Existence globale des solutions du système couplé maxwell-boltzmann-euler sur un espace temps de Bianchi I.

1. D'après (1.63) on a :

( aÿ bÿ )

G1(t, X1) - G1(t, X2) = a + 2 (Ei 2 - Eⁱ ₁)

b

fz ( [uJ

+ ab2J 3q(ff2)2 u23 f2dq u~ ][P3 f1dq] (1)

Pour le premier terme de (1) on a d'après (1.3) :

????

( aÿ bÿ )

a + 2 (Ei 2 - Eⁱ 1) ???? = 3C?E1 - E2? (2)

b

Pour le deuxième terme de (1) on a :

ab2 f

????

i R3 qo (fⁱ - f2)dq^??_??= (b² + ab)?f1 - f2? (3)

Pour le troisième terme de (1) on a en utilisant (2.6) et (2.8) :

????	u^i1 ab2 [u2 JR3 f2dq - u0 1J 3 f1dq]^???? =???ab2 [(u2 u01 ) J3 f2dq + u0 1J 3(f2 - f1)dq]

[ ( ) ₍₁ ) ]

= ab² 5 1+ a b +b ?f2??u1-u2? + a + ¹ ?f1 -f2?

a b

( )

= 5ab² 1+ a b + a b + a 1 + ¹ (1+?f2?)(?f1-f2?+?u1-u2?) b

d'où :

ab2

[uo J f2dq - uo J f1dq]????=

u₂ R3 U 3

( )

5ab² 1+a b +a b +1 a +1 (1+?f2?)(?f1-f2?+?u1-u2?) (4) b

De (1), (2), (3) et (4) on obtient (2.12) et l'expression de C2 dans (2.17).

Remarquons que :

- (ab²g¹¹ = b2 a ; ab²g²² = ab²g³³ = a) (ab²gⁱⁱ = b2 a + a, i = 1,2,3)

- D'après (2.5) on a :

???= _a¹+¹ _?b, k = 1,2,3 et j = 1,2

p^k_j p⁰_j

????

- (ab²g11 = a³b²; ab²g22 = ab²g33 = ab⁴) (ab²gjj = ab²(a² + b²), j = 1, 2, 3).

2. L'expression (1.64) de G2 donne :

r Ei f E f 1

G2(t, X1) - G2(t, X2) = 2?i0i(pi2 - pⁱ₁) + ab2 L 0 J f2dq fidq]

U₂ R3 u₁ R3

2 iipk 1p^k 1

+ ab g öik [p₂ u_{2 3} f2dq p° u ~3 f1dq]

(5) 1

?101 = ÿaa , ?²₀₂ = ?³₀₃ = bÿb et en utilisant (1.3) on a :

|?ⁱ_0i| = C

d'où le premier terme de (5) donne :

|2?ⁱ_0i(pⁱ₂ - pⁱ₁)| = 2C?p₁ - p₂? (6)

_Ei

? ????

ab2 [ ₁

ô J f2dq -- 0 fldq] =

2 R3 u₁ R3

i

ab2 [ 10 (Eⁱ₂ - El)/ f2dq +

0 ⁰⁾ E1 ^f f2dq +

E01 (1

2 - f1)dq]

u₂ R3 ( u₂ u₁ R3 u₁ R3

= ab² (?f2??E1 - E2? + (2a + 4b)?E1??f2??u1 - u2? + ?E1??f1 - f2?)

= K3(?E1-E2?+?f1-f2?+?u1-u2?) ( En utilisant (2.10) )

où :

K3 = 4(1 + a + b)⁴(1 + ?E1?)(1 + ?f2?)

d'où :

????

ab2 [uL ^Ei E ^f f₂dq -- u0 3 f1dq]^??_??=K3(?E1 - E2? + ?f1 - f2? + ?u1 - u2?) ₍7)

2 1

? Écrivons le troisième terme de (5) comme suit :

????

p2 1 f pi ab^2g^iiöik[ f2dq0 0 p0 ^10p2 u2 R3 u1 fR 3

]???? = f1dq

Mémoire de MASTER 25 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

????	2 ii ( k kl 1 (u0 1 1 l k1 ^k(lab g cpik [1 P200J 0f2dq +0J^Pf2dq0^PO (12 - f1)dqJ\p2 p1 u2 R3 2 u1 P1 R3 u1 p1 R3

(b2 ) ? [ ( ) ₍₁ )

1 + a

= a + a |öik| 5 b + b ?f2??p₁ - p₂? + (2a + 4b) a + ¹ ?f2??u1 - u2?

a b

i,k

₍₁ ) ]

+ a + ¹ ?f1 - f2? b

= K^'₃(?p₁-p₂?+?f1-f2?+?u1-u2?) ( En utilisant (2.7) et (2.10) )

où :

/ _l2

K^'₃=5(1+a+b)²I 1+ b+a+ 1 + ¹⁾ (1+?f2?)?|öik|

\\ ab

d'où :

????

i,k

ab2giiöik [p₂ 2 20 0 JR3 ^{f2dq -}p₁ 1 JR3 f1 _q]^??_?? = KW?p₁ - p₂? + ?f1 - f2? + ?u1 - u2?) (8)

de (5), (6), (7) et (8) on obtient (2.13) et l'expression de C3 dans (2.17). 3. L'expression (1.65) de G3 donne :

G3(t, X1) - G3(t, X2) =

1

1

_p0Q(f1, f1, p1) -_p0 Q(f2, f2, p₂)

1 2

1 1

= (Q(f1, f1, p₁) - Q(f2, f2,p₁)) + (Q(f2, f2,p₁) - Q(f2, f2,p₂))

_p0 _p0

1 1

( 1 )

- 1

+ Q(f2, f2,p₂) (9)
_p0 _p0

1 2

Pour le premier terme de (9) dans lequel p₁ est fixé, utilisons (2.4) avec f1 = f, f2 = g pour obtenir :

? 10 (Q(f1, f1,p₁) - Q(f2, f2,p₁))? = 8ðC1ab² (?f1? + ?f2?) ?f1 - f2? (10)

p₁

Pour le deuxième terme de (9) dans lequel f2 est fixé, utilisons l'inégalité (2.11) avec j = 1, f = f2 pour obtenir :

? 10 (Q(f2, f2,p₁) - Q(f2, f2,p₂))? = 8ðC1ab²?f2?²?p₁ -p₂? (11)

p₁

Pour le troisième terme de (9) dans lequel f2 est fixé utilisons (2.9) avec j = 2 :

? )? ?

? ( 1 ?

? ? ?

? - 1 Q(f2, f2,p2) ?

? Q(f2, f2,p2) ? ?= (2a+4b)?p₁ -p2? ?

_p0 _p0 ? _p0 ? (12)

1 2 2

Mémoire de MASTER 26 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

Nous déduisons de (12) en utilisant l'inégalité (2.4) dans laquelle on pose f = f2, g = 0 que :

? (? ? ?

) ? 1 1 ? - Q(f2, f2, p2) ? = (2a + 4b)?p1 - p2?(8ðC1ab^2?f2?^2) ? p0 p0 1 2

Soit :

? ? ( 1 ) ? ?

?- 1 ? ? = 16ðC1ab²(a + 2b)?f2?²?p₁ -p₂? (13)

? Q(f2, f2,p₂)

_p0 _p0

1 2

de (9), (10), (11) et (13) on obtient (2.14) et l'expression de C4 dans (2.17). 4. L'expression (1.66) de G4 donne :

G4(t, X1)-G4(t, X2) = 2?ⁱ_0i(uⁱ₂-uⁱ₁)

ab^2g^iiöij + ñ0

r i+ab2 ii j /' 9 /' Lu0 J gp f2dq - 0 J g0 f1dq g ö [(u01)2 fJ f1dq -^22J f2dq R3 q R3 qñ0 R3 (u2) R3

+ ab²gjj

ñ0

[Ej1ul f qj f1dq - Ej2u2 q~ l ab²gjj u2 j ui

_J

0

_q0

1

R3 u

R3

ñ0

-₀

^j₁

1

R3 q

R3

f2dq +

u2E2u2 f2dq

E

ui f

[ ]

abñ0jk uou2 f 3 ~₀f2dq - uoui ^f3 g₀f1dq (a)

2 1

on a ainsi :

|2?ⁱ_0i(uⁱ₂ - uⁱ₁)| = 2C?u1 - u2? (b)

Pour le deuxième terme de (a) on a :

????		ab^2g^iiöij ñ0		1qj1 q~fidq 0 nof2dq - 0 0 [u2R3q u1J3q
????	ab^2g^iiöij ñ0		[(		u? - ) fR30f2dq +0f^q(f2 q u1 ~3 q

) ]

?f1 - f2?

2

) ? ) ₍₁

+a ?f2??u1 - u2? + a + 1

a b

i

_(b [ ₍₁

1

? |öij| (2a + 4b) a + 1

ñ0 b

,j

= K5(?f1 -f2?+?u1 -u2?) ( En utilisant (2.10))

où :

4 ?

(1 + a + b)²(1 + a

K5 = b + a b + a 1 + 1 b )²(1 + ?f2?) |öij|

,j

ñ0 i

dq

Mémoire de MASTER 27 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

d'où :

????

ab²gⁱⁱöij ñ0

[ 1 ?qj 1 ₂0 q0f2dq u1 J f1dq]^??_??=K5₍?f1 - f2? + ?u1 - u2?) ₍c)

Pour le troisième terme de (a) on a :

?????	ab^2g^iiöij ñ0		[(u01)2 ~ f1dq -( 2 u^0) IR3 f2dq]?????= 2
?????		ab^2g^iiöij ñ0		[(uu^j01 1 - ^uu0) u^10 1 fIIt 3 f1dq + ( u10 1 - u1 2j I3 f1dq + (uu 2 f3(f1 - f2)dq 2 2

(b2 )? [ ( ) ₍₁ )

1 1+ a

= a +a |öij| 5 b+ ^b ?f1??u1-u2?+(2a+4b) a+ ¹ ?f1??u1-u2?

ñ0 a b

i,j

+(_a+_b) ?f1-f2?]

= K^'₅(?f1-f2?+?u1-u2?) ( En utilisant (2.8) et (2.10) )

où :

K5 = ²⁰(1 + a + b)²(1 + a +_a +_a + b)2(1+ñ0

,j

?f1?)? |öij| i

d'où :

?????

ab^2g^iiöij ñ0

[(u^01)^21IIt3 J fldq - (u2) p 2 f2dq K5(?f1-f2?+?u1-u2?) (d) R

Pour le quatrième terme de (a) on a :

????

ab^2gjj ñ0

[Ej1ul I3 qqjn of1dq - Ej2u2?3qpf2dq]??=

ab²gjj ñ0

????

LE^j₁(uⁱ₁ - ui2) I

q0 f1dq + (E^j₁ - Ej2)u J gp f1dq + Ej2u J ^gp(f1 - f2)d]L3 q3 q R3 q

Mémoire de MASTER 28 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

_[(1 ) ₍₁ )

ab²

= (a²+ b²) _a+¹ ?E1??f1??u1-u2?+ _a+¹ ?f1??u2??E1-E2?

ñ0 b b

+(_a+_b)?E2??u2??f1-f2?]

= K^''₅(?E1-E2?+?f1-f2?+?u1-u2?) où :

2 K'' 5 = ñ0

(1 + a + b)^5(1 + ab + ab + a1 + ^1b)(1 + ?E1? +?E2?)(1 + ?f1?)(1 +?u2?)

d'où :

ab²gjj ñ0

????

[Ej1uiJ 3 _q0f1dq - Ej2u2 J 3 _q0f2dq]^???_? = K₅ (?E1-E2?+?f1-f2?+?u1-u2?) ₍e)

Pour le cinquième terme de (a) on a :

????

ab^2gjj ñ0

L2 j i 1 j i uj f uj f ab2gjj r (u2 ul j i f u2 E2u2 3 f2dq - u0 E1u11 3 f1dq]??=?ñ0 L 1 u2 - u10 ) E2u2 J 3 f2dq

+ (E^j₂ - Ej1)u0u2 J 3 f2dq + (uⁱ₂ - u1)Ei o f 3 f2dq + uôEiui J 3(f2 - f1)dql

1 1 1 R J

[ ( ) ₍₁ )

ab²

= (a² +b²) 5 1+ a b + b ?E2??u2??f2??u1 -u2?+ a + ¹ ?f2??u2??E1 -E2?

ñ0 a b

₍₁ ) ₍₁ ) ]

+ a + ¹ ?E1??f2??u1-u2?+ a + ¹ ?E1??u1??f1-f2?

b b

= C^' (?E1-E2?+?f1-f2?+?u1-u2?) ( En utilisant (2.8) )
5

où :

C5= po(1+a+b)5(1+ ab + a+¹_a+¹_b)(1+?E1?+?E2?)(1+?f2?)(1+?u1?+?u2?)

d'où :

[

ab²gjj ñ0

????

^uE^j₂u u02 f2dq-0Ej1ui J 3 f1dq]^??_??= C₅(?E1-E2?+?f1-f2?+?u1-u2?) (f)
2ⁱI³u1

pour le sixième terme de (a) on a :

????

ab^2öjk ñ0

f3q^0f2u1 ^k[uu; jf ~kuui f qqo q u JR3 fldq] =ab2 [(- )u J f2du2 1 qk R3 q^o ñ0 u2 u1^2

j fk j f k

ⁱ₂-uⁱ¹

1

+ (u) u J 3 _q0 f2dq+uul 0 J 3 q0 (f2-f1)dq]

[ ( ₎₍₁ ) _{(1 )2}

ab2 ? ?

= ?öjk ?? 5 1+a b ^+b a +1 ?f2??u2??u1-u2?+ a +1 ?f2??u1 -u2?

ñ0 a b b

j,k

_{(1 )2} ]

+ _a+¹ ?u1??f1-f2? b

= C^''₅(?f1-f2?+?u1-u2?) ( En utilisant (2.8) )

Mémoire de MASTER 29 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

Mémoire de MASTER 30 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

où :

2

C^''₅ = _ñ0(1+a+b)³(1+b+_a^b₊a+b) (1 + ?f2?)(1 + ?u1? + ?u2?) öjk

\\ j,k

d'où :

????

ab^2öjk ñ0

[u202 ui2 f 0f2dq - uoui f 0f1dq] ????= C5(?f1 - f2? + ?u1 - u2?) (g)

ainsi de (a), (b), (c), (d), (e), (f) et (g), on obtient (2.15) et l'expression de C5 dans (2.17).

5. Additionnons (2.12), (2.13), (2.14) et (2.15) et utilisons la définition (1.61) de la norme de l'espace E pour avoir (2.16).

D'où la proposition.

Nous sommes maintenant en mesure de prouver le théorème suivant :

Théorème 2.1. Soit T > 0, t0 ? [0, T], Xt0 = (Et0, pt0, ft0, ut0) ? E. Alors il existe un nombre réel ä > 0 tel que le système différentiel (S) ait une unique solution

X = (E, p, f, u) ? F satisfaisant X(t0) = Xt0. De plus, f satisfait la relation :

|||f||| = sup {?f(t)?, t ? [t0, t0 + ä]1 = ?ft0?L¹(R³) (2.18)

où F = C([t0, t0 + ä];10³) × C([t0, t0 + ä];10³) × C([t0, t0 + ä]; L¹(1[8³)) × C([t0, t0 + ä];10³).

Preuve. Nous appliquons la théorie des systèmes différentiels du premier ordre au système (S).

1. Puisque toutes les fonctions apparaissant dans (S) a, b, ÿa, ^ÿb, ¹_a, ¹_b, ó, ... sont continues par rapport à t, il vient que G = (G1, G2, G3, G4) l'est aussi.

Par la continuité des fonctions z = a, b, 1a, ^1b à t = t0, il existe ä0 > 0 tel que :

(1)

t ?]t0?ä0, t0+ä0[ |z(t)| = |z(t0)|+1

(1) implique, en utilisant (1.4) pour borner z, que :

t ?]t0 - ä0, t0 + ä0[ |z(t)| = (a0 + b0 + 1+ 1)eCt0 + 1 (2)

a0 b0

Mémoire de MASTER 31 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

Posons

B(Et₀,1) = {E E 1[8³,IIE - Et0II < 1} B(ft₀, 1) = {f E L¹(1[8³), IIf - ft0II < 1} B(ut₀,1) = {u E 1R8³, IIu - ut0II < 1}.

Alors :

{ E E B(Et₀,1) = IIEII < IIEt₀II + 1

f E B(ft₀,1) = IIfII < IIft₀II + 1 (3)
u E B(ut₀,1) = IIuII < IIut₀II + 1

Considérons le voisinage Vt0 =]t0 - 80, t0 +80[xB(Et₀,1) x 1[8³ x B(ft₀, 1) x B(ut₀,1) de (t0, Xt0) dans le Banach 1[8 x 5, soit donc :

(t, X1), (t, X2) E Vt0 ₍4)

où :

Xi = (Ei, p_i, fi, ui), i = 1, 2

(3) implique :

{ IIEiII < IIEt0II + 1 IIfiII < IIft0II + 1 IIuiII < IIut0II + 1

i = 1, 2 (5)

On déduit de (2.16), des définitions (2.17) de C2, C3, C4, C5 et C6, de la relation (2) de z = a, b, ¹_a, ¹_b, de la relation (5) de Ei, fi, ui, i = 1, 2, qu'il existe une constante C7 = C7(ñ0, a0, b0, t0, Et0, ft0, ut0, öij) telle que :

IIG(t, X1) - G(t, X2)II <-- C7IIX1 - X2II (2.19)

Ce qui montre que G est localement lipschitzienne par rapport à X = (E, p, f, u). L'existence d'une unique solution X = (E, p, f, u) du système (S) sur un intervalle [t0, t0 +8], 8 > 0 telle que X(t0) = Xt0 est ainsi garantie par le théorème de Cauchy-Lipschitz.

La relation (2.18) de f est établie dans la reférence [10] qui étudie l'existence globale des solutions pour l'équation de Boltzmann relativiste.

Mémoire de MASTER 32 MOUTNGUI SEE c?UYI 2010-2011.

Le résultat suivant est une conséquence immédiate du Théorème 2.1 pour (t0 = 0).

Théorème 2.2. Soit X0 = (E0,p0,f0,u0) E 5, _öij E R donnés, alors il existe T > 0 tel que :

Le système différentiel (S) a une unique solution X = (E,p, f, u) E C([0, T];R³) x C([0,T];R³) x C([0,T];L¹(R³)) x C([0,T];R³) telle que X(0) = X0. De plus, f satisfait la relation :

fffffff = f0 (2.20)