I-2 Extension du modèle : « le
relatif d'un portefeuille ».
Tout comme il peut être établi un graphe relatif
d'un titre, il est possible de procéder à la même
opération sur un portefeuille de valeurs.
Il suffit alors d'indicier ce portefeuille à une date
donnée et de calculer sa valeur en base. Selon les périodes
fixées, ces valeurs sont comparées à l'indice.
II- La méthode
mathématique :
Cette méthode se base sur les modèles
statistiques, il utilise pour la démonstration de la corrélation
entre la valeur et le titre, des théorèmes mathématiques
tels que mouvement Brownien qui est plus avancé (la Stochastique).
Dans cet mémoire on va présenté 2 type de
calcul utilisable est compréhensible a notre niveau.
-le coefficient â
-le coefficient de corrélation (ñ)
II-1 LE COEFFICIENT BETA
(â) :
a) Définition :
C'est une mesure de sensibilité d'une valeur (ou d'un
ensemble de valeurs) par rapport à l'indice. Ce coefficient exprime une
amplitude moyenne du mouvement de la valeur en fonction de l'indice.
· Signification du bêta :
Une valeur a «b» pour coefficient béta. Cela
signifie que si l'indice varie d'un point de pourcentage (+ 1%), la valeur
varie de b%. La variation de la valeur est égale à b fois celle
de l'indice.
· Méthode de calcul :
Le coefficient béta est le fruit d'une observation
statistique sur une durée relativement longue: il s'agit souvent de
l'année, soit environ 250 séances de bourse.
De la sorte le béta doit s'interpréter comme un
comportement moyen de la valeur. Il est évident que la variation d'une
valeur ne sera pas systématique et égale à b fois la
variation du marché !
En pratique, cela ne se produira que très rarement.
Pendant certaines séances les évolutions de la valeur et du
marché seront même en contradiction totale avec cette règle
(c'est-à-dire de sens contraire et d'amplitudes différentes).
Le béta est une moyenne qui provient du comportement de
la valeur sur un nombre donné de séances. La sensibilité
de la valeur telle qu'exprimée par le béta est une
«composante historique» de la valeur.
· Valeur du bêta :
Un béta peut être positif ou négatif.
Lorsqu'il est positif, le sens de variation de la valeur est
le même que celui de l'indice.
Indice + 1% = valeur + â %
L'indice est en hausse, la valeur est en hausse. L'indice est
en baisse, la valeur est en baisse.
Lorsqu'il est négatif, le sens de variation de la
valeur est inverse de celui de l'indice.
Indice + 1% = valeur (-â) % L'indice est en hausse, la
valeur est en baisse, L'indice est en baisse, la valeur est en hausse.
En pratique les valeurs à béta négatif
sont très rares. Il s'agit par exemple des mines d'or. En règle
générale le bêta d'une valeur ne dépasse pas 2
à 3.
b) Interprétation :
Mesure de la sensibilité d'une valeur par rapport au
marché, le coefficient peut s'interpréter comme un niveau de
risque ou exposition aux fluctuations de ce marché.
Ainsi, lorsqu'il est investi 1000 francs sur une valeur au
bêta égal à «b», cela revient à s'exposer
à un risque de «b» fois 1000 francs en indice. Etant entendu
qu'il s'agit d'une interprétation théorique se fondant sur un
coefficient moyen que l'on suppose extrapolable sur l'avenir.
1er exemple : â=2
Avec 1000 francs investis sur une telle valeur, cela revient
à 2X1000=2000 F en indice.
Si l'indice progresse de 10% la valeur gagnera 1000X10%X2=200 F,
soit 20% de son prix d'acquisition (200/1000). Une performance de deux fois
l'indice,
A l'inverse, si le marché régresse de 10%, l'achat
de la valeur fait perdre 200 F, soit 20%. Une exposition au risque
doublée
Le raisonnement serait le même avec â = 0,5,
Seulement la performance et le risque serait de moitié de
l'indice.
2ème exemple : â=-1.5
Avec 1000 francs investis dans cette valeur la situation est
comparable à la vente (fictive) de l 500 francs d'indice.
C'est-à-dire que, si le marché monte de 10%, la valeur baisse de
- 1,5 x 10% = - 15%, soit 150 francs. A l'inverse, si le marché baisse
de 10%, la valeur monte de 15%,
La performance est réalisée pour une baisse du
marché et le risque existe en cas de hausse de ce marché.
La valeur réagit comme béta fois l'indice, mais en
sens inverse.
c) Extension du Béta au
Portefeuille : « â DU PORTEFEUILLE»
Un portefeuille composé de plusieurs valeurs a aussi un
coefficient béta. Il peut se calculer à l'aide des béta de
chaque valeur de ce portefeuille. Il suffit d'établir une moyenne de ces
bêtas pondérée des parts de chaque valeur dans le
portefeuille.
Exemple:
|
Titre
|
Nombre
|
cours
|
total
|
â
|
|
A
|
50
|
1000F
|
50 000F
|
0.6
|
|
B
|
100
|
2000F
|
200 000F
|
1.5
|
|
C
|
200
|
500F
|
100 000F
|
2.1
|
|
D
|
500
|
100F
|
50 000F
|
-1.2
|
|
total
|
-
|
-
|
400 000F
|
|
*NB : Le béta du marché
(représenté par l'indice), est la moyenne des coefficients
bêta des valeurs qui composent l'indice.
En respectant la proportion de chaque valeur dans l'indice, il
est forcément égal à 1.
Le portefeuille a un coefficient béta de 1,2.
En pratique, le COEFFICIENT â et
rarement utiliser par les gestionnaires de portefeuille (ce que on va voir au
chapitre 6).
Ainsi le coefficient bêta qui vient d'être
décrit est un bêta dit historique: il prend appui sur une
sensibilité passée de la valeur.
L'extrapolation de cette sensibilité sur l'avenir reste
peu fiable. Toutefois, on admet couramment qu'un bêla historique est une
bonne approche du béta futur.
II-2 Le Coefficient de Corrélation
(ñ) :
a) Définition :
Très proche du Béta, le coefficient de
corrélation mesure la « fidélité » du
couple valeur indice !
Il exprime le degré de parallélisme de
l'évolution de la valeur par rapport à l'indice.
Une notion proche de la sensibilité (le Béta)
abstraction faite de l'amplitude de mouvement.
C'est le sens de l'évolution de la valeur qui
prévaut.
Le problème est le suivant : lorsque le
marché (l'indice) monte, stagne, ou baisse, que fait la valeur ?
Covariance (rentabilité de l'action, rentabilité du
marché)
Volatilité de la valeur X
Volatilité du marché
Mathématiquement, il s'agit de :
Cette mesure s'effectue sur des cours passés.
Le coefficient de corrélation s'appelle rhô.
Valeur de rhô :
La valeur de rhô est comprise entre (-1) et 1.
1 étant la perfection, corrélation totale: c'est
l'indice lui-même. Une valeur qui aurait une corrélation proche de
1 évoluerait de façon comparable à l'indice.
(- 1) n'est pas l'anti-perfection, C'est simplement l'inverse
de l'indice, L'indice vu à l'envers: le marché monte d'un point,
la valeur baisse d'un point inversement.
A `'0'' c'est l'indépendance totale: aucun lien
n'existe entre l'évolution de valeur et celle de l'indice, Ce sont deux
comportements fondamentalement différents.
b) signification graphique des trois
Cas :
· cas rhô>0
En pratique, le coefficient de corrélation se
rapprochera de ces valeurs extrêmes sans les atteindre. Lorsqu'il se
rapproche de 1 pour une valeur (exemple 0,8), la valeur est proche de
l'indice.
· cas rhô<0
Si ce coefficient est négatif (par exemple - 0,5) on
devine un comportement de la valeur qui a tendance à s'opposer à
celui de l'indice:
· cas rhô 0
Enfin, à l'approche de 0, il devient impossible de
déduire un comportement de la valeur par rapport à l'indice:
| 
