Analyse en composantes principales de densités de probabilité estimées par la méthode du noyau

Chapitre 2

Estimation de l'ACP de densités de

probabilité

2.1 Introduction

Au delà de l'aspect théori_que présenté dans le chapitre précédent, l'ACP de densités est une méthode statisti_que permettant le traitement d'un _gros ensemble de données, se présentant sous forme de plusieurs _groupes formés des valeurs de p variables _quantitatives sur plusieurs individus, oi cha_que _groupe est considéré comme un échantillon d'une population donnée. La méthode va nous permettre de dé_ga_ger des facteurs, décrivant au mieux les différences entre les échantillons, par consé_quent entre les différentes populations. Elle consiste alors à associer à cha_que échantillon une densité de probabilité, _qui est la densité de la variable parente correspondante. La démarche elle-même exi_ge _que les densités soient connues, ce _qui n'est pas toujours le cas en prati_que. Boumaza (1999) a proposé une approche dans la_quelle les densités sont estimées en supposant _que les données sont des réalisations de variables aléatoires dont les lois appartiennent à une famille de lois connues, comportant des paramètres inconnus_; estimer les densités des ces lois revient alors, à en estimer les paramètres. Dans le cas de données _gaussiennes unidimensionnelles, il a été vériflé sur des exemples simulés la conver_gence rapide de l'ACP des densités estimées vers l'ACP théori_que correspondante pour des tailles d'échantillons raisonnables (n>25).

fh(x) =

] (c)i E {1,...,n} : Xi E [x - h 2,x + h 2]p nhp

.

(2.1)

Une autre approche possible _qui ne suppose pas nécessairement la normalité des données, consiste a estimer les densités inconnues par la méthode du no_yau. Introduite par Kneip et Utikal (2001) dans le cas d'une ACP centrée non normée, ils proposent dans la méthode, une procédure en deux étapes d'estimation des éléments propres de la matrice des produits scalaires [201 . Sans se soucier de la nature de l'ACP, on étudiera ainsi l'influence du no_yau et de la fenêtre de lissa_ge sur la _qualité de l'estimation. On donnera dans le début du chapitre, un rappel sur l'estimation d'une densité de probabilité par la méthode du no_yau, ensuite on présentera l'ACP estimée par no_yau, dans la_quelle on proposera dans le cas d'une ACP non centrée et non normée, une procédure d'estimation des valeurs propres de la matrice des produits scalaires théori_que, permettant d'améliorer leurs _qualités d'estimation. Ensuite on donnera un rappel sur l'approche d'estimation paramétri_que et on terminera ce chapitre par une comparaison entre les deux approches d'estimation.