Analyse en composantes principales de densités de probabilité estimées par la méthode du noyau

2.2.2 Application a l'estimation par noyau de l'affinite L2

Soient X et Y deux p-vecteurs aléatoires de densités respectives f et g, supposons donnés n_x (resp. n_y) réalisations de X (resp. Y) et les estimations par la méthode du no_yau fh_x et gh_y de f et g respectivement. L'estimation de la mesure d'afnité L² entre f et g est donné par:

< fhx,ghy >=

1 Xnx Xny Z K(t - xi ) K(t - yj ) dt. (2.20) hy nxnyhxhy i=1 j=1^x 1

Exemples

Cas du no_yau _gaussien:

Si K est le no_yau _gaussien alors:

1 1 1 n_x ny 1 (xi-yj )2

< f_hx ,gh EEe 2 (h2x+q) (2.21)

_y

nxny v2ð + hy i=1 j 1

Cas du no_yau trian_gulaire: Elle est donnée par:

n_x ny

1 (_{1 |}t - xi | ) (1 dt. (2.22)

_|t -- yi

< fh_x ,ghy >= h EE

nxnyhx y i=1 j=1 AinAj h_x h_y

avec:

Ai = [xi - hx, xi + h_x] et Aj = [yj - h_y, yj + h_y]. Cas du no_yau d'Epanechnikov:

Elle est donnée par:

n_x ny I (1 1 (t - xi ) 5 h_y

5 h_x

2 1 (t - yj)

dt.

EE

< fhx,ghy >= 80 nxnyhxhy i=1 j=1

¹³%11¹³j

(2.23)

2

avec:

Bi = [xi - v5 h_x, xi + v5 h_x] et Bj = [yj - v5 h_y, yj + v5 h_y]

Cas du no_yau rectan_gulaire:

_>nx

1 >ny fl

< fhx,ghy >= d(Ci Cj). (2.24)

4 nxnyhxhyi=1 j=1

Ci = [xi - h_x, xi + h_x], Cj = [yj - h_y, yj + h_y] et d(Ci ⁿ Cj) la mesure de Lebes_gue dans RI de CinCj.

Remar_que:

Les inté_grales données par les formules (2.22), (2.23) ainsi _que d(Ci,Cj) de la formule (2.24), dépendent respectivement des lon_gueurs des ensembles (Ai,Aj), (Bi,Bj) et (Ci,Cj), de la position de xi par rapport a yj sur la droite réelle. Elles ne peuvent donc avoir une formule anal_yti_que simple. Leurs calculs se font en considérant tous les cas possibles.