Analyse en composantes principales de densités de probabilité estimées par la méthode du noyau

3.3 Cas d'égalité des AMISE

Considerons maintenant le cas oil les densites ft sont estimees en utilisant les fenetres: (voir tableau 4)

~ h(t)

G = n-1/5 et les h(t) T ,h(t)

E , h(t)

R correspondantes, dans le cas de la famille de densites

²¹ N(t,vt) + ₂¹N(0,vt).

_h(t)

G = n-1/8 et les h(t)

T , h(t)

E , h(t)

R correspondantes, dans le cas de la famille de densites

²¹ N(t,vt) + ₂¹N(0,1).

(t) log(t+1)

et hT ), 14⁾, h⁽R⁾ correspondantes, dans le cas de la famille de densites N(t,vt)

hG t

et celle de la famille de densites de Gumbel.

	1 2 N(0,vt) 2 N(t,vt) + 1			1 2 N(t,vt) + 1 2 N(0,v1)			N(t,vt)			Densité de Gumbel
t	ht T	ht E	ht R	ht T	ht E	ht R	ht T	ht E	ht R	ht T	ht E	ht R
1	1.17	0.91	0.93	1.27	1.13	1.05	1.64	1.47	1.23	0.35	0.31	0.26 .
2	1.19	1.07	0.89	1.46	1.29	1.20	1.28	1.15	0.98	1.21	1.07	0.98
3	1.19	1.07	0.89	1.32	1.17	1.08	1.09	0.98	0.81	1.08	0.97	0.82
4	1.19	1.07	0.89	1.16	1.04	0.93	0.95	0.85	0.71	0.94	0.85	0.71
5	1.19	1.07	0.89	1.05	0.94	0.81	0.84	0.76	0.63	0.84	0.76	0.63
6	1.19	1.07	0.89	0.96	0.86	0.73	0.76	0.68	0.57	0.76	0.68	0.57
7	1.19	1.07	0.89	0.88	0.79	0.67	0.70	0.63	0.52	0.70	0.63	0.52
8	1.19	1.07	0.89	0.82	0.73	0.62	0.64	0.58	0.48	0.64	0.58	0.48
9	1.19	1.07	0.89	0.76	0.68	0.58	0.60	0.54	0.45	0.60	0.54	0.45
10	1.19	1.07	0.89	0.71	0.64	0.54	0.56	0.51	0.42	0.56	0.51	0.42
11	1.19	1.07	0.89	0.67	0.60	0.50	0.53	0.48	0.40	0.53	0.48	0.40
12	1.19	1.07	0.89	0.63	0.57	0.47	0.50	0.45	0.37	0.50	0.45	0.37
13	1.19	1.07	0.89	0.60	0.54	0.45	0.47	0.43	0.35	0.47	0.43	0.35
14	1.19	1.07	0.89	0.57	0.51	0.42	0.45	0.41	0.34	0.45	0.41	0.34
15	1.19	1.07	0.89	0.54	0.48	0.40	0.43	0.39	0.32	0.43	0.39	0.32
16	1.19	1.07	0.89	0.51	0.46	0.38	0.41	0.37	0.31	0.41	0.37	0.31
17	1.19	1.07	0.89	0.49	0.44	0.37	0.40	0.36	0.30	0.40	0.36	0.30
18	1.19	1.07	0.89	0.47	0.42	0.35	0.38	0.34	0.28	0.38	0.34	0.28
19	1.19	1.07	0.89	0.45	0.40	0.33	0.37	0.33	0.27	0.37	0.33	0.27
20	1.19	1.07	0.89	0.43	0.38	0.32	0.35	0.32	0.26	0.35	0.32	0.26
21	1.19	1.07	0.89	0.41	0.37	0.31	0.34	0.31	0.26	0.34	0.31	0.26
22	1.19	1.07	0.89	0.40	0.36	0.30	0.33	0.30	0.25	0.33	0.30	0.25
23	1.19	1.07	0.89	0.38	0.34	0.28	0.32	0.29	0.24	0.32	0.29	0.24
24	1.19	1.07	0.89	0.37	0.33	0.27	0.31	0.28	0.23	0.31	0.28	0.23
25	1.19	1.07	0.89	0.35	0.32	0.27	0.30	0.27	0.23	0.30	0.27	0.23
26	1.19	1.07	0.89	0.34	0.31	0.26	0.29	0.26	0.22	0.29	0.26	0.22
27	1.19	1.07	0.89	0.33	0.30	0.25	0.29	0.26	0.21	0.29	0.26	0.21
28	1.19	1.07	0.89	0.32	0.29	0.24	0.28	0.25	0.21	0.28	0.25	0.21
29	1.19	1.07	0.89	0.31	0.28	0.23	0.27	0.24	0.20	0.27	0.24	0.20
30	1.19	1.07	0.89	0.30	0.27	0.23	0.27	0.24	0.20	0.27	0.24	0.20

Tab.4: Fenetres de lissa_ges corréspondantes aux cas d'é_galité des AMISE pour les diférents noyaux.

Les valeurs de á sur les 3 premiers axe et celles de , données par le tableau 5, montrent _que les _qualités d'estimations de l'ACP théori_que obtenue en utilisant les différents no_yaux, avec des erreurs _quadrati_ques inté_grées as_ymptoti_ques commises sur cha_que densité identi_ques pour ces no_yaux, sont _quasiment les mêmes.

	Noyaux	a1	a2	a3	â
	gaussien	4.12	3.76	3.36	13.32
	triangulaire	4.13	3.78	3.38	13.33
1 2N(0,/t) 2N(t,/t) + 1	Epanechnikov	4.13	3.80	3.39	13.40
	rectangulaire	4.13	3.77	3.35	13.36
	gaussien	2.35	1.86	2.55	7.39
	triangulaire	2.36	1.87	2.57	7.41
1 2N(0,1) 2N(t,/t) + 1	Epanechnikov	2.36	1.87	2.57	7.38
	rectangulaire	2.37	1.92	2.60	7.37
	gaussien	6.61	6.41	4.90	18.65
	triangulaire	6.61	6.41	4.91	18.66
N(t,/t)	Epanechnikov	6.62	6.42	4.91	18.67
	rectangulaire	6.71	6.50	4.93	18.64
	gaussien	6.89	5.76	3.60	15.73
	triangulaire	6.90	5.75	3.61	15.76
Famille de densité de Gumbel	Epanechnikov	6.90	5.77	3.59	15.77
	rectangulaire	6.90	5.76	3.60	15.80

Tab.5: Valeurs des áj sur les 3 premiers axes principaux et celle de $, obtenues en comparant les ACP
estimées et réelles, avec les différents no_yaux (cas d'é_galités des AMISE).

Les _graphi_ques des fi_gures 14, 15, 16 et 17, montrent _que sous la condition d'é_galité des AMISE, l'allure des nua_ges sur les premiers plans principaux, obtenus lors d'une ACP sur les densités estimées en utilisant les différents no_yaux, sont prati_quement les mêmes.

a)Famille de densités de lois ¹ _2N(t,/t) +¹ ₂N(0,/t)

11%

73%

ACP normée théori_que

1

10% No_yau gaussien 10% No_yau trian_gulaire

	53%				53%

14 . . 14

10% No_yau d'Epanachnikov 10% No_yau rectan_gulaire

2

² 5

4

4

5 1

2

53%

53%

Fi_g.14: Allure du nua_ge estimé sur le premier plan principal obtenu par l'ACP

. 4

estimée en utilisant les différents no_yaux, sous la condition d'é_galité des

. 1 . 9

16 16

. 1 18

AMISE. (famille de densités de lois 1

. 2 28

. .

2 N(t,V't) + 1 2 N(0,V't)), n = 30

7

24 24

b)Famille de densités de lois¹ 2N(t,/t) +¹ ₂N(0,1)

6%

87%

ACP normée theori_que

. 13

8% No_yau gaussien 8% No_yau trian_gulaire

0.7 0.5 0.3		75%	0.7 0.5 0.3		75%

. 16 16

8% No_yau d'Epanechnikov 8% No_yau rectan_gulaire

^1

0.7
0.5
0.3

0.7
0.5

75% 0.3

75%

Fi_g.15: Allure du nua_ge estimé sur le premier plan principal obtenu par l'ACP

16 1

estimée en utilisant les différents no_yaux sous la condition d'é_galité des

. . 8

. . 9

27

29 2

2 2

. . 21

3 -3 2 N(0,1)), n = 30

23

AMISE. (famille de densités de lois 1 2 N(t,vt) + 1

c)Famille de densités de lois N(t,/t)

26%

42%

ACP normée théori_que

. 5

2

16

11% No_yau gaussien 11% No_yau trian_gulaire

0.8 0.6			0.8 0.6
0.4		18%	0.4		18%

11% 0

No_yau d'Epanechnikov

.

7 9 . ⁷ 9

11% No_yau rectan_gulaire

0

⁰

0.8

0.6

0.4

20
4

2

4 0

2

0.8
0.6

18% 0.4

18%

Fi_g.16: Allure du nua_ge estimé sur le premier plan principal obtenu par l'ACP

.

7 1 09 7 1 9

estimée en utilisant les différents no_yaux, sous la condition d'é_galité des AMISE. (famille de densités de lois N(t,vt), n = 30

.

. 11 -02

19 12

d)Famille de densités de Gumbel

24%

40%

ACP normée théori_que

16

15% No_yau gaussien 15% No_yau trian_gulaire

	22%				22%

²

14 14

15% No_yau d'Epanechnikov 15% No_yau rectan_gulaire

⁰¹

03

⁰⁵

07

8

0

8

0

⁰¹ 03 ⁰⁵ 07

22%

22%

Fi_g.17: allure du nua_ge estimé sur le premier plan principal obtenu par l'ACP

1 14

estimée en utilisant les différents no_yaux sous la condition d'é_galité des

-0.1

1718 78

AMISE. (famille de densités de Gumbel), n = 30

19