Analyse en composantes principales de densités de probabilité estimées par la méthode du noyau

Chapitre 1

ACP fonctionnelle de densités de

probabilité

1.1 Introduction

Le travail dans les espaces fonctionnels s'impose lors_que les données elles-mêmes sont des fonctions. Le cas le plus classi_que est celui d'un individu observé pendant un certain temps, au cours du_quel plusieurs mesures sont effectuées.

Un autre exemple est celui des mesures climati_ques. Dans ce cas, une ré_gion peut être représentée par une fonction _qui a une date associe des _grandeurs comme la température mo_yenne de la journée correspondante, la _quantité de précipitations, etc.

Le traitement statisti_que de ce t_ype de données nécessite une _généralisation de l'anal_yse des données classi_ques, au cas des données fonctionnelles [10, 14, 26, 27, 34, 35]

On présentera dans ce chapitre une autre méthode permettant le traitement d'un autre t_ype de données fonctionnelles _qu'on appellera Anal_yse en Composantes Principales de densités de probabilités [3, 201. Les densités jouent le rOle des individus observés_; ces individus sont dans un espace fonctionnel (espace de Hilbert dans notre cas).

Néanmoins l'adaptation d'une telle méthode a ce t_ype de données re_quiert un arsenal mathémati_que _qui sera considéré comme un outil indispensable pour aborder les aspects as_ymptoti_ques.

La première partie de ce chapitre fournit le cadre mathémati_que (Dauxois et Pousse, 1976) dont l'objectif est de définir la base de fonctions sur les_quelles sont décomposées les densités_; la deuxième partie consiste en la présentation de l'ACP de densités.

1.2 Rappel sur l'analyse en composantes principales d'un operateur

Soit H et H^' deux espaces de Hilbert séparables_; l'espace H (resp. H^') est identifié a son dual. On pose < .,. >H (resp. < .,. >H') le produit scalaire de l'espace H (resp. H^'), et k.kH (resp. 1.1H⁰) la norme associée.

Soit U un opérateur continu non nul de H dans H^', et U^* son adjoint.

Definition 1.2.1 On appelle anal_yse en composantes principales "pas a pas" de U, tout couple ({ëi}i?I, {ui}i?I), où

1. I est N^* ou une section commen_cante de N^*.

2. {ëi}i?I est une suite decroissante de reels positifs ou nuls.

3. {ui}i?I une suite d'elements de H^' verifiant les conditions suivantes:

(i) ?(i,j) ? I^2, < ui,uj >H'=

1 si i = j 0 sinon

(ii) ? i ? I, ëi = sup^H; u ? H^' et ? j = i< u,uj >H,= 0l

Si I = {1,..,n}, l'ACP est dite d'ordre n, et si de plus {ui}i?I est un s_ystème total de H^', alors on dit _que l'ACP est totale [13].

1.2.1 Condition d'existence de l'ACP "pas a pas"

Lors de la première étape de l'ACP "pas a pas" de U, on est amené a l'étude de la borne supérieure de l'application réelle G définie sur H^' par:

G(u) =

(1.1)

kU^*uk² < U o U^*u,u >H'

H

= .

kuk² kuk²
_H0 _H^,
On est ainsi conduit a l'étude de l'opérateur U o U^*, noté V.

Propriété

V est un opérateur continu autoadjoint positif_; son spectre est donc contenu dans l'intervalle [0, V M][13]. A toute anal_yse en composantes principales "pas a pas", on peut alors associer le shéma de dualité suivant:

_H' U

, H

I ?	V		? I ?			W
H'					H
		U*

W = U^* o U

V = U o U*

I est l'identité

Proposition 1.2.2 (Dauxois et Pousse, 1976)

Le maximum de la fonction G existe et est inférieur a V k_; il est atteint pour au moins un élément de H^' si et seulement si cette norme est valeur propre de V. De manière plus _générale, si le haut du spectre de V est formé de q valeurs propres isolées d'ordre de multiplicité fini nj (j = 1,...,q) et si on pose n = Pn j=1 nj, U admet une ACP d'ordre n (au moins):

({ëi}i?I, {ui}i?I)

oiTi _{ëi}i?I est la suite pleine décroissante de valeurs propres de V et _{ui}i?I est une suite orthonormée de vecteurs propres associés.