2.7.4 G'en'eration de variables al'eatoires [5]
Il s'agit d'engendrer une variable aléatoire X suivant
une certaine loi a` partir des lois plus simples (loi uniforme [0, 1]) en se
basant sur des techniques connues dont les principales sont citées
ci-dessous.
2.7.4.1 La m'ethode d'inversion
La méthode de l'inverse n'est utilisée que si la
fonction densitéest connue analytiquement, continue et peut être
intégrer facilement, elle est définit comme suit : pour
générer une variable aléatoire X ayant une fonction
densitéf(x) et une fonction de répartition F(x), il suffit de
générer des nombres aléatoires ui de variable
aléatoire U[0, 1] et déduire :
x = F -1
x (u), ?x.
G'en'eration de variables al'eatoires suivant une loi
exponentielle
Pour simuler une variable aléatoire qui suit une loi
exponentielle, il suffit de générer des nombres aléatoires
uniformes sur [0, 1] et déduire les réalisations xi, telles que
:
xi = -1 ë log(ui).
G'en'eration de variables al'eatoires suivant une loi Uniforme
Pour simuler une variable aléatoire uniforme sur [a,
b], il suffit de générer des nombres aléatoires ui de
variable aléatoire uniforme sur l'intervalle [0, 1] et déduire
les réalisations xi, telles que :
xi = a + (b - a)ui .
2.7.4.2 La m'ethode de rejet [1]
La méthode de rejet peut être utiliser si la
fonction densitéf(x) est bornée et la variable aléatoire X
appartient a` un domaine borné, c'est-à-dire : a = X = b. Elle se
résume en quatre étapes :
1. Normaliser le domaine de f(x) a` l'aide d'une échelle
c, de sorte que :
g(x) = c[f(x)] = 1, a = X = b.
2. Définir X comme fonction linéaire de r :
X = a + (b - a)r .
3. Générer une paire de nombres aléatoires
(r1, r2) de loi uniforme sur [0,1].
4. Chaque fois que l'on rencontre une paire de nombres
aléatoires satisfaisants : r2 c[f(a + (b - a)r1)],
on accepte X = a + (b - a)r1 comme variable aléatoire
suivant f(x). 2.7.4.3 La méthode de composition [3]
La méthode de composition consiste a` remplacer f(x)
par un mélange probabiliste de fonctions de densités gj(x)
judicieusement choisies. Autrement dit, elle exploite une relation du type:
f(x) = Xn gj(x)pj.
j=1
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