A.3 Relation entre contraintes et déformations
En régime élastique, le milieu satisfait la loi
de Hooke qui exprime la proportionnalité entre contrainte et
déformation (i.e. les composantes du tenseur des contraintes sont une
combinaison linéaire de toutes les composantes du tenseur des
déformations), d'où la formulation [5]:
?????? = ?????????? ?? ???? (??. 3)
Les coefficients « cijkl » sont les constantes
élastiques, ils constituent un tenseur de rang 4 comprenant 81
éléments. En fait par suite de la symétrie du tenseur des
contraintes et du tenseur de déformations il y a seulement 36
éléments indépendants. Néanmoins, le produit
tensoriel reste très à manipuler ; c'est pourquoi nous allons
faire appel à une écriture matricielle (c'est-à-dire un
artifice de calcul qui va permettre de simplifier les choses).À cet
effet, une notation contractée des indices est adoptée
[108,110]:
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???? ???? ????
|
?? ???? ??
|
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11
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1
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22
|
2
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33
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3
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23 ou 32
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4
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13 ou 31
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5
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12 ou 21
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6
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Tab. A - Notation matricielle
Les notations tensorielles sont réduites à une
notation matricielle pour cijkl qui devient cpq et
vectorielle pour Tij et Skl qui deviennent Tp
et Sq (Sq = Skl si k = l et Sq =
2Skl si k ? l).
En notation contractée (i.e. produit matriciel), la loi de
Hooke s'exprime alors :
| 
