II. Mouvement à force centrale
1. Définition de la force centrale
Une force est centrale si sa ligne d'action passe constamment par
un point O appelé pôle.
Le vecteur position et la force appliquée à la
particule sont alors dirigées suivant le même vecteur unitaire
relatif aux coordonnées polaires de M.
Nous avons alors, = r r
= - F r (Force radiale)
Donc le moment de la force par rapport au point O est :
Exemple :
Force d'interaction gravitationnelle entre deux masses m et M
distantes de r :
= -
r
où G désigne la constante d'attraction
universelle.
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2. Loi de Newton
Soient deux particules A et B des masses respectivement m1 et
m2
Les interactions entre les deux particules,
représentées par A/B et B/A sont tel
que :
A/B= - B/A= - AB
G est la constante de gravitation universelle G
= 6 ,67 .10-11 Nm2 /kg2 r est
la distance entre A et B. (voir la figure suivante)
3. Propriétés des mouvements à force
centrale
a. Le moment cinétique
Le moment cinétique de la particule M par rapport à
un point fixe O, dans un repère R, est constant
donc le moment cinétique de M s'écrit :
0(M/R) = Ë m (M/R) = m = 0 Ë m 0(M /R) Où 0 et
0(M /R) sont la position et la vitesse initiales de M dans R
- Si le vecteur est nul, alors le vecteur vitesse (M/R) et le
vecteur position sont parallèles. Le mouvement est alors rectiligne.
- Si le vecteur est non nul, les vecteurs positions et vitesse
(M/R)
appartiennent à un plan perpendiculaire à . La
trajectoire du point M est alors plane.
b. Loi des aires
En coordonnées polaires : = r
r et (M/R)= r+ r ö
donc = Ë (M/R) = r2
alors C= r2
C est la constante des aires.
Examinons l'aire balayée par le rayon vecteur entre
l'instant t et t + dt,
entre ces deux instants le rayon vecteur passe de à ', en
effectuant une
rotation d'angle dö, l'aire hachurée dS est
approchée par celle du triangle OMM' dont la mesure est :
alors
Où S0 est une constante
déterminée à partir des conditions initiales et C
la constante des aires.
dS = | Ë |= | Ë (M/R) dt|= Cdt
S(t)= t + S0
C. Formules de Binet
En coordonnées polaires : = r
r et (M/R)= r+ r ö
- Dans le cas d'un mouvement à accélération
centrale, le carré du module du vecteur vitesse est:
= =
V2 = 2 + r2 2 et
On pose u = , donc du = - et = -
ce qui donne = - d'autre part, C=r2
peut s'écrire = Cu2
V2 = [- ( )] 2C2u4 +
( ).C2u4
et
V2 = C2 [( ) 2 +
u2]
La première formule de Binet s'écrit:
et rö2 = C2u4 =
C2u
La deuxième formule de Binet s'écrit alors :
Dont la valeur algébrique est : = - r
On a
= = (-C ) C2u2 =
-C2u2
= -C2u2 [ + u]
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- La deuxième formule de Binet permet de déterminer
l'accélération de la particule étudiée si l'on
connaît l'équation polaire et inversement.
Le mouvement du point M étant à
accélération centrale, on a :
(M/R) = ( - r ) r
| 
