Notion de la mécanique céleste classique

II. Mouvement à force centrale

1. Définition de la force centrale

Une force est centrale si sa ligne d'action passe constamment par un point O appelé pôle.

Le vecteur position et la force appliquée à la particule sont alors dirigées suivant le même vecteur unitaire relatif aux coordonnées polaires de M.

Nous avons alors, = r r

= - F r (Force radiale)

Donc le moment de la force par rapport au point O est : Exemple :

Force d'interaction gravitationnelle entre deux masses m et M distantes de r :

= -

r

où G désigne la constante d'attraction universelle.

2.

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Loi de Newton

Soient deux particules A et B des masses respectivement m1 et m2

Les interactions entre les deux particules, représentées par _A/B et _B/A sont tel

que :

A/B= - _B/A= - AB

G est la constante de gravitation universelle G = 6 ,67 .10^-11 Nm² /kg² r est la distance entre A et B. (voir la figure suivante)

3. Propriétés des mouvements à force centrale a. Le moment cinétique

Le moment cinétique de la particule M par rapport à un point fixe O, dans un repère R, est constant

donc le moment cinétique de M s'écrit :

0(M/R) = Ë m (M/R) = m = 0 Ë m 0(M /R) Où 0 et 0(M /R) sont la position et la vitesse initiales de M dans R

- Si le vecteur est nul, alors le vecteur vitesse (M/R) et le vecteur position sont parallèles. Le mouvement est alors rectiligne.

- Si le vecteur est non nul, les vecteurs positions et vitesse (M/R)

appartiennent à un plan perpendiculaire à . La trajectoire du point M est alors plane.

b. Loi des aires

En coordonnées polaires : = r _r et (M/R)= _r+ r ö

donc = Ë (M/R) = r²

alors C= r²

C est la constante des aires.

Examinons l'aire balayée par le rayon vecteur entre l'instant t et t + dt,

entre ces deux instants le rayon vecteur passe de à ', en effectuant une

rotation d'angle dö, l'aire hachurée dS est approchée par celle du triangle OMM' dont la mesure est :

alors

Où S0 est une constante déterminée à partir des conditions initiales et C la constante des aires.

dS = | Ë |= | Ë (M/R) dt|= Cdt

S(t)= t + S0

C. Formules de Binet

En coordonnées polaires : = r _r et (M/R)= _r+ r ö

- Dans le cas d'un mouvement à accélération centrale, le carré du module du vecteur vitesse est:

= =

V² = ² + r^{2 2} et

On pose u = , donc du = - et = -

ce qui donne = - d'autre part, C=r²

peut s'écrire = Cu²

V² = [- ( )] ²C²u⁴ + ( ).C²u⁴

et

V² = C² [( ) ² + u²]

La première formule de Binet s'écrit:

et rö² = C²u⁴ = C²u

La deuxième formule de Binet s'écrit alors :

Dont la valeur algébrique est : = - r

On a

= = (-C ) C²u² = -C²u²

= -C²u² [ + u]

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- La deuxième formule de Binet permet de déterminer l'accélération de la particule étudiée si l'on connaît l'équation polaire et inversement.

Le mouvement du point M étant à accélération centrale, on a :

(M/R) = ( - r ) r