4.2 Hypothèses générales
Contrairement aux modèles unidimensionnels pour
lesquels les hypothèses simplificatrices varient avec le mode et la
géométrie considérés (cf. annexe D), les
modèles tridimensionnels utilisent les mêmes hypothèses
pour les géométries : parallélépipédique
(plaque ou barreau) et cylindrique (disque ou cylindre) (cf. tableau 4.1).
Elles se rapportent l'une au type d'onde se propageant dans les
matériaux piézoélectriques et l'autre aux conditions aux
limites sur les faces latérales des échantillons [102,104] :
· La céramique piézoélectrique est
sans pertes.
· La vibration globale de la céramique
piézoélectrique s'effectue sous l'action de trois ondes planes
couplées se propageant chacune selon un axe de coordonnées. Les
couplages s'effectuent par l'intermédiaire des coefficients de Poisson
et les paramètres piézoélectriques de la céramique.
Cette hypothèse entraîne l'absence de vibrations de cisaillement
et on peut alors prendre en compte l'ensemble des paramètres relatifs
aux modes longitudinaux. Tout se passe finalement comme si trois modes pistons
étaient couplés par les constantes élastiques et
piézoélectriques de la céramique. Par suite, tous les
points d'une face vibrent en phase et les déplacements correspondants
sont indépendants des deux autres coordonnées, soit :
u1 = U1 (x1) exp (jcut)
u2 = U2 (x2) exp (jcut) (4.1)
u3 = U3 (x3) exp (j cut)
· Du fait de la propagation d'ondes planes selon les
axes de coordonnées, les termes d'indices croisés (13,31 ou 23,32
ou 12,21) du tenseur des déformations sont nuls : S4 = S5 = S6 = 0. Il
s'ensuit que les composantes du tenseur des contraintes correspondant au
cisaillement sont aussi nulles : T4 = T5 = T6 = 0.
· Les faces latérales sont libres quelle que soit la
géométrie des échantillons, ce qui n'est pas toujours le
cas pour les modèles-unidimensionnels :
Tij nj = 0 (4.2)
· Les déplacements s'effectuant toujours
parallèlement à eux-memes, il n'y a pas de distorsion des lignes
de champ électrique. Les composants E1 et E2 du champ électrique
sont donc consentement nulles soit : E1 = E2 = 0 Vxi .
· Du fait de l'écriture de u1 et u2 on a 8ui/8xj
= 0 quand i * j et puisque E1et E2 sont nuls on aura aussi D1 = D2 = 0 dans le
matériau. Par suite la relation de Gauss ( divD = 0) se réduira
à 8D3/8x3 = 8[D0 exp (jcut)]/8x3 = 0 sera constante et
égale à D0 .
· La mise en oscillation de la
céramique piézoélectrique est réalisée par
l'application d'une différence de potentiel sur les électrodes
déposées sur les faces supérieures et inférieures
perpendiculaires à l'axe de polarisation x3 ou z :
??3 = ??0exp ??????) (4.3)
Les conditions de fonctionnement portant sur les
déplacements et sur l'induction nous les choisirons comme variables
indépendantes. Sous forme matricielle les équations de la
piézoélectricité (cf. tableau 1.1) seront [101]:
??1
??2
??3
??4
??3
|
= ??11????1 + ??12????2 +
??13????3 - h31??3 = ??12????1
+ ??11?? ??2 + ??13????3 - h31??3
= ??13????1 + ??13????2 +
??33????3 - h33??3 = ??5 = ??6 = 0; ??4
= ??5 = ??6 = 0
= -h31 ??1 + ??2) - h33??3 + ??33????3
??1 = ??2 = 0; ??1 = ??2 = 0
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(4.4)
(4.5)
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Geometrie
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Hypothèses
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Résultats
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Mécaniques
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Electriques
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V i tesse
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Permittivite
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N.0,00,1 . 1,401 WI
1,1.
de coup! age
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Plaque rectangul ai re
a1,a2,a3
qUQIconques
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??1, ??1, ??4 ??4
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??2, ??3 ??2, ??3 = ??5 = ??5
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? 0 ? 0 = ??6 = ??6
|
=
=
|
0
0
|
??1 =
??1 =
? ??1,
|
??2 = 0
??2 = 0
??2 ??3 ? 0, ??3
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?
|
0
|
2
????3
???? 2
|
=
=
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??33 ??
|
??33 ??
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????2
2
|
????
=
=
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2
~33
2
~31
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??
??33
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|
Di sque ou cyl i ndre
a,a3
quel conques
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????,
????,
??4
??4
|
????, ????
????, ????
= ??5
= ??5
|
? 0 ? 0 = ??6 = ??6
|
=
=
|
0
0
|
???? =
???? =
? ??, ??
|
???? = 0
???? = 0
??3 ? 0, ??3
|
?
|
0
|
2
???? 2
|
????3
=
=
|
??
??33
|
??33 ??
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????2
2
????
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=
=
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2
~33
2
~31
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??
??33
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Tab. 4.1 - Caractérisation tridimensionnelle:
hypothèses et principaux résultats [102]
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