi))

= (á®â)

n ?X??? ? i=1

? ?? ó(ei) ® ô(xi) ?? ??

= min {á(ó(ei)) + â(ô(xi))} d'après (3.16)

1<i<n

= min {á(ei) +â(xi)} , á et â sont invariantes par ó et ô (resp)

1<i<n

= (á®â)(x).

D'où á ® â est invariante par ó ® ô , ce qui induit une involution ó^]®ô sur grá®â(A ® B).

· Il reste à montrer que Ù est un isomorphisme d'algèbres à involutions .i.e.

Ùo(ó®ô) = (6®z)oÙ.

Pour tout a E A et b E B on a :

] e

(ó® ô) (a ® b) =[(ó®ô)(a®b)]

= ó(a) ®ô(b)

D'où,

~

Ù ~(ó ] ®ô)(a ® ] b) = Ù ~ó(a) ® ] ô(b) == ^gó(a) ®^gô(b)

=eó(^ea)®eô(

b) =eó®eô(_a®^eb)

~ ~

= eó ®eô Ù( a^g ®b) .

grâ(B), ^-5^-®E ????? , est un isomorphisme

Finalement, Ù o (ó ®^]ô) = (6 ®'z) o Ù. ?

~ ~ _??O

Conclusion : grá®â(A®F B), ó] ® ô = ?????grá(A)

gr(F)

de gr(F)-algèbres graduées à involutions.

59 A.Belkhadir

60

Bibliographie

[1] Z.I. Borevich and I.R. Chafarevich (traduit par M et J-l Verly). Théorie des nombres. Gauthier-Villars Paris, 1967.

[2] T.Y. Lam. Lectures on Modules and Rings. Springer-Verlag, 1999.

[3] P. Morandi. The henselization of valued division algebra. J. Algebra, (122) :232- 243, 1989.

[4] R.S. Pierce. Associative Algebras. Springer-Verlag, 1982.

[5] Elbert M. Pirtle. Noncommutative valuation rings. Publications de l'Institut Mathématique. Nouvelle série, tome 39(53), pages 83-87, 1986.

[6] O.F.G. Schilling. Noncommutative valuations. Bull. Amer. Math. Soc, (51) :297- 304, 1945.

[7] Adrian R. Wadsworth. Extending valuations to finite dimensional division algebras. American Mathematical Society, (1) :20-22, 1986.

[8] Adrian R. Wadsworth. Valuation Theory on Finite Dimensional Division Algebras. Vol 1. Fields Institute Communications, 1999.

[9] J.-P. Tignol A. R. Wadsworth. Value functions and associated graded rings for semisimple algebras. American Mathematical Society. Vol 362, (2) :687-726, 2010.

[10] J.-P. Tignol A. R. Wadsworth. Valuations on algebras with involution. Mathe-matische Annalen, (351) :109-148, 2011.