Conception d'une application pour le calcul et la simulation des efforts sur les pylônes

3-3 Démarche de formulation éléments finis

L'analyse des structures de type treillis peut s'effectuer en considérant d'abord le comportement de chaque partie (élément barre) indépendamment puis en assemblant ces parties de telle façon que l'équilibre des forces et la compatibilité des déplacements soient satisfaits en chaque noeud. [2] et [7]

Dans la suite, toutes les grandeurs vectorielles et matricielles relatives à la base locale de l'élément sont surlignées d'une barre.

3-3-1 Discrétisation de la structure en éléments finis

C'est l'ensemble des opérations à effectuer pour établir le modèle mathématique de calculs représentant au mieux la structure réelle. Pratiquement cette idéalisation consiste du point de vue topologique, à ramener la structure à une géométrie simple ; c'est ainsi qu'on réduit les éléments unidimensionnels à leur axe et on définit les conditions d'appuis et les charges. Au

point de vue rhéologique, elle consiste à choisir la loi constitutive du matériau et à déterminer les constantes qui définissent cette loi.

3-3-2 Construction de l'approximation nodale par sous domaine

Pour chaque élément, on choisit une fonction d'interpolation qui représente la variation des déplacements u^e (x, y) à l'intérieur de cet élément en termes de déplacements nodaux I^le. Ce modèle peut être représenté de façon commode par une expression polynomiale contenant un coefficient inconnu pour chaque degré de liberté. Soit, [2] et [7]

u^e (x, y) = N t ~le ( 3-1)

Où N est la matrice d'interpolation reliant les déplacements d'un point intérieur de l'élément aux déplacements nodaux.

3-3-3 Etablissement de la relation entre déformations et déplacements

Il s'agit ici de trouver la matrice B reliant les déformations 8 de l'élément à ses déplacements nodaux U^le. Cette relation est exprimée par :

{ e }= Â Ul^e (3-2)

3-3-4 Etablissement de la relation entre contraintes et déformations

Pour un matériau élastique linéaire, les contraintes a sont des fonctions linéaires des déformations E. Elles sont exprimées par l'expression :

{0 }= D { e } (3-3)

Où D est la matrice d'élasticité.

3-3-5 Calcul des matrices élémentaires.

Cette étape constitue la partie la plus importante du problème. Les déplacements U^e aux noeuds sont déterminés de telle façon que les contraintes engendrées dans l'élément équilibrent le chargement extérieur Fe, c'est-à-dire que :

/l^e Il^e = P^e ( 3-4)

Il^e est la matrice de rigidité de l'élément exprimée dans le repère local. Elle est déduite de l'énergie de déformation de l'élément et exprimée par [2] et [7] :

k^e=f _vB^t D B dv (3-5)

Il faut aussi calculer la matrice de masse M^e de chaque élément. Cette matrice est déduite de l'énergie cinétique de l'élément. Dans le repère local de l'élément, cette matrice est donnée par l'expression [2], [7]

M^e=f _vpN^t N dv ( 3-6)

où p est la masse volumique du matériau constituant l'élément.

Finalement, on exprime les matrices K~ e_, me, Ue et F^e dans le repère global défini pour toute la structure.