5.2.2 Dynamique des clients au sein de la banque
Les clients de la banque, à un instant t, sont
mobiles. Ainsi, un client particulier peut, au pas de temps suivant, avoir
intégré une nouvelle strate ou même avoir quitté la
banque (par décision volontaire ou par décès). Partant
d'une répartition initiale v0, on suppose que
chacun des í0 = IIv0II1
clients évolue selon un processus identique, mais
indépendamment de tous les autres. Décrivons ce
processus.
Un client appartenant à la cellule (i, j)
à la date t (c'est-à-dire appartenant à la strate
i et d'âge j) se retrouvera en t + 1 dans
l'une des s strates de la banque, avec un âge qui aura
évidemment augmenté mécaniquement de un, ou aura
quitté l'établissement. Il sera donc intégré dans
l'une des cellules (l, j + 1), l EE ou ne sera plus
client.
Plus précisément, on note
ë(i,j)
k le taux de transition d'un client appartenant
à la cellule (i, j) vers la cellule (k, j + 1), k
E E et o(i,j) son taux de sortie
à toute date. Cela signifie qu'un client dans la
cellule (i, j), à une date quelconque, a une probabilité
ë(i,j)
k d'être dans
la cellule (k, j + 1) et une probabilité
o(i,j) d'avoir quitté
l'établissement à la date suivante. On a donc
l'identité
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Xs k=1
|
ë(i,j) k +
o(i,j) = 1 pour tout (i, j) E E x Î
|
Il pourrait être envisagé d'introduire des
probabilités de transition évoluant au cours du temps. Toutefois,
nous avons considéré que cela n'introduisait qu'un
intérêt limité rapporté à la forte
complexité supplémentaire que cela aurait induit. En outre, il
apparaît plausible que de telles probabilités de transition
restent très stables, indépendantes de la démographie
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future du pays par exemple.
La dynamique des clients au sein de l'établissement est
résumée dans le schéma suivant :
Par ailleurs, pour prendre en compte l'arrivée de
nouveaux clients dans la banque étudiée, nous introduisons des
processus d'entrée é(i,j),t,
((i, j), t)EE x x N*. La
variable aléatoire é(i,j),t à
valeurs dans N représente le nombre de nouveaux clients arrivés
dans la banque entre les instants t - 1 et t et
ayant plus précisément incorporé la cellule
clientèle (i, j). Afin de garder une modélisation
suffisamment riche pouvant intégrer des effets démographiques,
nous n'imposons pas l'homogénéité dans le temps des
processus d'arrivée. Ainsi, nous serons amenés à
étudier des cas dans lesquels é(i,j),t
et é(i,j),t/
ont des lois potentiellement différentes pour t =6
t'. On supposera en revanche, et à l'instar de ceux
de transition, que les processus d'arrivée sont indépendants les
uns des autres. Nous pouvons donc écrire
V(((i,j),t), (i',j'),t'))
E (E x x N*)2 ,
((i,j),t) =6 ((i',j'),t') =
é(i,j),t et
é(i/,j/),t/
indépendantes
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