Simulation de modèles de diffusion appliqués aux taux d'intérêts

3.6 Les processus de diffusion

Définition 27 Processus de diffusion

Un processus de diffusion est un processus de markov a trajectoires continues vérifiant le lemme d'Itô.

Soit _(Xt)t>oun processus stochastique défini sur l'espace probabilisé (~, A, IP)a valeurs reéls muni d'une filtation .F. On dit que _(Xt)t>0 est un processus de diffusion caractérisé par: i1) la limite donnant la dérive :

uim h!0		E(Xt+h - Xt/Xt = x)	= b(x, t) (3.25)
		h
uim h!0	E([Xt+h - Xt]^2/X = x)			= a^2(x,t) (3.26)
	h

i2) la limite donnant la diffusion:

i3) la condition de Dynkin

lim h-)	11^1(1Xt#177;h -- Xt1 > E/Xt = x)	= 0, 8 > 0 (3.27)
	h

Une diffusion obéit a une equation differentielle stochastique de la forme

dXt = b(X(t), t)dt + a(X(t), t)dW (t) (3.28)

Sous forme integrale, le systeme peut s'ecrire sous les formes.

X(t) = X(0) + I b(X(u), u)du + I a(X(u), u)c/W(u) (3.29)

k t

Xi (t) = X f

(0) + I bt(X(u), u)du + ^E atj(X(u), u)dWi(u) (3.30)

j=i

Les processus de diffusion sont construits a partir du mouvement brownien. Le terme b(x) peut s'interpreter comme la force deterministe agissant sur une particule dans un fluide au point x, et s'appelle donc le coefficient de derive. le terme a(x) mesure l'effet de l'agitation thermique des molecules du fluide en x, et s'appelle le coefficient de diffusion. Il y a des conditions de regularitees sur les fonctions b et a pour que le systeme d'equations differentielles stochastiques admette une solution

i1) Les fonctions a et b sont des fonctions mesurables qui veri...ent la condition de Lipschitz, soit V(xi, 0), (x2, 0) E R^d * :

11a(xi : 0) -- a(x2 : 0)11 < C 11x1 -- x211 11b(x1 : 0) -- b(x2 : 0)11 < C 11x1 -- x211

avec C une constante positive quelconque.

i2) Les fonctions a et b sont bornees lineairement telles que :

11a(xi : 0)11² +11b(xi : 0)11² < C²(1 + 11411²)

avec C une constante positive quelconque et 11.11 symbolise la norme euclidienne.

i3) La valeur initiale Y0 appartient a L²(Q, s, P) et est indépendante de la a--algebre a(Wt, t 2 [0, T]), alors il existe une solution pour tout t 2 [0, T] appartenant a L²(Q, =, continu et unique sur l'intervalle.

(voir [5],[13])

3.6.1 Méthodes de simulation des processus de diffusion

Lorsqu'il s'agit de simuler des processus de diffusion, il y a les méthodes exactes et celle qui sont basées sur la discrétisation du temps.

Les méthodes exactes sont employées lorsque l'on connait la distribution de X(t + u) conditionnellement a la valeur de X(t)

Les méthodes basées sur la discrétisation du temps simulent une approximation du processus original. pour cette raison, la méthode exacte est généralement préférable aux méthodes de discrétisation du temps.

Schéma d'Euler

une façon trés intuitive de simuler un processus de diffusion est a l'aide de l'approximation d'Euler.

Soit l'équation différentielle stochastique originale

k

dX,(t) = b_z(X(t),t)dt + J=1 aid(X(t), t)dWi(t) (3.31)

Soit l'approximation d'Euler sur une courte période de temps de longueur h

k

^bX,(t + h) -- ^bX,(t) = b,( ^bX(t),t)h + J=1 aij( ^bX(t),t)(Wi(t + h) -- W;(t))

k

= ^1°ibi( ^bX(t),t)h + J=1 aij( (t), OhZi on Z1, ..., Zk sont iidAr (0,1)

Sous sa forme intégrale, l'EDS originale est, pour t, h > 0 :

Z t+h k p t+h

Xi(t + h) = Xi(t) + bi(X(u), u)du + ai3(X(u), u)dW3(u)

t t

j=1

Z t+h _Xk Z t+h

' Xz(t) + bi(X(t), t)du + ai3(X(t), t)dW3(u)

t t

j=1

si h est suffi sament petit

Z t+h > k Z t+h

= Xi(t) + bi(X(u), u) du + ai3(X(t), t) dW3(u) (3.32)

t t

j=1

=l° Xi(t) + bi(X(u), u)h +

Xk j=1

V' ai3(X(t), t) hZ3 on Zi, ..., Zk sont i i dLA/(0, 1) (3.33)

Afin de bien marquer le fait que l'approximation d'Euler est un processus différent de la solution du systéme d'EDS original, nous la notons différemment :

^bXi(t + h) = ^bXi(t) + bi( ^bX(t), t)h +

Xk j=1

V' aij( ^bX(t), t) hZ3, i = 1, ...d (3.34)

(voir [11])