Risque de marché et théorie des valeurs extrêmes

ANNEXES

A. Graphiques : Sélection de seuil 86

B. Stratégie : Synthèse générale 87

C. Graphiques : VaR 91

D. Stratégie 92

E. Visual Basic Application : Loi de valeurs extrêmes 94

F. Visual Basic Application : Loi de probabilité 96

G. Origines macroéconomiques de la crise des subprimes 100

A. GRAPHIQUES : SÉLECTION DE SEUIL

B. STRATÉGIE : SYNTHÈSE GÉNÉRALE

Sélectionner un actif

Déterminer un période T

Choisir la fréquence des taux de rentabilités

Calculer les taux de rentabilités R_t

Sélectionner un seuil extrême u

Estimé les paramètres de la distribution asymptotique à partir du rendement u

Calculer la VaR en fonction du quantile q sur une période t

Etablir un test d'ajustement sur les valeurs réelles observées correspondant au seuil 1 - q

L'hypothèse est acceptée

L'hypothèse est rejetée

Calculer la VaR pondérée par le prix de l'actif en t

Si VaR_{t (q)} < R_t

Short

Si VaR_{t (q)} > R_t

Long

I. Importer les données historiques

II. Calculer N, le nombre d'observation

III. Calculer R, Le taux de rendement de l'actif de manière :

a. Discrète:

b. Continue:

IV. Classer les , La valeur absolue de R sur n périodes, tel que :

V. Créer un échantillon de valeurs extrêmes en fonction de U, le seuil sélectionné pour mettre en évidence la distribution des extrêmes tel que :

VI. A travers le nouvel échantillon, calculer :

a. , la moyenne arithmétique de l'échantillon ou paramètre d'échelle

b. , l'écart-type de l'échantillon ou paramètre de localisation

c. , le nombre d'observation de l'échantillon

VII. Calculer la Generalized Pareto Distribution (G), donnée par :

Ou et

VIII. Déterminer l'interval de confiance donné par :

Ou esr la fonction inverse de G et q, le quantil, lequel décrit le niveau de probabilité à l'horizon de temps spécifié

IX. Calculer VaR (G) comme suit :

X. Calculer le test de couverture conditionnelle, I_F, comme suit :

XI. Calculer M, la VaR (G) pondérée par le prix de l'actif, comme suit :

XII. Utiliser une stratégie d'allocation des actifs dans le portefeuille, tel que :

a. Achat / Achat call / Vente put / Achat cap / Vente floor

b. Vente / Achat put / Vente call / Achat floor / Vente cap

C. GRAPHIQUES : VAR

D. STRATÉGIE

Nous vous présentons ici une stratégie basée sur plusieurs actifs différents. Il s'agit, comme dans l'exemple vu précédemment, d'une stratégie long-short basée sur l'achat de call et de put. Soit R₁, R₂,...,R_n, une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, calculées par ln(P_t/P_t-1), où P est le prix de l'actif en t. Pour

où M_VaR est la pondération de la VaR à l'actif, et la VaR est donnée par . Lorsque la VaR (q = 95%) , alors le risque est dit faible. Inversement, le risque est dit élevé.

Nous avons donc

§ L'achat d'un Call lorsque la VaR cours

§ L'achat d'un Put lorsque la VaR < cours.

Cette étude nous permet de constater qu'il existe, sur les marchés financiers, une volatilité plus importante en phase de baisse des cours. Il existe aussi des effets "clusters" où la corrélation des actifs se concentre en une période t, impliquant un risque de non-diversification statistique (risque de marché).

Nous enregistrons une performance de 40,1% en prés de 2 ans et 6 mois de gestion, avec un maximum de 47,18%. Cette stratégie met en avant le risque probabiliste pour en dégager une rentabilité. Le risque extrême "Black Swan" est également pris en compte.

Cependant, Un test "Out-of-Sample" doit être établi pour confirmer cette hypothèse. Les Calls et les Puts sont ici hors premium. Il serait nécessaire de minorer l'effet de cette prime sur la performance de la stratégie.

Resultats	Données	Call	Put
Nobs	906
Moyenne	32.11%	122	90
Ecart-type	10.9%	8.80	10.88
Maximum	47.18%	140	100
Minimum	0.00%	100	65
Skewness	-0.94	-0.09	-0.59
Kurtosis	0.02	-0.77	-1.21
Jarque Bera	4.69	21.53	28.84
Performance	40.10%	20%	20%