3.6.4 Estimation des valeurs de la hauteur adiabatique et
du rendement adiabatique
Pour estimer les valeurs de la hauteur adiabatique et du
rendement adiabatique théoriques, on doit trouver les valeurs des
paramètres a1, a2, a3, a4 (pour la
hauteur adiabatique) et b1, b2, b3, b4
(pour le rendement). La méthode des moindre carrées sera
utilisée pour minimiser l'erreur entre les données
observées à partir des courbes caractéristiques du
compresseur et les données théoriques calculées à
l'aide de formules exprimées ci-dessus.
Principe de la méthode des moindres
carrées
La méthode des moindres carrés,
indépendamment élaborée par Legendre et Gauss au
début du XIXe siècle, permet de comparer des données
expérimentales, généralement entachées d'erreurs de
mesure, à un modèle mathématique censé
décrire ces données.
Les modèles de régression linéaires
multiples [1] contiennent k variables explicatives X1,...,Xk,
ils sont définis comme suit :
Y = b0 + b1X1 +
b2X2 + ... + bkXk +
e
où les constantes
b0,b1,b2,...,bk sont des paramètres
du modèle et e est une variable aléatoire non observable
représente la différence entre la valeur de Y
observée et sa valeur approxi-mée par la relation
fonctionnelle suivante dite fonction de régression :
Y =
(X1,X2,...,Xk;b0,b1,b2,...,bk);
=
b0 + b1X1 +
b2X2 +... + bkXk
Pour les n observations ou réalisation
(x1i,...,xki), i = 1,2,...,n, des
variables explicatives X1,X2,...,Xk, les valeurs
yi, i = 1,2,...,n, de la variable
aléatoire expliquée Y, sont données par :
45
yi = b0x1i +
b1x2i + ... +
bkxki + ei,i =
1,2,...,n,
3.6. DONNÉES ET PARAMÈTRES DU PROBLÈME
Considérons les notations suivantes :
0
- y=
(y1,y2,...,yn), est le vecteur des n
observation de la variable expliquée Y, ce vecteur peut être aussi
comme une seule réalisation de vecteur aléatoire
Y0 =
(Y1,Y2,...,Yn),
où les variables aléatoires Yi, i
= 1,2,...,n, sont indépendante identiquement
distribuées.
- e est un vecteur colonne des variables
aléatoires (non observables) défini par :
- b est un vecteur colonne des paramètres de
régression :
b0=(b0,b1,...,bk),
- X est une matrice, de dimension, n
× (k + 1), dite matrice du plan d'expérience
et elle est donnée par :
|
? 1
1
.
X =
?????????????????????????????????????????????
.
|
x11
x12
.
.
.
x1n-1
x1n
|
x21 ...
x22 ...
.
.
.
x2n-1 ...
x2n ...
|
?
xk1
xk2
.
??????????????????????????????????????????
.
.
xkn-1
? ??
xkn
|
|
.
1
1
|
0
En utilisant ces notations, on peut regarder le vecteur
y= (y1,...,yn), comme une
réalisation du vecteur aléatoire Y satisfaisant le modèle
linéaire :
46
Y = X b +e.
47
3.6. DONNÉES ET PARAMÈTRES DU PROBLÈME
Application
Notre modèle de régression est défini comme
suit :
Q(Q2
QHad =SS)
,(S)3;a1,a2,a3,a4!;
= a1 + a2 ()+ a3 ( )2 +
a4(Q)3 x S2 S
pour la hauteur adiabatique.
|
et
|
çad =
|
Q2 Q 3
!
Q S , ,
;b1,b2,b3,b4 ;
S S
|
Q Q2 Q 3
= b1 +b2 +b3 +b4
S S S
pour le rendement adiabatique.
On calcule le coefficient de corrélation entre les deux
valeurs (valeur observée et valeur théorique), noté r qui
est égale au rapport de leur covariance et du produit non nul de leurs
écarts types (le coefficient de corrélation est compris entre -1
et 1).
óXóY
Cor(X,Y) =
Cov(X,Y)
où Cov(X,Y) désigne la covariance
des variables X et Y, óX et óY leurs
écarts types.
Les valeurs des paramètres a1, a2,
a3, a4 pour la hauteur adiabatique (b1, b2,
b3, b4 pour le rendement adiabatique) calculées avec le
solveur de Microsoft Excel sont :
Pour la hauteur adiabatique :
a1 = 1,0000 x103,
a2 = -1,9912 x 10-12,
a3 = -7,5939 x 10-12,
a4 = -2,9715 x 10-10.
Le coefficient de corrélation r=0.991.
48
3.6. DONNÉES ET PARAMÈTRES DU PROBLÈME
Pour le rendement adiabatique:
b1 = 6,7363x10-1,
b2 = -1,1512x10-2,
b3 = 4,9884x10-4,
b4 = -4,3506x10-6.
Le coefficient de corrélation r=0,976.
49
3.6. DONNÉES ET PARAMÈTRES DU PROBLÈME
Les valeurs de Hth et çth
calculées à partir des résultats :
|
Les données de la courbe du compresseur
|
Le calcul par les moindres carrés
|
|
Vitesse
|
Débit
|
Hauteur adiabatique
|
Rendement observé
|
Hauteur théorique
|
Rendement théorique
|
|
S
|
Q
|
Hobs
|
çobs
|
Hth
|
çth
|
|
3250
|
126 139
|
13 244
|
0,77
|
10 379
|
0,724
|
|
3250
|
165 530
|
13 121
|
0,80
|
10 148
|
0,807
|
|
3250
|
207 577
|
12 385
|
0,81
|
9 744
|
0,840
|
|
3250
|
226 608
|
11 649
|
0,80
|
9 498
|
0,821
|
|
3250
|
255 377
|
10 178
|
0,77
|
9 039
|
0,738
|
|
3900
|
152 252
|
19 252
|
0,77
|
14 941
|
0,726
|
|
3900
|
197 840
|
18 639
|
0,80
|
14 620
|
0,805
|
|
3900
|
247 410
|
17 535
|
0,81
|
14 056
|
0,840
|
|
3900
|
273 081
|
16 432
|
0,80
|
13 658
|
0,820
|
|
3900
|
306 275
|
14 592
|
0,77
|
13 020
|
0,739
|
|
4550
|
174 382
|
26 119
|
0,77
|
20 356
|
0,720
|
|
4550
|
228 821
|
25 629
|
0,8
|
19 920
|
0,803
|
|
4550
|
287 244
|
23 789
|
0,81
|
19 154
|
0,840
|
|
4550
|
317 340
|
22 195
|
0,80
|
18 615
|
0,821
|
|
4550
|
356 731
|
19 497
|
0,77
|
17 737
|
0,741
|
|
5200
|
198 282
|
34 090
|
0,77
|
26 594
|
0,719
|
|
5200
|
260 245
|
33 477
|
0,80
|
26 032
|
0,802
|
|
5200
|
325 749
|
31 024
|
0,81
|
25 064
|
0,841
|
|
5200
|
362 042
|
28 817
|
0,80
|
24 327
|
0,822
|
|
5200
|
406 744
|
25 506
|
0,77
|
23 193
|
0,743
|
|
5850
|
221 297
|
43 164
|
0,77
|
33 672
|
0,716
|
|
5850
|
291 227
|
42 306
|
0,80
|
32 967
|
0,800
|
|
5850
|
366 468
|
39 240
|
0,81
|
31 722
|
0,841
|
|
5850
|
404 974
|
36 297
|
0,80
|
30 848
|
0,824
|
|
5850
|
456 315
|
32 005
|
0,77
|
29 395
|
0,749
|
|
6500
|
245 640
|
52 974
|
0,77
|
41 572
|
0,716
|
|
6500
|
323 979
|
52 238
|
0,80
|
40 695
|
0,800
|
|
6500
|
407 629
|
48 192
|
0,81
|
39 152
|
0,841
|
|
6500
|
449 676
|
44 758
|
0,80
|
38 092
|
0,824
|
|
6500
|
505 443
|
39 608
|
0,77
|
36 345
|
0,749
|
|
6825
|
259 360
|
58615
|
0,77
|
45 821
|
0,718
|
|
6825
|
340 355
|
57 266
|
0,80
|
44 863
|
0,801
|
|
6825
|
429 316
|
53 097
|
0,81
|
43 134
|
0,840
|
|
6825
|
474 018
|
49 295
|
0,80
|
41 942
|
0,823
|
|
6825
|
474 018
|
43 777
|
0,77
|
40 088
|
0,750
|
TABLE 3.1 - Résultats obtenue par
estimation
50
3.7. FORMULATION MATHÉMATIQUE DU PROBLÈME
le rendement adiabatique;
FIGURE 3.5 - Le rendement adiabatique
théorique en fonction du débit et de la vitesse
|
|
