III. Champ Newtonien
1. Définition d'un champ Newtonien
On considère un axe polaire de référence
pris dans le plan de la trajectoire, et
repérons la position du point matériel M par ses
coordonnées polaires (r, ö).
Un champ Newtonien est un champ de forces dont l'expression est
de la forme:
= -
r
K est une constante.
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Si la constante K est positive, la force est attractive. Si k est
négative la force est répulsive.
2. Trajectoire d'un mobile soumis à un champ
Newtonien
On considère le champ d'attraction universelle
exercée par une masse M en O sur une particule M de masse m
située à une distance r de O.
- Principe fondamentale de la dynamique : = m (M)
- L'interaction de la particule de masse M sur la particule de
masse m
r
représentée par Newton est : = -G
par conséquent : (M) = -G
r
et à partir de la deuxième formule de Binet on a
:
= GMu2 = C2u2 [ + u]
+ u =
ce qui donne :
donc = [ 1 + cos ö ]
C'est l'équation différentielle du second ordre en
u par rapport à O La solution génèrale de cette
équation différentièlle est :
u( ) = = + A cos( - ö0)
0 est determiné par les conditions initiales, on peut les
choisir de sorte que 0 = 0
On pose p = et e =
Il vient alors
C' est l'équation d'une conique d'excentricité
e et de paramètre p. -Si e = 0. La
conique est une cercle.
-Si 0 < e < 1. La conique de M est une ellipse.
-Si e = 1. La conique du point M est une parabole.
-Si e > 1. La conique de M est une hyperbole.
3. Etude dynamique des champs Newtoniens
a. Energie potentielle
Le champ Newtonien est conservatif : la force = - r ,
dérive d'un
potentiel = -
EP(M)
Lorsque la particule M est éloignée (voir la partie
précédente) le potentiel est nul
donc Ep = -G
comme ( ) =
Ep= -GMm
Il vient alors
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b. Energie cinètique
Par la definition classique de l'energie cinètique on a :
Ec= m V2
En coordoonèes polaires (r, ) : (M/R)=
r+ r ö
avec ( ) = et = (C/r2)
Ec= [1 + e2 + 2e cos ]
Il vient alors
c. Energie mécanique
L'energie mécanique est la somme des deux energies,
l'energie potentielle et l'energie cinètique E = Ep +
Ec
donc E = -GMm [
] + [ (1 + e2 + 2e cos )]
On sait que p= donc = GMm
E= - (1 - e2)
alors
On peut conclure que l'energie mécanique est constante
- Si 0 < e < 1. La trajectoire est une ellipse et
l'énergie mécanique E < 0,
Sachant que E = Ep+Ec < 0 donc mV2 < (GMm /r) ,
donc |Ec| < |Ep|
-Si e = 1. La trajectoire du point M est une parabole
donc E = 0 . Il vient alors |Ec|=|Ep|
-Si e > 1. La trajectoire de M est une hyperbole et E > 0
donc |Ec|>|Ep|.
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