Analyse en composantes principales de densités de probabilité estimées par la méthode du noyau

MINISTERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE MOULOUD MAMMERI DE TIZI OUZOU

FACULTE DES SCIENCES

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

MEMOIRE DE MAGISTER

SPECIALITE: MATHEMATIQUES
OPTION: PROBABILITES ET STATISTIQUES

Présenté par: Yousfi Smail

Sujet:

ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES DE DENSITES DE PROBABILITE ESTIMEES

PAR LA METHODE DU NOYAU

Devant le jur_y d'examen compose de:

M.Hocine Fellag	Proffesseur	U.M.M.T.O	Président
M.Berkoun Youcef	Chargé de recherche	U.M.M.T.O	Examinateur
M.Boumaza Rachid	Maître de conférences	I.N.H., ANGERS	Rapporteur
M.Ibazizen Mohamed	Maître de conférences	U.M.M.T.O	Examinateur
M.Yousfate Abderrahmane	Maître de conférences	U.D.L.S.B.A	Examinateur

Soutenu le / /

A la mémoire de mes _grands parents

Remerciements

Au terme de ce modeste travail, je tiens a exprimer ma sincere _gratitude envers M.BOUMAZA Rachid, pour m'avoir accordé l'honneur d'assurer la direction de ce mémoire. Je le remercie pour ces conseils précieux, ses criti_ques, ses orientations et pour sa _grande contribution a l'aboutissement de ce projet.

Je remercie M.FELLAG Hocine, M.IBAZIZEN Mohamed et M.BERKOUN Youcef pour avoir accepté d'être membres de mon jur_y. Je remercie é_galement M.YOUSFATE Abderrahmane _qui ma fait l'honneur de rejoindre la composition du jur_y.

Parmi les personnes _qui mon aidé, je tiens a remercier chaleureusement

M.BOUDIBA Mohand Arezki et M.MORSLI Mohammed _qui ont participé a la mise au point de certains passa_ges dans ce mémoire.

Je remercie é_galement mes amis, _qui m'ont porté une affection sans faille. Enfin, et surtout, je pense a ma précieuse famille a _qui j'ai volé tant de bons moments...

Table des matières

1	Notations Introduction ACP fonctionnelle de densités de probabilité 1.1 Introduction					4 5 10 10
	1.2		Rappel sur l'analyse en composantes principales d'un opérateur			11
			1.2.1		Condition d'existence de l'ACP "pas a pas"	12
			1.2.2		ACP totale d'un opérateur compact	13
	1.3		ACP de densités de probabilité			14
			1.3.1		Introduction	14
			1.3.2		Affinité L^2 entre deux densités de probabilités	14
			1.3.3		Définition de l'ACP de densités	15
			1.3.4		Formule de reconstitution des densités de probabilités	17
			1.3.5		Qualité Globale de l'ACP	17
			1.3.6		Qualité de représentation de ft suivant gj	17
			1.3.7		ACP normée	18
			1.3.8		ACP centrée	18
2	Estimation de l'ACP de densités de probabilité					21
	2.1		Introduction			21
	2.2		Rappel sur l'estimation d'une densité par la méthode du noyau			22
			2.2.1		Choix du noyau et de la fenêtre de lissage	24
			2.2.2		Application a l'estimation par noyau de l'affinité L^2 31
		2.3		ACP de densités estimées par la méthode du noyau 2.3.1 Cas général			33 33
				2.3.2 Exemples			33
				2.3.3 Approche de Kneip et Utikal			36
				2.3.4 Application de l'approche d'estimation de Kneip and Utikal a une ACP
				estimée non centrée et non normée			38
		2.4		ACP de densités estimées paramétriquement			41
				2.4.1 Cas de données gaussiennes multidimensionnelles			41
				2.4.2 ACP paramétrique de densités de Gumbel unidimensionnel			44
		2.5		Comparaison entre l'approche paramétrique et non paramétrique			46
3		Influence du noyau sur l'ACP de densités estimées					49
		3.1		Introduction			49
		3.2		Cas des fenêtres AMISE			51
		3.3		Cas d'égalité des AMISE			56
		3.4		Conclusion			62
4		Influence et choix de la fenêtre de lissage					63
		4.1		introduction			63
		4.2		Influence de la fenêtre de lissage			63
		4.3		Choix de la fenêtre de lissage			72
		Conclusion					81
		Bibliographie					84