1.3.2 Caractère gaussien du mouvement brownien
Théorème 1.10.
1) SoitB =
(0,F,(Ft)t>0,(B(t))t>0,P) un
mouvement brownien. Il satisfait les propriétés suivantes
:
i) B(0) = 0 P-p.s
ii) V 0 < t1 < t2 <
··· < tn,
(B(t1),B(t2),···
,B(tn))est un vecteur gaussien centré,
iii)
(Ft)t>0 la filtration natu-
Vs,t > 0,E(B(s)B(t)) = min(s,t) c'est
à dire B est un processus gaussien réel centré et de
fonction de covariance (s,t) = min(s,t).
2) Inversement,si un processus B vérifie i), ii), iii)
et si on note
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relle de la famille(B(t))t>0, alors
(0,F,
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(Ft)t>0,(B(t))t>0,P)
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est un mouvement brownien (naturel).
Démonstration. Supposons que B soit
un mouvement brownien. Soient
a1,a2,··· ,an E R
et 0 < t1 < ··· <
tn.Montrons par récurrence sur n que
a1B(t1)+···+anB(tn)
est une variable aléatoire normale.Si n = 1
a1B(t1) = a1(B(t1) - B(0))
est de loi N(0,Jt1). Si on suppose l'assertion
démontrée pour n - 1, la variable
aléatoire a1B(t1) + ··· +
anB(tn) est alors normale comme somme des deux
variables aléatoires a1B(t1) +
··· + (an +an_1)B(tn_1)
et an(B(tn-B(tn_1)) qui sont
normales et indépendantes,d'où ii). Prenons maintenant
0 < s < t, on aE(B(s)(B(t)-B(s))
= E(B(s))E(B(t)-B(s)) = 0. On obtient alors
E(B(s)B(t)) = E((B(s)(B(t) - B(s)) +
B2(s)) = E(B2(s)) = s =
min(s,t)
.
T.Souali CHAPITRE 1. LES NOTIONS FONDAMENTAUX
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àBkAt = At
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k
E
i=1
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Zk, k E
{1,2,···,m}
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La mesure de Wiener sur
C([0,oo[,R)
Considérons l'espace C =
C([0,oo[,R) des fonctions continues sur
[0,oo[ à valeurs réelles et pour tout t > 0,
considérons l'application X(t) : C i-+
R,définie pour tout w E C par
X(t,w) = w(t)
On munit l'espace C de la filtration naturelle
(gt)t>0 des X(t) Considérons
maintenant un mouvement brownien continu B =
(Q,F,(Ft)t>0,(B(t))t>0,P).
Proposition 7. L'application
0 : w i-+ {t i-+
B(t,w)}
de (Q,F) dans (C,g)
qui à w E Q associe la trajectoire brownienne t i-+
B(t,w), est mesurable.
Proposition 8.
1) Soit W = 0P la mesure image de
P, par l'application 0 prédéfinie en proposition
7. Cette mesure W sur la tribu de Borel g de
C([0,oo[,R),ne dépend pas du mouvement
brownien continu B qui a servi à la construction. On l'appelle la mesure
de Wiener de C([0,oo[,R)
2) Le processus W =
(C,g,(gt)t>0,(X(t))t>0,W)
est un mouvement brownien continu appelé processus de
Wiener.
Simulation
Pour simuler le mouvement brownien qui est un processus
à temps continus, il faut d'abord discrétiser le temps. Soit
At la longueur d'une période de temps.
On simulerons le mouvement brownien au temps
0,At,2At,3At,···
La propriété 2 de la définition du
mouvement brownien implique que
{BkAt-B(k-1)At : k E N}
est une suite de variable aléatoire i.i.d suit la loi
N(0,At)
Pour simuler une trajectoire du mouvement brownien jusqu'à
l'instant mAt, il suffit de générer m
variables aléatoires indépendants {Zk,k E
{1,2,··· ,m}} de loi N(0,1).
Puisque
B(0) = 0, et BkAt =
B(k-1)At + AtZk, k E
{1,2,··· ,m}
On simulerons
àB(0) = 0, et
àBkAt =
àB(k-1)At + AtZk
Par induction
T.Souali CHAPITRE 1. LES NOTIONS FONDAMENTAUX
Les graphes suivants représentent respectivement la
simulation du mouvement brownien uni-dimensionnelle pour m = 50 ,
m = 100,m = 1000
Les graphes suivants simulent respectivement plusieurs
trajectoires du mouvement brownien
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